第六章 特征值与特征向量

1、第六章特征值与特征向量对角矩阵是一类比较简单的矩阵,相似的矩阵有许多共同的性质.因此,可以通过与矩阵A 相似的对角矩阵来研究矩阵A 的性质.本章先介绍矩阵的特征值与特征向量的概念再讨论矩阵的相似对角化问题.§1 特征值与特征向量主要知识点:特征值与特征向量;特征值与特征向量的性质; 特征值与特征向量的计算;重点与难点:特征值与特征向量的计算重要解题方法:特征值与特征向量的计算一、特征值与特征向量的概念及性质定义6.1 设A 是阶矩阵,如果存在数n 和n 维非零列向量,使得x x x =A , (6.1 那么数称为矩阵A 的特征值,非零列向量称为矩阵x A 的属于特征值的特征向量.由此

2、可见,特征向量与特征值的概念相关联,不同的特征值对应的特征向量不同,且特征向量一定是非零列向量.根据矩阵的运算,容易得出特征值与特征向量的下列一些基本性质. 性质1 设是矩阵x A 的属于特征值的特征向量,对于任意的非零常数,则也是矩阵k x k A 的属于特征值的特征向量.这是因为, 由 x x =A ,可得(x x x x k k kA k A =.性质2 设都是矩阵的属于21x ,x A 的特征向量,那么当0x x 21+时,也是矩阵21x x +A 的属于的特征向量.因为 2211x x x x =A A ,所以 (21212121x x x x x x x x +=+=+=+A A

3、A .综合上述两性质可知,矩阵A 的属于同一特征值的有限个特征向量的任意一个非零线性组合l x ,x ,x 21 l l k k k x x x x +1= 221也是矩阵A 的属于特征值的特征向量.定理6.1 设m ,2,1 是阶矩阵n A 的个互不相同的特征值,分别m m 21x ,x ,x是A 的属于m ,2,1 的特征向量,那么向量组线性无关.m 21x ,x ,x 证 设存在一组数m ,2 使得10x=mi ii k 1, (6.2A 左乘(6.2式的两端,得 用 , (6.30x=iik x =mi i m i iiA k 11又用A 左乘(6.3式的两端,得 ,0x=ii mi

4、i k 12用类似的方法,可得,x =mi i im i k 120=0=0=11211m m m m .x =mi i i m i k 11把以上各式合写成矩阵形式,得.(x 21111,m m m k x x 2211,k k m , ,2,1互不相同,根据范德 蒙行列式的计算公式,有由于0(mi j i 011111122111=j mmm mm,于是(x x x =m m k k k ,2211 .但 ,所以只能有 i 0x ,2,1(m i =012=m k k =k .因此向量组线性无关. 证毕.m 21x ,x ,x 二、特征值与特征向量的计算由(6.1式可得, 0x =(A I

5、 ,即 . (6.40=n nn n n n n x x x a a aa a a a a a21212222111211由定义6.1知,齐次线性方程组(6.4有非零解所以0212222111211=nnn n nn a a a a a a a a a A I . (6.5A I 的展开式是一个关于的次多项式,称为矩阵n A 的特征多项式,方程(6.5称为矩阵的特征方程.显然,A 是矩阵的特征值的充分必要条件是A 0=A I .所以由方程0=I A 求出的它的全部根(称为A 的特征根,就是矩阵A 的全部特征值.特征方程在复数范围内总是有解的,其解的个数恰为方程的次数(重根按重数计算,因此n 阶

6、矩阵有个特征值.利用行列式及多项式的性质,我们不难证明关于矩阵特征值的下列重要性质:阶矩阵的个特征值之和等于矩阵的主对角线上元素之和;矩阵的n 个特征值之积等于矩阵的行列式的值.n n n 对于每一个特征值,矩阵A 的属于特征值的特征向量x 是方程组(6.4的非零解向量.综上所述,求阶矩阵n A 的特征值与特征向量的步骤是第一步 求A 的全部特征值,即求特征方程0|=A I 的全部根; 第二步 求A 的特征向量. 对于每一个特征值i ,求出齐次线性方程组(0x =A I i 的一个基础解系,那么就是s 1,2 =si i x i k 1A 的属于i 的全部特征向量,其中为不全为零的任意数.s

7、k k ,21 k 例1 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1; =2543A (2;=163053064A(3.=010100001A 解 (1 第一步 求特征值. 因为(0272543=+=A I , 所以的特征值为A 7,221=.第二步 求特征向量.对于21=,对应的齐次线性方程组为 , =0022543221x x 解得 2154x x =.取52=x ,得41=x ,从而得到它的一个基础解系 ,故=54A 的属于21=的全部特征向量为,其中为非零的任意数.=k k k 54k 对于72=,对应的齐次线性方程组为=0027543721x x , 解得 .取,得21x x =12=x 1

8、1=x ,从而得到它的一个基础解系,故=11A 的属于72=的全部特征向量为,其中为非零的任意数.=k k k k (2 第一步 求特征值.因为 01(2(16353064|2=+=+=A I ,所以A 的特征值为1,2321=.第二步 求特征向量.对于,21= 对应的齐次线性方程组为,0126305230642321=+x x x 解得 .取32,31x x x x =13=x ,得它的一个基础解系,故的属=111A 于21=的全部特征向量为=k k k k , 其中为非零的任意数 .k 对于132= , 对应的齐次线性方程组为,=+000116305130641321x x x 解得 .取

9、方程组的一个基础解系 , ,它们是的属于212x x =A =10,0132x x 132=0121=1002=的线性无关的特征向量.故对应于132=的全部特征向量为, 其中为不全为零的任意数.=+21122112k k k k k 21,k k (3 第一步 求特征值.因为(0111010012=+=A I ,所以A 的特征值为11= , i =2 , i =3 .第二步 求特征向量.对于 11=,对应的齐次线性方程组为 ,=000110110000321x x x 解得 取 得它的一个基础解系 .0,032=x x 11=x =0011所以,的对应于A 11=的全部特征向量为=00k k

10、, 其中为非零的任意数.k 对于i =2,对应的齐次线性方程组为,=0001010001321x x x i i i 解得,取得它的一个基础解系 .321,0ix x x =13=x =10i 所以的属于A i =2的全部特征向量为k k ik k ,0=为非零的任意数.对于i =3,对应的齐次线性方程组为=0001010001321x x x i i i , 解得 321,0ix x x =,取13=x 得一个基础解系 .=10i 所以 A 的属于i =3的全部特征向量为k k ik k k 其中,=为非零的任意常数.例2 设是可逆阵A 的一个特征值,x 为对应的特征向量.证明0且是11A的

11、一个特征值,为对应的特征向量.x 证 如果0=,由 0x x =A 且可逆 ,故与矛 A 00x x =11(A A A 0x 盾.所以0.由 I A A A =*及. x x x x x x |,*A I A A A A A =得两边同除A ,得=x 1x *1A A, 即 . x x 11=A 所以为11A 的一个特征值,x 是1A 的属于特征值的特征向量.1例3 设阶矩阵n A 满足A A =2,证明A 的特征值只能是或. 01证 设是A 的任意特征值,x 为A 的属于的特征向量,那么x x =A , 其中0x , 故 , x x x 22=A A 由于 A A =2,故又有 . x x

12、 x 22=A A 于是,x x 2=即(02=x .因为 , 0x 所以 ,02=于是0=或1 . 证毕§2 相似矩阵与矩阵的对角化主要知识点:相似矩阵;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化;重点与难点:相似矩阵的性质的应用;矩阵的相似对角化;重要解题方法:求相似变换化矩阵为对角阵.一、矩阵相似的概念与性质定义6.2 设A 、B 都是阶矩阵.如果存在n 阶可逆矩阵,使,那么称矩阵n C B AC C=1A 与矩阵B 相似.可逆矩阵C 称为相似变换矩阵.相似是矩阵之间的一种关系,容易验证矩阵的相似关系是一种等价关系. 相似矩阵还具有下列性质.性质1 相似矩阵的行列式相等.证 设相似,那么

13、存在可逆阵C ,使B A 与AC C B 1=.两边同时取行列式,得 A A I A C C A C C C A CAC C B =|1111. 证毕性质2 如果两个可逆的矩阵相似,那么它们的逆矩阵也相似. 证 设相似,那么存在可逆阵C ,使B A 与AC C B 1=.由此可得 .C A C B111=所以 相似且相似变换阵仍为C . 证毕11B A 与性质3 设相似,那么相似,相似(其中k 为任意数,m 为任意的正整数.B A 与kB kA 与mmB A 与证 因为相似,那么存在可逆矩阵C ,使 B A 与 . AC C B 1=故得 (C kA C kB 1=.及 (C A C AC C

14、 AC C AC CACC Bm mm11111= .因此 相似,kB kA 与mB 与相似. 证毕mA性质4 设与A B 相似,为一多项式,则(x f (B f A f 与相似 证 设.(mm x a x a a x f += 10因相似,那么存在可逆矩阵C ,使 B A 与 . AC C B 1=因此(mm B a B a I a B f += 10 (mm ACC a AC C a I a 1110+=(C A a C C A a C C I a C m m 11101+=(C A aA a I a Cm m+= 11,即 相似. 证毕(A f B f 与性质5 相似矩阵具有相同的特征多

15、项式,因而具有相同的特征值 证 设 使那么存在可逆矩阵相似与,C B A . AC C B 1=故AC C I B I 1=(CA I C =1C A I C=1A I = . 证毕注意:此性质的逆命题不成立,即具有相同特征多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似.例如 、 ,它们的特征多项式相同,但不存在可逆阵C ,使=1301A =1001B .B AC C=1二、矩阵的相似对角化如果一个矩阵与对角矩阵相似,那么该矩阵称为可对角化矩阵.本节讨论矩阵的对角化问题.首先得出矩阵可对角化的充分必要条件;然后介绍当矩阵A 可对角化时,如何求相似变换矩阵C ,使为对角矩阵.AC C 1定理 6

16、.2 阶矩阵n A 可对角化的充分必要条件是矩阵A 有个线性无关的特征向量.n 证 设阶矩阵与对角矩阵相似,那么存在可逆矩阵C , n A =n 21使 , =n AC C 11于是 .将阵C 按列分块成=C AC (n C x x x ,21 =,便有, (=n n n A 12121,x x x x x x 故(n n n A A A x x x x x x ,221121 =,于是 i i i A x x = (n i ,2,1=.因为矩阵可逆, 故C (n i i ,2,1=0x 且向量组线性无关,又由n x x x 21, i i i A x x =知,n ,21 为阶矩阵n A 的

17、特征值,分别为对应的特征向量.所以n x x 2, x 1A 有个线性无关的特征向量.n 反之,设为n x x x 21, A 的线性无关的特征向量,其对应特征值分别为n,21 (可能有相同的,即有 i i x x i A = (n i ,2,1 =. 构作矩阵 (n 21x x x , =C(n 21x x x , A AC = ,(2211n A A A x x x = (n n x x x,2211 =(=n 1,n 21x x x1 = C 因为 x1 , x 2 , n , x n 线性无关，故 C 可逆且 1 C AC = 1 n 证毕 这里需要注意 1 , 2 , 列重要的推论

18、推论 定成立 , n 的顺序与 x 1 , x 2 , , x n 的顺序的对应关系 由此定理可得下 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，那么 A 一定可对角化；反之不一 例4 1 0 0 设 A = 2 5 2 2 4 1 1 （1）证明 A 可对角化； （2）求相似变换阵 C ，使 C AC 为对角矩阵； （3）求 A 解 （1） 因 A 的特征多项式为 k 1 I A = 2 2 0 0 2 5 4 = ( 1 ( 3 ， 2 +1 故 A 的特征值为 1 = 2 = 1, 3 = 3 对于 1 = 2 = 1 ，对应的齐次线性方程组为 0 0 0 x1 0 2 4 2 x

19、 2 = 0 ， 2 4 2 x 0 3 2 1 它的基础解系 1 = 1 ， 2 = 0 是 A 的属于 1 = 2 = 1 的线性无关的特征向量 0 1 对于 3 = 3 ，对应的齐次线性方程组为 180 2 0 0 x1 0 2 2 2 x 2 = 0 ， 2 4 4 x 0 3 0 它的基础解系 3 = 1 是 A 的属于 3 = 3 的特征向量 1 又由定理 6.1 知，属于不同特征值的特征向量线性无关，故 1 , 2 , 3 线性无关因此， A 可对角化 （2）设 2 1 0 C = ( 1 , 2 , 3 = 1 0 1 ， 0 1 1 1 那么 C AC = 1 为对角矩阵 3 1 （3）由（2）可得 1 A = C 1 C 1 3 于是 1 k A = C 1 C 1 3 1 1 = C 1 C k 3 1 = 1 3 k 1 3 k k 0 1