高等数学上册总复习题答案2011

1、一、函数与极限1判断下列每个命题是否正确（1）若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中），数列中的点至多只有有限多个。 （2）若数列满足:，且，则。（3）设，且，则存在，当时，有。（4）若函数的极限存在，则在的任一邻域内一定有界。（5）若函数在处没有定义，则极限一定不存在。解：正确的是（1），（3）2设极限 = 5，求。解：5=，。3求极限 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。4当时，下列无穷小量中哪些是与 等价的无穷小量（）； （）； （）； （）。解：（），（）。5设当时， 是比 高阶的无穷小，求。解：。6求函数的间断点，并说明类型（1）； （2）。解：

2、（1），无穷间断点；，无穷间断点；，可去间断点。（2），是可去间断点。7设函数，讨论函数的间断点。解：，为跳跃间断点。8设函数 讨论函数在处的连续性和可导性。解：，在处连续；，在处不可导。9设函数 在处连续、可导，求。解：；，。10设函数在上连续，证明：至少存在一点，使。解：设在上连续，由零点定理知，至少存在一点，使。11设函数在区间上连续，且，证明：方程 在区间0，1内有且仅有一个根。证明：，由零点定理知：有解；，所以单减，于是只有唯一根。二、导数与导数的应用1判断下列每个命题是否正确（1）函数在点处可导，则在点处连续。（2）函数在点处导数为零是在点取到极值的必要条件。（3）设函数有三阶连续

3、导数，且满足：；则不是的极值。解：（1），（3）正确。2设，求。解：=5。3求导数（1）设，求，；解：；。（2）设，求；解：，。（3）设，求；解：（4）设为可导函数，求；解：（5）设方程 确定了函数，求，；解：，。（6）设，求；解：，。（7）设函数由 决定，求。解：，。（8）设函数，求。解：。4已知物体的运动规律（米），求这物体运动的速度和加速度。解：；。5求平面曲线在点（1，2）处的切线方程和法线方程。解：， 切线方程为，法线方程为。6设函数在上连续，在内二阶可导，且，又，证明：至少存在一点证明：（1）函数在上连续，在内可导，且由罗尔定理知，至少存在一点。（2），由罗尔定理知，至少存在一点。

4、7当 x > 0 时, 证明不等式: 。解：设在上连续、可导， 所以，使得，而，即证。8证明：当 时，。解：设，单调递增，当 时，单调递增，当 时，单调递增，。9讨论函数在区间的单调性并求极值。解：，单调递减，单调递增， 极小值为。10讨论函数 的单调性、极值、函数曲线的凹凸性、拐点，并描绘函数的图形。.解：，单调递增，单调递减，为极大值点，为极小值点；，为凸，为凹，为拐点；过。11在抛物线段 上求一点，使抛物线 在该点的切线与直线 所围成的三角形的面积最大。解：， 令，驻点为， 由题意，。12每天生产台收音机的总成本为，该收音机是独家经营，市场需求规律是：，是每台收音机的价格（单位：元

5、），问每天生产多少台时净收入最大？此时，每台收音机的价格应定为多少？解：，生产台的净收入为，令，得；，所以每天生产25台时净收入最大，此时每台收音机的价格应定为17.5元。三、不定积分与定积分1设有连续的导函数，判别下列等式中哪些是正确的。 （A）； （B）；（C）； （D）。解：（A），（B）正确。2求下列积分（1）； （2）；（3）： （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。3设，求解：。4讨论反常积分的收敛性。解：。5已知是 的一个原函数，求。解：，。6已知的一个原函数为，求解：，。7已知连续函数满足方程，求。解：设，。8设，求。解：，。四、定积分应用：1设平面图

6、形由曲线 与直线 所围成，求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形的周长。解：（1），； （2），。2设平面图形由星形线 所围成求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：（1），； （2）， 。3计算由曲线 和 所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：，；，。4求对数螺线，的弧长；解：，。5求对数螺线，和极轴所围图形的面积解：，。6求由曲线与所围公共部分的面积。解：由，得=。7已知质点以速度 （米/秒）作直线运动，求质点从时间秒到时间秒内所经过的路程。解：，。8一根直金属棒长5米，其密度函数（千克/米）（），求此金属棒的质量。解：

7、M=（千克）。9高为10米，顶园半径为5米的正圆锥形水池装满水，设水密度；求将水池内的水全部抽出所作的功解：以顶圆圆心为原点，。10半圆形闸门的半径为2（米），将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度；求闸门一侧所受的水压力。解：以半圆圆心为原点，。五、空间解析几何1设，求：（1）与，均垂直的单位向量；（2）；（3）向量的方向余弦。解：（1） 与，均垂直的单位向量为； （2）； （3）。2已知三角形的顶点为A、B、C，求此三角形的面积。解：，。3平行四边形的两边为，其中，并且，求：（1）；（2）平行四边形面积。解：（1），所以； （2）平行四边形面积=。4求由平面上曲线 绕轴旋转一周所得的曲面方程。解：。5求曲面 与 的交线在xOy平面上的投影曲线方程。 解：投影柱面方程为， 投影曲线方程。6求过点且平行于平面的平面方程。解：7求过直线和点的平面方程。解：，平面方程为。8求点与平面的距离。解