第一章 函数、极限、连续

1、第一章 函数 极限 连续第一节 函 数1 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）2 函数的性态1）单调性 定义：单调增： 单调不减： 判定：（1）定义：(2）导数：设在区间上可导，则a 单调不减；b 单调增；2奇偶性定义：偶函数 奇函数 判定：(1）定义：(2）设可导，则：a是奇函数 是偶函数；b是偶函数 是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。3周期性 定义：判定：(1定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；(3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4有界性 定义：若则称在上有界。判定：（1）定义：（2）在上连续在上有界；（3）在上连续，

2、且存在在上有界；（4）在区间（有限）上有界在上有界；3复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合4基本初等函数与初等函数基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.题型一 复合函数例11已知的定义域为，则的定义域为(A (B (C (D 解 应选 (B例12已知且求及其定义域。解 由，知 例13 设, 试求.解 题型二 函数性态例14 下列结论正确的是（A）在上无界； （B）当时为无穷大量；(C 在上无界；（D）在上无界。例1.5以下四个命题中正

3、确的是（A）若在内连续，则在内有界； （B）若在内连续，则在内有界；（C）若在内有界，则在内有界；（D）若在内有界，则在内有界。解法1 直接法：由于在内有界，则在内有界，故选（C）.解法2 排除法.令，则，显然，和都在内连续，但 在内无界，则（A）（B）都不正确.令，显然在内有界，但在内无界，则（D）不正确.故应选（C）例1.6设是恒大于零的可导函数，且时，有 （A） （B）（C） （D）解 令 则单调减，由知，即故应选(A.例1.7设函数连续，且则存在，使得 （A）在内单调增加； （B）在内单调减少；（C）对任意的有； （D）对任意的有。解 本题要用到一个常用的结论:若，则存在，当时；当时，

4、. 若有相应的结论. (利用导数定义和极限的保号性易证明此结论由以上结论知(C正确.注：本题选(A是一种典型的错误，原因是由，得不到一定存在的某邻域，在此邻域内单调增. 反例如下：令当时，取，则.取，则由于以上的两种点和在的任何邻域内都存在，则在的任何邻域内既存在的导数为正的点，也存在导数为负的点，则在的任何邻域内都不单调增.第二节 极 限1极限概念1）数列极限: ：,当时.2）函数极限:（1）自变量趋于无穷大时函数的极限： ,当时.和的定义与类似。 （2）自变量趋于有限值时函数的极限： ,当时。左极限：右极限：几个值得注意的极限：，2。极限性质1）有界性： 收敛数列必有界；2）有理运算性质：

5、 若.那么: ；两个常用的结论：1）存在，2 3）保号性： 设（1） 如果,则存在,当时，.（2） 如果当时,那么.4）函数值与极限值之间的关系：. 其中3。极限存在准则1）夹逼准则： 若存在，当时，且则2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。4。无穷小量1）无穷小量的概念: 若，称为无穷小量(或.2 无穷小的比较: 设.（1）高阶： 若； 记为（2）同阶： 若；（3）等价： 若；记为（4）无穷小的阶: 若，称是的阶无穷小.5。无穷大量1 无穷大量的概念: 若，称为时的无穷大量。2）无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量无界变量3）无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小

6、量的倒数是无穷大量。题型一 极限的概念、性质及存在准则例1.8 “对任意给定的，总存在正数，当时，恒有”是数列收敛于的(A 充分条件但非必要条件. (B 必要条件但非充分条件.(C 充分必要条件. (D 既非充分条件又非必要条件.解 本题主要考查对数列收敛于定义的理解. 其定义是“对任意给定的，存在，当时，恒有”这与本题中的说法是等价的，故应选（C）.例1.9 设，均为非负数列，且，则必有(A 对任意成立. (B 对任意成立.(C 极限不存在. (D 极限不存在.解法1 直接法由， 知 ，故选（D）.解法2 排除法由题设条件可知<，但这只能得到，存在，当后有 <而不能得到对任意的有

7、 <从而（A）（B）均不正确.若取，显然，而=从而（C）不正确，故应选（D）.例1.10 设对任意的总有，且，则(A 存在且等于于零. (B 存在但不一定为零.(C 一定不存在. (D 不一定存在.解 令，显然，且，此时.则（A）和（C）不正确.若令 ，则，且，但（不存在）.从而（B）不正确，故（D）正确.例1.11 设数列与满足，则下列断言正确的是(A 若发散，则必发散. (B 若无界，则必有界.(C 若有界，则必为无穷小. (D 若为无穷小，则必为无穷小.解法1 排除法若取，显然（A）不正确.若取 则，且无界，但也无界，则（B）不正确.若取，显然（C）不正确.故应选（D）解法2 直接

8、法由于 ，则故应选（D）例1.12 设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A 若收敛，则收敛. (B 若单调，则收敛.(C 若收敛，则收敛. (D 若单调，则收敛.解法1 直接法由于单调有界，则当单调时，数列单调有界，从而 收敛，故选（B）解法2 排除法令.显然在上单调有界，收敛，但不存在，则（A）不正确.令收敛，且单调，但，则（C）（D）均不正确，故应选（B）.题型二 求极限方法1. 利用有理运算法则求极限例1.13 解 原式=例1.14 解法1 原式例1.15 设 ，求解 ，则 .方法2. 利用基本极限求极限常用的基本极限, , , , 例1.16 ； 解 原式=方法3.利用等价无

9、穷小代换求极限1.常用等价无穷小 当时,， 2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系，而不能用在加、减关系。例1.17 求极限 .解 原式=例1.18 。解法1 原式=解法2例1.19若 ， 求 解 由于.且 ，则，当时， .例1.20 ； 解 原式=1方法4. 洛必达法则：若 1）2）和在的某去心邻域内可导，且3）存在（或）；则 注：洛比达法则可用来求七种类型不定式的极限，即，其中前两种，直接用洛比达法则，后五种均可化为前两种.这里，都为幂指函数极限，可通过化为，进一步化为或.例1.21 解 原式=例1.22 解法1 原式=原式=解法2 对型极限用以下结论方便若，且.则.由于而 = （见解法

10、1）则原式=例1.23 解法1 原式=因为 = =所以 原式=.解法2 原式=（1） （洛比达法则）=（2） （拉格朗日中值定理）=（3） （导数定义）则 原式=.例1.24 解 原式=为求极限，我们考虑极限=则 原式=例1.25 解 原式= （令）=方法5 泰勒公式定理（泰勒公式）设在处阶可导，则特别是当时例1.26 若 ，则等于（A） 0； （B）6； （C）36； （D）解法1 =,则 .解法2由 知 =.解法3 由知，当时. 则 =解法4 排除法令，显然有，此时，=,显然（A）（B）（D）均不正确，故应选（C）.例1.27 ； 解 原式=.例1.28 已知其中二阶可导，求 及 解 由知

11、，且.即而由 知，.由于 ，则 方法6 利用夹逼准则求极限例1.29 求极限 解 由于则 原式例1.30 求极限其中。 解 令 ，则则 原式=注：本题的结论是一个常用结论.例1.31 设 求 解 显然 ，又则 方法7 利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限例1.32 设，证明：数列极限存在并求此极限。 证：由，知，从而有而=则单调增，或者由知递增又上有界，则存在，不妨设 等式两端取极限得，由此解得或（舍去）则 .例1.33 设 ，求极限。 解法1 显然数列递增，且，若，则，从而，即数列上有界，则存在，设，由知，解得，或 （舍去）则 解法2 直接证明由知则 .例1.34 设数列满足。

12、1）证明存在，并求该极限；2）计算 解：1 证明：由，知即递减，且下有界，则存在.设，由知 从而有，即2 为此我们考虑极限由于且则故 方法8 利用定积分的定义求极限例1.35 解 原式=.例1.36 求； 解 令则=则原式=例1.37 求 解=则 原式=题型三 已知极限确定参数例1.38 若 求，其中为正数.解 = =则.例1.39 若 求.解法1 原式 解法2 例1.40若，求 解 中最高次项为，由题设知即. .则 则 .例1.41 设,求及. 解 =则 题型四 无穷小量阶的比较例1.42 当时,与是等价无穷小,则解 则例1.43 把时的无穷小， 进行排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，

13、则正确的排到顺序是(A (B (C (D 解法1 （确定是的几阶无穷小）由 ( k =1时 ( k =3时=. ( k =2时则正确的排序是.解法2 由于 则正确的排序是.例1.44 若时,是的几阶无穷小解 由=知，即，则当时，是的9阶无穷小.例1.45 已知时,与是等价无穷小,求. 解 由知，.第三节 连 续1。 连续的定义: 若,称在处连续,左右连续定义: 若称在左连续若称在右连续连续左连续且右连续2。间断点及其类型1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限的间断点跳跃间断点:左极限右极限的间断点2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点

14、: 时,振荡间断点: 时,振荡3。连续函数的性质1） 连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续性；2） 初等函数在其定义区间内处处连续；3） 闭区间上连续函数的性质（1）有界性：若在上连续,则在上有界。（2）最值性:若在连续, 则在上必有最大值和最小值。（3）介值性:若在连续, 则在上可取到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值.(4）零点定理:若在连续,且,则必，使。题型一 讨论连续性及间断点类型例1.46 设函数在内连续，且，则常数 应满足(A (B (C (D 解 由在连续知，从而有；又由知，则，故应选(D.例1.47 设和在上有定义，为连续函数，且，有间断点，则(A 必有间断

15、点； (B 必有间断点；(C 必有间断点； (D 必有间断点.解法1 直接法直接证明选项（D）正确，用反证法：若无间断点，由的连续知=必无间断点，这与有间断点矛盾，故应选（D）.解法2 排除法设，显然，符合题设条件，而，都处处连续，则排除（A）（B）（C），故应选（D）.例1.48 讨论函数的连续性并指出间断点类型.解 由于为初等函数，则除，外处处连续.当时，则为跳跃间断点.当时，则为可去间断点.当时则为无穷间断点.例149 求函数的间断点并指出其类型.解： 显然和为的间断点，其余点处都连续。则 为可去间断点。则 为跳跃间断点。例1.50 求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出类型. 解 由于=而 则 显然都为的间断点.由于，则为可去间断点；而都为第二类间断点.例1.51求函数的间断点并指出其类型。 解 显然无意义，而 则为可去间断点.由于则为跳跃间断点.而是偶函数，故也是跳