第四章 实数的连续性

1、第四章 实数的连续性一实数的连续性定理1 闭区间套定理，确界定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西收敛准则及单调有界定理，虽然它们的数学形式不同，但它们都是描述了实数集的连续性，它们彼此都等价，即任意一个定理都是其它定理成立的充要条件，并可相互论证。2. 单调有界定理：由数列收敛的必要条件，任何收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛，可附加上“单调”这个条件，则数列一定收敛，这就是所谓的单调有界定理，但这种收敛数列要求很严，必须所有的子列都收敛于同一个数，故大大限制了它的使用范围，只是在判别数列发散时比较方便。3. 致密性定理：它指出了有界数列的“部分”收敛性（即有界数列必有收敛的子列）

2、。而在数学分析的认证中，常常不一定要求数列收敛。而有这种“部分”收敛性就足够了。这时应用致密性定理恰到好处。4. 闭区间套定理：为了证明致密性定理，需要用其它定理做基础，故出现“闭区间套定理”。此定理常把某区间上满足的性质归结为某点邻域中的“局部”性质，它揭示了整体（区间）与局部（点的领域）间的关系，应用时关键是要构造一个满足一定条件的区间套序列，然后由定理套出一 个公共点，这个点就是满足问题的要求。方法一般用二等分法。将闭区间改为开区间，或去掉条件（i）或（ii），定理结论将不成立。5. 有限覆盖定理：与闭区间套定理恰恰相反，有限覆盖定理是把“局部性质”扩充到“整体性质”，它一般用于证明区间

3、具有某种性质P。具体做法如下：（1） 证明对于中的每一点，都有一个领域U（）具有性质P,而这样的领域构成一个覆盖的开区间集。（2） 根据有限覆盖定理，可从中选出有限个开区间：U()，U(),U(),覆盖。（由无限转化为有限）（3） 由U()(=1,2,n) 具有性质P，证明闭区间也具有这种性质P。（由局部性质转为整体性质）。 定理条件中，若E不是开区间集，或a,b改为非闭区间，则结论将不成立。6. 确界定理：因有界数集的上界与下界都有无穷多个，但能找到一个最小的上界和最大的下界呢?回答是肯定的，这问题正是由确界定理来解决。确界不仅存在而且唯一。若数列为单调增加有上界，则有若数列为单调减少有下界

4、，则有上确界sup=还有两种等价叙述：（1） (2) 即数集的上确界是数集的上界数集中的最小数。 下确界也有另两种等价叙述： (1) (2) .即数集的下确界是数集的下界数集中的最大数7. 聚点定理：应用此定理解决问题必须强调两个条件：（1）有界;（2）无限集。缺一不 可。它做为数学分析的一个论证工具来使用，往往和下面的定理相联系。即为点集 的一个聚点中含有一个各点互不相同且收敛于的点列。二闭区间连续函数的性质： 1. 五个性质定理的条件都是闭区间上的连续。这些性质建立在实数连续性的基础上，它们构成了连续函数的理论基础。 2. “一致连续”是首次出现的概念，后面还有一致收敛，一致有界等，要加以

5、重视。注意连续与一致连续，非一致连续的比较;连续定义中的，不仅与有关，而且还与点有关;一致连续定义中的仅与有关，与无关。即对是相同的，公用的。连续的定义是局部的，而一致连续是整体的概念，其实质是这个区间内任意两个彼此充分靠近的点的函数值之差的绝对值可以任意小。 “非一致连续”是：时，有。 3. 函数在区间上一致连续的几个等价叙述： （1）函数在闭区间上一致连续函数在上连续。 （2）函数在开区间内一致连续函数在连续，且极限与都存在。 （3）函数在区间上一致连续对区间上任意两个数列与，当，有。 （4）函数在区间上一致连续当时，有。 （5）函数在区间上一致连续函数在区间上的连续模的极限：，其中 （6

6、）函数在有界区间上一致连续当是上的任意柯西数列时，也是柯西数列。若，称是柯西数列，亦基本数列。三例题 1. 用确界定理证明区间套定理。即已知：1）确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）;2）为一区间套。 欲证：存在唯一的点。 证 证明思想：给出一数集S，有上界，使得S的上确界即为所求的。 为此，取S，其上界存在（例如取）。由确界定理，存在，首先，由为的一个上界，故。再由是的最小上界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区间套相矛盾。所以任何。这就证得。关于的唯一性易证，略。 2. 证明在开区间内一致连续的充要条件是：在内处处连续，且存在单侧极限与。 证 先证充分性;由条件可令 于是，在上连续，从而在上一致连续。再由一致连续的定义，又知在内也一致连续。而在内，所以证得在内 一致连续。 再证必要性：由在内一致连续的定义，当且时，有 因此，特别当或时，同样有，而这即为或的柯西条件得到满足。所以证得与都存在。 3. 证明：若函数在连续，且，则函数在一致连续。 证 已知，根据柯西收敛准则，有有。 又已知函数在闭区间连续，根据定理4,函数在一致连续，即对上述（使），有 于是：，有 即函数在一致连续。 练习题1. 用聚点定理证明区间套定理。2. 设为一有界数列