关于车辆内轮差的数学建模论文

1、1车辆内轮差的分析及防范措施摘 要内轮差是车辆转弯时，前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差。在频发的各类交通事故中，由于内轮差导致的事故占据很大比例。因此内轮差这一名词也逐渐成为交通警示红灯。本文就不同类型车辆产生内轮差的原因进行了分析，并对内轮差的大小进行了定量研究。我们将数学理论和物理原理相结合，建立了不同的数学模型，逐层深入地探讨了不同类型车辆的内轮差。最后我们利用数据计算内轮差，并给出了一个避免内轮差事故发生的可行方法。首先，我们建立的模型一是将车辆简化为具有一定长度的矩形状刚体（适用于小轿车和客车），并假设其前轮和后轮的运动轨迹为圆弧。然后通过平面几何的方法来求出内轮差。接着，我们将上

2、述模型加以改进，建立模型二。我们仅假设前轮的运动轨迹为圆，接着推导后轮的运动轨迹。在坐标系下，建立解析几何模型，再用微分方程和参数方程表示前后轮的运动关系，推导出后轮运动轨迹，最后求出内轮差。在模型三中，我们进一步考虑轿车司机转弯时的驾驶细节，根据相关驾驶资料，前轮转向带动后轮转向，车辆在转弯时的轨迹并不是理想的圆弧。于是我们先通过建立解析几何模型定义了曲率不断变化的前轮轨迹，再通过数学方法建立联系，求得后轮轨迹以及内轮差。我们在矩形刚体模型的基础上，进一步研究折腰式机组（多为链接式货车），建立模型四折腰式模型。此时依然假设前轮在所建立的坐标系中做圆周运动，求出内轮差。在模型改进阶段，基于模型

3、四，我们进一步考虑了机车前轮进入弯道、后轮未进入时的调整阶段。分析比较了最大内轮差与改进前的差别。最后，我们依据我们所建立的模型，代入不同车型的数据，计算出了小型车、中型车、大型车的最大内轮差，并提出了一个防范此类事故发生的可行建议。关键词：参数方程 微分方程 平面几何 解析几何 曲率一、 问题重述1.1 背景资料与条件为了从探知“内轮差”产生原因从而达到防范此类事故的发生并给与警示行人的目的， 需要通过一定的数学方法计算出各种型号汽车在转弯时的内轮差。由于现实中各种其他因素干扰，如路面状况等次要因素，现仅把该现象简化为理想模型，忽略次要因素。通过基本的观察与假设，我们发现：转弯车辆是以内侧后

4、轮为支点进行移动的，前后车轮划过的区域其实是不同的。车身越长，转弯幅度越大，形成的轮差就会越大。故经过简化，影响内轮差主要因素为车身长度和转弯角度。1.2 需要解决的问题1. 对于不同结构的车辆刚性和非刚性汽车我们应该用何种不同模型来反映和计算内轮差。2. 如何改进模型，考虑司机转弯时的驾驶细节，使模型更贴合实际。 3. 计算不同车型的内轮差。4. 给出一个可行的避免内轮差的方法。二、 符号说明 三、 模型的建立与求解模型一模型一假设：1、研究对象为具有刚性的汽车，车身为一整体、不可变形。通常情况下，轿车及客车属于此类。2、前后轮轴始终保持平行。3、车在转弯时前轮后轮的轨迹均为圆弧且两圆圆心重

5、合。图1-1如图1-1所示，轨迹半径为弯道半径A r ，设前轮到后轮的距离AB 为l ，则我们可以求出后轮的轨迹OB半径为。 我们可以得出内轮差：D=tan2A r l -=。 所以小汽车的转向角越大，内轮差越大。小汽车取最大转向角时，内轮差最大。模型二模型二假设：1、研究对象为具有刚性的汽车，车身为一整体、不可变形。通常情况下，轿车及客车属于此类。2、由于汽车导向仅依靠前轮，假设轿车前轮的转弯路径是圆弧，后轮待定。 3、轿车进入弯道后匀速行驶。4、在弯道内行驶的过程中，汽车以恒定的转向角转弯，即方向盘固定在同一个位置上。下面我们用解析几何模型进一步推导内轮差。在前面的推导中，我们认为轿车转弯

6、时前轮后轮的轨迹都是圆弧，但是这样的假设并不严谨。轿车转向时，只有前轮起导向作用，带动后轮偏转；因此汽车以恒定的转向角、恒定的线速度转弯时（C =），只能确保前轮的轨迹为圆弧，而后轮经车身带动，轨迹需要进一步确定。在这一模型中，我们仅假设前轮的运动轨迹为圆弧，接着推导后轮轨迹。轿车是刚体，即车身不发生任何形状变化。根据刚体运动时的速度分解规律，前轮后轮沿车身方向的分速度相等：cos A C v V =Ar上式的微分形式为cos A v = 又因为前后轮的距离始终为车身长l ，故有：222( ( C A C A x x y y l -+-=根据假设，设前轮的轨迹：cos A A x r =sin

7、 A A y r =因为汽车前轮做匀速圆周运动，所以参数与, v t 的关系为：AAv t r =以上六式中，, , A A l r v 为常量，, , , , C C A A x y x y 为变量。 用Matlab 的dsolve 函数解得：cos cos cos sin C A C A x r y r =即2222cos CC A x y r +=。 图2-1如图2-1所以当轿车以恒定的转向角、恒定的速度转弯时，前后轮的轨迹为同心圆弧。 内轮差为两圆半径的差： cos A A D r r =-如图2-2所示，根据几何关系sin Ar l =。内轮差也可表示为( tan2D l =。模型三

8、模型三假设：1、研究对象为具有刚性的汽车，车身为一整体、不可变形。通常情况下，轿车及客车属于此类。2、依据现实中转弯时的驾驶过程，汽车的转弯路径不为理想的圆。3、汽车的转向角以一定的规律变化，并非恒定。司机进入弯道后先打方向盘，后回方向盘，操作过程对于时间完全呈反对称。模型三的建立与求解中给出具体细节。 4、汽车进入弯道后匀速行驶。5、所研究的弯道为多见的90度弯道。在现实中，我们进一步考虑汽车司机转弯时的驾驶细节。根据驾车技术的相关资料，司机应该在后轮驶过线时开始打方向盘。车辆行驶到弯道中央时，方向盘打到最大程度。即将结束弯道进入直道时，司机要开始将方向盘慢慢回位。车辆离开弯道时，方向盘刚好

9、回到原始位置。 根据以上对现实情况的分析，车辆在转弯时的轨迹并不是理想的圆弧。由于打方向盘以及回正方向盘都是一段持续的过程，所以从进入弯道（90度弯道）开始，车辆的转向角将连续变化，先增大后减小。反映在行驶轨迹上，即轨迹的曲率先增大后减小，曲率半径先减小后增大。为了更好地研究内轮差，我们不妨假定：车辆后轮进入弯道时司机开始打方向盘；行驶到弯道中点时方向盘刚好打到最大程度，之后随即开始逆向转动回正；后轮离开弯道时方向盘刚好回正，整个过程中方向盘的操作完全反对称。 在这种情况下，最大内轮差即为前轮轨迹与后轮轨迹的最大距离。我们先定义前轮的轨迹，再根据关系推导后轮轨迹。结合以上假设，根据曲率先增大后

10、减小的变化规律，我们猜想曲线333A x y r +=符合上述曲率变化规律，可以更为精确地反映前轮行驶轨迹。我们的验证过程如下。 这类曲线可以用参数方程( cos ( sin A A x r y r =lAr AC图2-2表示，令1A r =，这一曲线在第一象限的图像如图3-1所示。图3-1根据参数方程的曲率公式，其曲率为88322232sin cos (sincos A r (-(K=(+(+''''''''=K 对求导可得，导函数( K '图形如图3-2所示，2cos sin (02x y <=<其中图3-

11、2区间0,4内( 0K '>，K 单调递增；区间, 42内( 0K '<，K 单调递减。 2=时( 0K '=，K 取得极大值。曲率K 的变化规律与实际情况符合得很好，因此我们采用这类曲线，用22cos sin 2A A A A x r y r ,(0=作为汽车前轮的轨迹。以10A r =为例，大体来看，汽车的行进路线如图3-3所示。(y K '=图3-3考虑到内轮差问题，我们充分分析前后轮的时间和空间关系，进一步确定后轮的轨迹。 刚体的速度关系式：cos A C v v = 即cos A v = 前后轮的距离始终为车身长：222( ( C A C

12、A x x y y l -+-=轨迹弧长为线速度在时间上的积累： A d v t =其中22cos sin 2A A A A x r y r ,(0=与的关系：d dt=根据以上六式，用Matlab 的dsolve 函数解得后轮的轨迹方程为注：方块为小汽车max max cos cos cos sin 2C A C A x r y r ,(0= 其中当4=时，取得最大值max ，max cos =两轮轨迹如图3-4所示。图3-4内轮差随角度变化的表达式为 ( (1A D r =- 当4=时，D取得最大值(1A D =-2cos sin 2A A r r ,(0=模型四模型四假设：1、研究对象为

13、车身可以变形的折腰式机组，车身分两段。 2、在转弯时机车前轮轮轴与后轮轮轴并非始终平行，前后轮均做圆周运动，两圆圆心重合。 3、机车前轮轮轴所在直线与前轮转向半径所在直线重合，后轮轮轴所在直线与后轮转向半径所在直线重合。由于小汽车前轮的驱动轴和后轮的从动轴始终是平行的，但是对于大型货车或重卡，之前的模型不再适用，我们需要用折腰式模型研究其内轮差。前后轮的轮轴长度相差很小(一般只有10cm 左右, 因此内轮差可以近似等于前后轮轴中心到转向中心距离的差。内轮差D 22C A A C A C rr L L r r =- 首先将模型简化，假设前轮沿着弯道前进，则前轮的转向半径A r 等于弯道的曲率半径

14、R , 下面求出此时的内轮差。图4-1和4-2中折线ABC 代表机车车组。根据假设, 当机车进入弯道后前轮和后轮的转向中心都为点O , 根据圆内几何关系, OABC 构成的一个四边形形状保持不变，如图4-1： 图4-1图中OA AB ，OC BC AOC =, 为汽车的转向角。A OA r =，OB B r =，C OC r =；AB a =, BC b =；则根据勾股定理，22222A B C r AB r r BC +=+即Cr = 内轮差A C A D r r r =-=-将A r R =代入得D R = D d dR = 因为实际情况下机车的a b <, 所以D0d dR<

15、，内轮差随着弯道曲率半径的增大而减小。转向半径越小，内轮差越大。但是由于汽车在转弯过程中前轮并不一定严格沿着弯道所在的圆弧行进，其圆弧轨迹和弯道轨迹可能有偏差。前轮的转向半径和转向角之间有如下的关系。(sin -Bbr = cos ABr r = 由上式可以得出cos sin A b r =-再根据arctanAar =可以得到 cos sin A b a r +=将A r 对求导dr d =2bcos 0sin a -< 所以得出前轮转向半径A r 随转向角的增大而减小。根据复合函数(A D r 增减性规律，内轮差D 随转向角的增大而增大；在实际转弯过程中，弯道的曲率半径越小，相应的转

16、向角越大，内轮差也就越大。四、模型改进模型四改进阶段的假设： 1、考虑到刚进入弯道时，司机开始打方向盘，在前轮进入弯道、后轮未进入的过程中两轮轨迹曲率圆的圆心不重合。 2、进入弯道后机车以恒定转向角转向。由于机车车身较长，前轮进入弯道开始绕转向中心O 点转向时，后轮按另一点O '点转向（点O '为后轮轴的延长线与前轮转向半径延长线的相交点）。随着机车逐渐进入弯道，机车的转向角逐渐增大，O '点也逐渐向O 点靠近，当两中心重合时，前轮和后轮的轨迹为同心圆弧。下面我们求此时内轮差D 与机车已转过的角度，机车转向角。图4-2以前轮的转向中心O 点为原点，建立如图4-2所示的直

17、角坐标系，则AOX =，AOB =；将OA 的长记为A r ，OB 的长记为B r ；点A 的坐标为(cos , sin A A r r ，点B 的坐标为(cos(, sin( B B r r -，其中D B r =tan =Aa r 则可以求出直线AB 的斜率1k(1sin sin cos cos B A B A r r k r r -=-图4-2中ABD =，通过机车的转向角和AB 的斜率1k ，可以得出BC 的斜率2k 与、1k 的关系式：2112tan 1k k k k -=+根据BC 的斜率2k 、点B 的坐标(cos(, sin( B B r r -及BC 之间的长度b 可以得到

18、下列两个等式：2sin(cos(C B C B y r k x r -=-(222sin( cos C B C B y r x r b -+-=设后轮的转向中心' O 为00(, x y , 设'O C 的斜率为3k 因为点O 后轮轴的延长线与前轮转向半径延长线相交的点，则可以得到下列三个等式：231k k =-030( C C y y k x x -=- 000tan OA y k x x =则C r = 内轮差为：A C D r r =-根据等式（）我们可以得到机车刚进入弯道的不同位置下的内轮差。但是这些等式的求解过程较为复杂，我们没有得出具体的解析解。但是根据实际转弯情况，汽车前轮在调整过程的时间较短，此阶段转过的角度较小。据分析，机车的转向角逐渐增大，此阶段的内轮差一定 比完全进入弯道后的内轮差小。所以若要计算最大内轮差，我们利用模型四即可。这一改进模型分析了更为具体的内轮差变化过程。五、内轮差的计算 计算结果表示，模型一、二相对于模型三算出的内轮差总是较大。这是因为模型一、二为理想化模型，而模型三考虑了实际中转弯的驾驶过程。16 六、模型评价 模型一至三