双参数指数分布下可靠性增长试验的统计分析

1、2005年6月第23卷第3期西北工业大学学报Journal of Northwestern Polytechnical UniversityJ une2005Vol.23No.3双参数指数分布下可靠性增长试验的统计分析李艳玲,赵选民(西北工业大学应用数学系,陕西西安710072摘要:在充分利用可靠性增长试验中各阶段试验数据评定现阶段可靠性指标的基础上,对双参数指数模型试验下所得的抽样数据,运用陈家鼎提出的方法,给出了现阶段可靠度的点估计和在某种意义下最优的置信下限。文中的方法在计算上比较简便,适用于工程实际。关键词:可靠性增长试验,双参数指数分布,可靠度,点估计,置信下限中图分类号:O213.

2、2文献标识码:A文章编号:100022758(20050320356204在研制新产品期间,总要经历试验2改进的反复过程,以提高产品的可靠性,这个过程称为可靠性增长试验。在新产品的研制和生产过程中,用可靠性增长技术对产品进行可靠性分析、控制和管理,对缩短产品的研制周期、节约试验时间和研制经费等有明显的效果。故对这项技术的研究具有重大的理论和实际应用价值。产品研制工作中的可靠性增长试验通常有若干个阶段,每个阶段都是在前面几个阶段的基础上,在设计或者原材料或者生产条件等方面有所改进,以提高产品的可靠度。我们关心的是最后阶段结束时产品的可靠度是多少。如果这个可靠度合乎要求,则可靠性增长试验可以结束,

3、否则还要继续做增长试验。在某些高技术产品(如航天、航空工业的某些产品研制过程中,每个阶段只能获得很小样本的数据。问题是如何充分利用各个阶段的数据,给出最后阶段结束时可靠度的点估计和置信下限。本文研究可靠性增长中的一类结构可靠度的统计分析。文献1对正态分布进行了讨论,本文将文献1中的方法用于双参数指数分布的情形。1R m的点估计设研究某种产品的可靠性增长试验共有m个阶段,第i阶段产品的强度是X i,R i=P(X i>c是第i阶段产品的结构可靠度(c是最大应力水平,在本文中看成固定常数。假定X i服从双参数指数分布exp(i,i(i=1,2,m,i,i未知。通常工程界易于接受的基本条件是R

4、1R2R m(1第i阶段产品的强度数据是X i1,X i2,X ini(X i的随机样本,n i2,为了简单将其顺序样本仍记为X i1X i2X ini,在本文中用的都是顺序样本,且各阶段试验相互独立。如何利用假定(1及全部数据X ij,i=1,2,m;j=1,2,n i给出最后阶段可靠度的点估计与置信下限,是本文讨论的主要问题。X i的分布函数为F(x=1-exp-x-ii(xii>0易知R i=exp-(c-i/i,(ci,令i=i-ci(i=1,2,m(i0则条件(1式等价于12m(2为了给出可靠度R m的点估计和置信下限,用到下面的引理。引理1设产品的寿命服从双参数指数分布exp

5、(i,i,在寿命试验中(有n个产品进行寿命试收稿日期:2004206222基金项目:国家自然科学基金(79970022、航空基金(02J53079和陕西省自然科学基金(N5CS0002资助作者简介:李艳玲(1979-,女,西北工业大学硕士生,主要从事应用概率统计的研究。验得到的数据为t 1t 2t n ,则下述结论成立:(1和的最大似然估计分别为=t 1=1nni =1(n -i +1(t i -t i-1(2和的一致最小方差无偏估计(UMV 2U E 分别为=t 1-1n,=n n -1(n >1证明见文献2。令i =1n i -1n ij =2(n i -j +1(X ij -X i

6、 (j -1i =X i 1-1n ii由引理1知, i 和i 分别是i 和i 的一致最小方差无偏估计。记Z i =i -c im =max1k mmi =kn i Z imi =kn iR m =exp (m (3取R m 作为R m 的点估计,有如下结论。定理1(Theorem 1在约束条件(2下,R m 是R m 的强相合估计。证明由顺序统计量的概率分布知,X i 1的密度函数为f i 1(x =n i exp -x -iin i -11i exp -x -i i =n i iexp -n i (x -i i i 的极大似然估计i =X i 1。对任意>0P (|i -i |>

7、;=+i +fi 1(x d x =exp -n ii故n i =2P (|i -i |>=n i =2exp -n ii<由Borel 2Cantelli 引理知i a.s.i ,即i 是i 的强相合估计。又 i =X i 1-1n ii ,易知 i 亦是i 的强相合估计。由引理1证明知(n i -j +1(X ij -X i (j -1服从参数为i 的指数分布。由强大数定理知,n i 时, i =1n i -1n ij =2(n i -j +1(X ij -X i (j -1a.s.i ,即 i 是i 的强相合估计。故Z i 是i 的强相合估计。在约束条件(2式下,R m 是R

8、 m 的强相合估计。2R m 的置信下限为求R m 的置信下限,令G (r ,1,1,2,2,m ,m =P (1,1,(m ,m (R m r 作变换Y ij =X ij -ii(1i m ,1j n i 则Z i =Y i 1-1n i (n i -1n ij =2(ni-j +1(Y ij -Y i (j-1+i1n i -1n ij =2(ni-j +1(Y ij -Y i (j -1(4由X ij 相互独立,知Y ij 也相互独立,且共同分布为标准指数分布exp (1,利用(3式和(4式知R mr的概率只依赖于1,2,m ,故可令G (r ,1,1,2,2,m ,m =g (r ,1

9、,2,m 式中g (r ,1,2,m =P (1,1,(m ,m(R m r i =i -ci(1i m 给定(0,1,令R 3m (r =inf exp (m g (r ,1,2,m >,12m 0(5则由文献3知R 3m (R m 是R m 的1-水平置信下限,并且是关于R m 单调的1-水平置信下限中最优的。由(4式知,Z i 是i 的增函数,故R m 是i 的增函数。故g (r ,1,2,m 分别是1,2,m 的增函数。则容易证明下面的等式infexp (m g (r ,1,2,m >,12m 0=infexp (g (r ,>,-<0(6由(6式和(5式,得到

10、:R 3m (r =inf exp (g (r ,>,-<0(7定理2(Theorem 2g (r ,是的严格增连续函数。证明由g (r ,的定义知,连续性显然成立。下证g (r ,是的严格增函数。记753第3期李艳玲等:双参数指数分布下可靠性增长试验的统计分析y=y11,y1ni ,y21,y2ni,y m1,y mnm(,y=max1km mi=kn i y i1-1n i(n i-1n ij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-1+1n i-1nij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-1mi=kn i若存在i使y i1,y i2,y ini全相等,则令(,y=0

11、。为了证明方便,引入如下定义。称y是正则点,若其分量有下列性质:对一切1im,y i1,y i2,y ini 不全相等。易得,若y是正则点,则(,y是的严格增连续函数,并且有lim-(,y=-,lim0(,y=C式中C=max1kmmi=kn i y i1-1n i(n i-1n ij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-11n i-1n ij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-1mi=kn i任给定1<2及(-,C,对于任一固定正则点y0=y011,y01n1,y021,y02n2,y0m1,y0mnm由连续函数中值定理知,存在3,使得(3,y0=,令y ij=y0ij+

12、(3-2(1im,1jn iy= y11, y1n1, y21, y2n2, y m1, y mnm则(2, y=且 y是正则点。由(,y是的严格增连续函数知,(1, y<。根据函数连续性知,对任意的>0,使得(1+, y<。令y ij=y ij+(1im,1jn iy= y11, y1n1, y21, y2n2, y m1, y mnm则(1, y=(1+, y<(2, y=(2+, y>(2, y=令D=y(1,y<<(2,y,且y是正则点,由上面的证明知, yD。故D是非空集,所以D 的Lebesgue测度大于0。设Y=Y11,Y1n1,Y21,

13、Y2n2,Y m1,Y mnm式中,Y ij是独立同分布随机变量组,共同分布为exp(1,则g(r,=P(exp(,yr=yexp(,yrexp-i,j y ijd y所以g(r,1,2,2-g(r,1,1,1=y(1,y<(2,yf(yd y>0即是说g(r,是的严格增函数。由定理2和公式(7知R3m(r=exp3,其中3是方程g(r,=(8的唯一根。对于给定的r和可用随机模拟法计算g(r,的值。本文首先根据观测数据Xij计算出R m。取定r=R m,然后用二分法解方程(8,得到其根3,最后得到可靠度R m的置信下限R mL= R3m(R m=exp(3。3数值模拟用文中的方法对

14、三阶段可靠性增长试验进行数值模拟。取m=3,n1=10,n2=15,n3=15,各阶段的参数值分别取为1=210,1=20,2=215,1 =40,3=220,3=60;最大应力c为221。按这些参数值随机产生各阶段的样本数据。运用Matlab进行计算。可以得到各阶段可靠度的点估计和最后阶段可靠度的置信下限的估计值(1-=0.8模拟次数1000次为R1=0.5574R2=0.8581R3=0.9917R3L=0.9032从以上结果可以看出:各阶段可靠度的估计值853西北工业大学学报第23卷满足文中的基本条件(1。而且利用文中的方法计算最后阶段可靠度的点估计和置信下限特别简单。便于工程实际应用。

15、参考文献:1周源泉.确定电子产品M TBF 增长的Bayes 方法.电子学报,1983,11:40442周勇,陈家鼎.可靠性增长试验中一类结构可靠度的统计分析.应用概率统计,1997,13(3:2832873师义民,杨昭军,刘小冬.双参数指数分布下加速寿命试验的统计分析.西北工业大学学报,1995,13(4:6066094陈家鼎.样本空间中的序与参数的置信限.数学进展,1993,22(6:542552.5曹晋华,程侃.可靠性数学引论.科学出版社,1986A B etter Analysis of R eliability G row th T estsLi Yanling ,Zhao Xuan

16、min(Department of Applied Mathematics ,Northwestern Polytechnical University ,Xi an 710072,China Abstract :In our opinio n ,t he two 2parameter exponential distribution is a better mat hematical distribution t han t he now generally used one 2parameter exponential distribution for analyzing reliabil

17、ity growt h test s ;it is clo ser to describing accurately t he life distribution of p roduct and is t herefore conducive to more accu 2rately p redicting reliability and leads to high reliability growt h.In t he f ull paper ,we explain in much detail how to make better analysis using two 2parameter

18、 exponential dist ribution ;we emp hasize t hat we prove Theorems 1and 2,which form t he core of o ur analysis.In place of f ull but cumbersome explanation ,here we give only a briefing.For a product which has undergone m stages of reliability growt h test s ,we take sample test data from t hese m stages and comp ute t he point estimate and lower confidence bound of t he m t h stage.A simulation example shows p reliminarily t hat our analysis ,which is