解析几何问题的题型与方法11

1、高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。(一)直线的方程1.点斜式：；2. 截距式：； 3.两点式：；4. 截距式：；5.一般式：，其中A、B不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有

2、一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线：=+，直线：=+，则的充要条件是=，且=；的充要条件是=-1.(三)线性规划问题1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域.使目标

3、函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.2线性规划问题有以下基本定理： 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题1.圆的标准方程（r0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.（0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（，），半径为.当=0时，方程表示一个点（，）；当0时，方程不表示任何图形. 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： （为参数） （为

4、参数）(四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（0），（0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为（0）. 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. 对称性：分别关于

5、x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点

6、与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.(六)椭圆的参数方程 椭圆（0）的参数方程为（为参数）. 说明 这里参数与直线OP的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线

7、.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|，则无轨迹. 若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：

8、 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八)双曲线的简单几何性质1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数. 3.，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛

9、物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决

10、定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为，则有|AB|=x+x+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和

11、对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。(十)轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.十年高考分类解析与应试策略数学第七章 直线和圆的方程一、选择题ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（ ）xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95 B.91 3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A.x

12、y=0 B.x+y=0 C.|x|y=0 D.|x|y|=0x22y21与直线xsiny10（R,k，kZ）的位置关系是（ ）A.相交 B.相切 C.相离 5.若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为（ ）A.1，1 B.2，2D.16.圆（x1）2y21的圆心到直线y=x的距离是（ ）A.B.D.7.在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80,sin80）,B（cos20，sin20），则|AB|的值是（ ）A. B. C.l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.给定四条曲线：x2y2，1，x21，y21其

13、中与直线x+y=0仅有一个交点的曲线是（ ）A.B.C.D.10.（2001全国文，2）过点A（1，1）、B（1，1）且圆心在直线xy20上的圆的方程是（ ）A.（x3）2（y1）24B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24D.（x1）2（y1）24x=1的倾斜角为，则（ ）A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为xy+1=0，则直线PB的方程是（ ）A.x+yxy1=0 yxx+y7=0P在直线x=1上，O为坐标原点以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰RtOPQ，则动点Q的轨迹是（ ）A.圆 B.两条平行直线 x=y对称的是（ ）A.x2xy

14、21 B.x2yxy21 C.xy=1 D.x2y2115.直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（ ）A.相交不垂直 B.垂直 16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y=xB.y=xC.y=x D.y=x17.（2000全国文，8）已知两条直线l1：y=x，l2：axy=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（）C.（，1）（1，） D.（1，）18.（1999全国文，6）曲线x2+y2+2x2y=0关于（ ）x=y=x轴对称C.点（2，）中心对称D.

15、点（，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30后所得直线与圆（x2）2+y2=3的位置关系是（ ）B.直线与圆相交，但不过圆心20.（1999全国，9）直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为（ ）A. B. C D.21.（1998全国，4）两条直线A1xB1yC10，A2xB2yC20垂直的充要条件是（ ）A.A1A2B1B20 B.A1A2B1B20C. D.=122.（1998上海）设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bxsinBy+sinC=0的位置关系是（ ）A.平行 B.重合 C.垂直

16、23.（1998全国文，3）已知直线x=a（a0）和圆（x1）2+y2=4相切，那么a的值是（ ）A.5 B.4 C.3 24.（1997全国，2）如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，那么系数a等于（ ）A.3 B.6 C.D.25.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y22x4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）A.0，2 B.0，1 C.0， D.0，）二、填空题30.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=x+3的夹角为_.31.（2003上海春，7）若经过两点A（1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x1）2+（ya）2=1相切，则a=_

17、.32.（2002北京文，16）圆x2y22x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为34.（2002上海文，6）已知圆x2（y1）21的圆外一点P（2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是35.（2002上海理，6）已知圆（x1）2y21和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）0和F2（x，y）0，则点P（

18、a，b）C1C2的一个充分条件为37.（2001上海，11）已知两个圆：x2y21与x2（y3）21，则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A（x，y）|x2y24，B（x，y）|(x3)2(y4)2r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_.40.（1997上海）设圆x2+y24x5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（19

19、94上海）以点C（2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.三、解答题42.（2003京春文，20）设A（c，0），B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.45.（1997全国文，25）已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y=0的距离为，求该圆的方程.46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上

20、点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d=1，即a2+b2=c2.所以，以|a|，|b|，|c|为边的三角形是直角三角形.2.答案：B解析一：由y=10x（0x15，xN）转化为求满足不等式y10x（0x15，xN）所有整数yx=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共

21、91个整点.故选B.图72解析二：将x=0，y=0和2x+3y2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16AOB内部和边上的整点共有=91（个）3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）|x|y| |x|y|04.答案：C解析：圆2x22y21的圆心为原点（0，0）半径r为，圆心到直线xsiny10的距离为：R，k，kZ0sin21 ddr圆2x22y21与直线xsiny10（R，k，kZ）的位置关系是相离5.答案：D解析：将圆x2y22x0的方程化为标准式：（x1）2y21其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1a）xy10与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r

22、a16.答案：A图73解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A答案7.答案：D解析：如图73所示，AOB60，又|OA|OB|1|AB|18.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围交点在第一象限，k（，）倾斜角范围为（）图74方法二：如图74，直线2x+3y6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D.10.答案：C解析一：由圆心在直线xy20上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（

23、1，1）代入圆方程.A不满足条件.解析二:设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y2=0上,b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1因此所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=411.答案：C解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90.12.答案：A解析：由已知得点A（1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y5=0.13.答案：B解析一：设P=1+bi，则Q=P（i），Q=（1+bi）（i）=bi，y=1解析二：设P、Q点坐标分别为（1，t），（x，y），OPOQ，=1，得x+ty=0|O

24、P|=|OQ|，得x2+y2=t2+1由得t=，将其代入，得x2+y2=+1，（x2+y2）（1）=0.x2+y20，1=0，得y=1.动点Q的轨迹为y=1，为两条平行线.14.答案：B解析：点（x，y）关于x=y对称的点为(y，x),可知x2yxy21的曲线关于x=y对称15.答案：B解析：直线（）x+y=3的斜率k1，直线x+（）y=2的斜率k2，k1k2116.答案：C解析一：圆x2y24x30化为标准式（x+2）2y21，圆心C（2，0）设过原点的直线方程为y=kx，即kxy=0.由1，解得k=，切点在第三象限,k0，所求直线方程为y=x图75解析二：设T为切点，因为圆心C（2，0），

25、因此CT=1，OC=2，OCT为Rt.如图75，COT=30，直线OT的方程为y=x.17.答案：C解析：直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为（，）（，+）即:（，）（，）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（，1）（1,）.18.答案：B19.答案：C解析：直线y=x绕原点逆时针旋转30所得的直线方程为：y=x.已知圆的圆心（2，0）到y=x的距离d=，又因圆的半径r=，故直线y=x与已知圆相切.20.答案：C 解析：如图77所示，由消y得：x23x+2=0x1=2，x2=1A（2，0），B（1，）|AB|=2又|OB|OA|=2AOB是等边三角形，AOB=，故选C.21.答案：

26、A解法一：当两直线的斜率都存在时，（）1，A1A2B1B20.当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，同样适合A1A2B1B20，故选A.解法二：取特例验证排除.如直线x+y=0与xy=0垂直，A1A21，B1B21，可排除B、D.直线x=1与y=1垂直，A1A20，B1B20，可排除C，故选A.22.答案：C解析：由题意知a0，sinB0，两直线的斜率分别是k1=，k2=.由正弦定理知k1k2=1，故两直线垂直.评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.23.答案：C解析:方程（x1）2+y2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x=a表示与x轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程

27、分别为x=1和x=3，由于a0，取a=3.故选C.图7824.答案：B解析一：若两直线平行，则，解得a6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B正确.25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x1）2+（y2）2l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图78看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，当直线l过圆心与原点时，k=2.当k0，2时，满足题意.31.答案：a=4解析：因过A（1，0）、B（0，2）的直线方程为：2xyC（1，a），半径r=1.又圆和直线相

28、切，因此，有：d=1，解得a=4.32.答案：2解析：圆心到直线的距离d3动点Q到直线距离的最小值为dr312图7933.答案：2解法一：点P在直线3x+4y9.设P（x， x），C点坐标为（1，1），S四边形PACB2SPAC2|AP|AC|AP|AC|AP|AP|2|PC|2|AC|2|PC|21当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小|PC|2（1x）2（12x）2|PC|min3 四边形PACB面积的最小值为2解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直线3x+4y+8=0的距离，C（1，1），|PC|=3，SPACD=2.34.答案：图710解法一：圆的圆心为（0，

29、1）设切线的方程为yk（x2）.如图710.kx2ky0 圆心到直线的距离为1解得k或k0，两切线交角的正切值为解法二：设两切线的交角为图711tan，tan35.答案：解析：圆的圆心为（1，0），如图711.当斜率存在时，设切线方程为ykx2kxy20圆心到切线的距离为1 k，即tan当斜率不存在时，直线x0是圆的切线又两切线的夹角为的余角两切线夹角的正切值为36.答案：F1（a，b）0，或F2（a，b）0，或F1（a，b）0且F2（a，b）0或C1C2=或PC1等解析：点P（a，b）C1C2，则可能点P不在曲线C1上；可能点P不在曲线C2上；可能点P既不在曲线C1上也不在曲线C2上；可能曲

30、线C1与曲线C2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（ca）x+2（db）y+a2+b2c2d2=0解析：设圆方程（xa）2（yb）2r2（xc）2（yd）2r2（ac或bd），则由，得两圆的对称轴方程为：（xa）2（xc）2+（yb）2（yd）2=0，即2（ca）x+2（db）y+a2+b2c2d2=0.38.答案：（x1）2+（y1）2=1解析一：设所求圆心为（a，b），半径为r.由已知，得a=b，r=|b|=|a|.所求方程为（xa）2+（ya）2=a2又知点（1，0）在所求圆上，有（1a）2+a2=a2，a=b=r=1.故所求圆的方程为：（x1）2+（y1）2=1.解析二：因

31、为直线y=x与x轴夹角为45.又圆与x轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r=1.39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r=3，两圆内切时r=7，所以r的值是3或740.答案：x+y4=0解析一：已知圆的方程为（x2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0），又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP=1，而AB垂直CP，所以kABAB的方程是x+y4=0.解析二：设所求直线方程为y1=k（x3）.代入圆的方程，得关于x的二次方程：（1+k2）x2（6k22k+4）x+9k26k4=0，由韦达定理：x1+x2=6，解得k=1.解析三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有得（x2+x14）（x2x1）+（y2y1）（y2+y1）=0又AB的中点坐标为（3，1），x1+x2=6，y1+y2=2.=1，即AB的斜率为1，故所求方程为x+y4=0.41.答案：（x+2