考研数学知识点之精华

1、高等数学部分 第一章：函数极限连续一、重要概念、公式(一) 函数的性质（单调性、周期性、奇偶性、有界性）(1)单调性：对于函数，如果对，有或（），则是单调增加（单调减少）。注：1对可导函数，常通过判定：单增， 单减；2函数不具体的非可导函数，必用定义。(2)周期性：对于，如果存在常数，使，则为周期函数。注：常见函数周期： 和，周期为；和，周期为如以为周期，则以为周期；如以为周期且可导，则以为周期，反之不真，即如为周期函数，其原函数不一定是周期函数，如。周期函数不一定可导如以为周期，则以为周期，则(3)奇偶性：对于，如果，则偶函数；如果，则奇函数 注：讨论奇偶性必注意区间对称性及与的关系； (偶

2、)奇，(奇)偶；偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；奇奇奇（不等），偶偶偶，奇偶不定奇奇偶， 偶偶偶，奇偶奇（偶0）(4)有界性：对于，如果存在，使，则称有界，有上界； 有下界注：有界 既有上界又有下界；常见函数的有界性：，； 闭区间上的连续函数一定有界； 极限存在必局部有界，指点的附近。（二）复合函数、反函数、分段函数1、复合函数：假设，则是由，复合而成的复合函数。注：的值域与的定义域的关系：仅当的值域包含在的定义域内时才可复合。例：，仅当时，才可复合。2、反函数： 由求，即得反函数注：单调连续反函数，其单调性相同；单调可导函数的反函数必可导。单调可导函数的反函数凹凸性不定

3、，单调增加的不同。单调减少的一致3、分段函数：在定义域内函数表达式不同。注：与，分段点；， 分段点 ；，分段点 ；整数的点 带极限的函数（三）极限定义及左极限、右极限与极限的关系1、定义： ， 注：(1) 的方式是任意的： 表示是为了确定函数关系；表示是为了确定函数关系；(2) 表示当非常小时，也非常小；(3) 当足够大时，与的差足够小2、极限与左、右极限的关系： 左极限右极限 极限存在(1) 在分段函数分段点的极限必用此结论；(2) ， 3、存在 ，为任何以为极限的数列注：此结论常用在证明极限不存在。（四）极限的性质1、保号性 (1) ，则在的某一邻域内，(2) ，则在的某一邻域内，2、局部

4、有界性 如果存在，则在附近，有界3、唯一性极限存在必唯一（五）无穷大无穷小1、定义（1）如果，则称在中为无穷小量注：无穷小是一个变量，并不是很小的数一个函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关 例：时，为无穷小时，不为无穷小（2）如果对存在，时，有成立，则当时为无穷大。注：1 无穷大一定无界，但无界无穷大 无穷大具有一致性 2时无穷小的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。2、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小3、无穷小的阶及等价无穷小的应用定理（1）设在自变量的某变化过程中，都是无穷小1 如则称是的高阶无穷小，记作2 如

5、则称是的低阶无穷小 3如则与是同阶无穷小 4如则与是等价无穷小5如则称是的k阶无穷小（2）等价定理如果则（3）无穷小与极限的关系注：此结论常用在求极限或证明题中。4、常用的等价无穷小当时注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下（2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式（3）如果是的阶无穷小是的阶无穷小则是的阶无穷小（4）一般地，如果是的阶无穷小，则是的阶无穷小，是的阶无穷小；反之，如是的阶无穷小，推不出是的阶的结论。（六）极限运算法则及存在条件如果与存在，则注：1、条件的存在性2、3、（七）极限存在的两个准则及适用范围1、双边夹法则如果满足且，则对于函数，如果且则注：多项和形式的极

6、限一般用双边夹法则。2、单调有界数列必有极限注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2）（八）连续定义及运算法则1、定义（1）设在的某一邻域内有定义，如果连续如果右连续 左连续注：() 函数在连续既左连续又右连续() 函数不具体或分段函数的分段点必用定义（2）不连续点称为间断点间断点包括:1无定义点； 2有定义但不存在的点3存在但（3）间断点的分类第一类左右极限都存在的间断点1左右跳跃2左右可去间断点第二类左右极限至少有一个不存在的间断点2、运算性质（1）如果都在处连续，则1也连续； 2； 3也连续（2）如果函数在区间上单调且连续，则其反函数也在相应区间上单调且连续（3）设函数，当时，极限存在

7、且等于，即，而函数在连续，则复合函数当时的极限也存在，且等于，即（4）设函数在点连续且而在点连续，则在点也连续。（5）初等函数在其定义域内都连续如为初等函数，为其定义域内一点， 则（6）如在上连续，则，在内连续(九)闭区间上连续函数的性质1、 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值2、闭区间上的连续函数一定有界3、闭区间上的连续函数必取得介于最大值、最小值之间的任何值注：1闭区间2连续是充分条第二章：导数与微分（610）(一)基本概念1、定义1：设函数在点的某邻域内有定义，如果存在，则称在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为，即，或，注意：结构的一致性；的方式的任意性定义2：左导数 右

8、导数 定义3：导函数2、左导数、右导数、导数的关系左导数右导数 导数注：（1）分段函数分段点的可导性，必用上述结论（2）在不可导，如，则在处可导（3）函数不具体，必用导数定义（4）（5） （奇）偶（偶）奇（周期）周期（6）单调，不一定单调3、导数的几何意义：表示在点切线斜率（1）切线方程（2）法线方程：4、可导与连续的关系： 可导必连续，但连续不一定可导。5、高阶导数：(1)定义：二阶及二阶以上的导数(2)公式：6、微分（二）导数的运算法则1、设, 都可导，则（1）； （2）；（3）2、反函数的导数：设是的反函数，且单调可导，则也单调可导，且3、复合函数的导数：如果在点可导，而在可导，则复合函

9、数在点可导，且其导函数为4、常见公式：5、隐函数求导法6、由参数方程所确定函数的导数：， ， 第三章： 中值定理与导数应用（1518）一、（一）罗尔定理如果在上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点，使（二）拉格朗日中值定理:如果在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使结构2条件是充分条件，条件缺一不可3.（三）柯西定理:如果在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点均不为零，那么在内至少有一点，使结构2.条件是充分条件，条件缺一不可（四）泰勒定理如果在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时其中注：1.常见的泰勒展开式 （五）导数的应用1、极值：设函数在区间内有定义，是内一个

10、点，如果存在点的一个去心邻域，对于这去心邻域内任何点都有则称为极大（小）值2、单调区间：使函数保持单调性的区间3、驻点：的点4、最大值，最小值与极值的关系：最值是整体概念，极值是局部概念；最值可在边界取得，但极值只能在内部取得5、凹凸性的定义6、拐点：连续曲线上凹与凸的分界点7、渐近线（六）基本定理1、单调性的判定定理：设函数在上连续在内可导（1）如果在内，则在上单调增加（2）如果在内，则在上单调减少2、极值存在的必要条件：函数在点处可导，且在处取得极值，则3、第一充分条件：设在点的一个邻域内可导且（1）如果当时；当时则在处取得极大值（2）如果当时，当时，则在处取得极小值（3）如果在两侧，符号

11、不变，则在处不取极值注：不存在的点或不易求的点常用此定理4、第二充分条件：设在处具有二阶导数，且则（1）当时，取极大值；（2）当时，取极小值。注：1驻点2二阶导函数易求5、函数凹凸性的判定定理：在上连续，在内具有二阶导数（1）若，则在上是凹的（2）若，则在上是凸的6、曲率的计算公式：第四章：不定积分（48）一、（一）原函数和不定积分定义1、原函数：，则是的一个原函数注（1）连续函数一定存在原函数：（2）原函数如存在一定有无穷多个（3）同一函数的原函数相差一个常数2、不定积分：全体原函数（二）不定积分的基本积分公式和性质1、公式2、性质（1） （2）（三）不定积分的换元积分法和分部积分法1、换元

12、积分法（1）第一换元（凑微分）注1、 2、 3、 4、5、6、 7、 8、 9、 10、(2)第二换元积分法 被积函数含；如果分母的次数比分子高的多，则用倒代换2、分部积分法 注：（1）运用分部积分法，关键是适当选取和其原则：比易求（2）；第五章：定积分（1518）一、重要概念、公式（一）定积分的定义及几何意义1、 2、几何解释注：，只与积分区间和被积函数有关，而与自变量用哪个字母表示无关.3、定积分的存在性：如果在上连续，或有界且只有有限个第一类间断点，则存在.（二）定积分的性质1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和；2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；3、定积分具有区间可加性

13、；4、如果，则; 5、如果在上连续，且分别为其最小值、最大值，则； 6、；7、定积分中值定理：如果上连续，则在内至少存在一点，使；（三）定积分的换元积分法和分部积分法1、可变限函数求导：如果在相应区间上连续，可导，则。注：连续函数一定存在原函数如连续，则即为其原函数2、牛顿莱布尼兹公式如果函数是连续函数在上的一个原函数，则：注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数；（2）代公式3、换元积分法如果函数在区间上连续，函数满足：（1）；（2）在或上具有单调连续导数且其值域，则注：（1）定积分的换元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限（2）条件，单调可导4、分部积分法注：边运算

14、边代值（四）常用公式1、2、如果为周期为的周期函数，则，3、 4、5、6、积分不等式平方的积分结构（五）定积分的应用1、平面图形面积：；2、旋转体的体积：；3、平面曲线的弧长：（1）；（2）；（3）；4、变力作功5、静液压力6、引力7、平均值（六）广义积分（1）无穷区间；（2）无界函数第六章：空间解析几何(26)一、重要考点1、向量的运算：2 求曲面方程：其步骤为（1）在曲面上任取一点（2）由此点所满足的条件建立方程3、求平面方程（1）4求直线方程：第七章：多元函数微分学（814）一、重要概念、公式多元函数的偏导数及复合函数偏导数、隐函数求导法1、偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限

15、存在，则称此极限为在点处对的偏导数，记作：注：（1）分段函数分段点的偏导数必用定义；（2）偏导与连续之间无关；（3）为一整体符号；（4）从几何上解释为曲面与的交线在处的切线与轴夹角正切。2、高阶偏导数：若函数的二阶混合偏导数和都在点连续，则注意：条件高阶偏导连续相等。3、全微分：（1）如果函数在点处的全增量可表示为，其中不依赖于，则称处可微，此时叫作在点处的全微分，记作，即；注：全微分是自变量与的线性函数；全微分与全增量之差，当时，是比高阶无穷小；可微连续；可微偏导，连续、偏导是可微的必要条件、（2）必要条件：若函数在点处可微，即在点的全增量可表示成，则，都存在。且（3）充分条件：若函数的两个

16、偏导数在点处连续，则函数在点处可微。4、复合函数微分法：如果在对应点处可微，且的偏导数都存在，则复合函数在点对的偏导数存在，且；设具有连续偏导数，也具有连续偏导数，则复合函数在点处的全微分为：；全微分的运算公式：； (c为常数) ；。5、隐函数及其微分法（三）偏导数的应用1、空间曲线的切线与法平面：（1）曲线：，其中，都是可导函数，且不全为0，则切线方程为：，法平面方程为：；（2）曲线： 切线方程为：，法平面方程为：；（3）曲线：切线方程为：，法平面方程为：2、空间曲面的切平面与法线：（1）曲面方程：切平面方程为：，法线方程为：，法线的方向余弦为：；（2）曲面方程：，则切平面方程为：，法线方程

17、为：（四）多元函数的极值、方向导数、梯度1、定义：设在点的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果恒有，则称为的极大值，为的极大值点，否则极小值；2、极值存在的必要条件：如果函数在点取得极值，且都存在，则必有，满足的点（驻点）：可能极值点，包括驻点和偏导数不存在的点注：在内为常数3、极值的充分条件：设函数在点的某一邻域内具有二阶连续偏导数，且,，记：（1）如，则为的极值，极大，极小；（2）如，不是极值；（3）如，不确定。4、方向导数、梯度：1）方向导数：设在点及其邻域内有定义，如果极限存在，则称函数在点沿方向可导，并称此极限值为函数在点处沿方向的方向导数，记作：注：方向导数与偏导数的关系（

18、2）梯度：设，则注：梯度方向即为变化率最大的方向（3）方向导数计算公式：如果函数在点可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且,其中是的方向余弦。沿方向的方向导数为：；（4）梯度的性质：；第八章：重积分（610）一、重要概念、公式 （一）、性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）在上如，则，；（6）如果在上的最大、小值分别为，则：； （7）（二重积分中值定理）设在有界闭区域上连续，则至少存在一点，使2、公式：（1）如果关于为奇函数，积分域关于轴对称，则：（2）如果关于为偶函数，积分域关于轴对称（表示位于轴上方的部分），则： （注：平面域关于轴对称）（3）连续函数关于为奇函数，

19、积分域关于面对称，则：（4）连续函数关于为偶函数，积分域关于面对称，表示的位于面上方的部分，则： (注：立体关于坐标面对称)（5）如果关于对称，则：（6）中地位同地位同（一） 计算1、二重积分的计算： （1）如， 则 （2）， 则 2、三重积分的计算（1），则（2），则（3），则（三）应用1、体积公式：2、曲面面积：（1）曲面的方程为：，；（2）曲面的方程为：， ；（3）曲面的方程为：，。3、质量：（1）； （2）4、重心坐标：（1）平面薄板：， ；（2）立体：， (注意步调一致)5、转动惯量：（1）平面薄板：， ， ；（2）立体：， ， ，。6、引力：质量为的质点位于处，物体占有空间域，其密

20、度为，设物体对质点引力为：,则：， ， .CH9线积分 面积分（610）一、 重要概念、公式（一）曲线积分1、对弧长的曲线积分 曲线段的长度：，； 曲线段的质量： ， ； 曲线的重心坐标：， ， ； 转动惯量：平面：； 空间：2、对坐标的曲线积分（1）定义：（2）性质：；（3）计算： 起点， 终点，则；，： 起 ， 终点，则；： 起点，终点，则 ； 空间曲线，起点，终点，则注：对坐标的曲线积分：起点下限，终点上限3、两种曲线积分之间的关系：， 曲线切向量的方向余弦，4、格林公式：设函数在域及其边界上具有一阶连续偏导数，则 ，取正向注：（1）具有一阶连续偏导数；（2）的位置：，；（3）为闭曲线且

21、为正向；（4）曲线较复杂，但其趋势区域规则，常采用加一减一，加二减二方式求解5、平面曲线积分与路径无关的等价命题（1）在内与路径无关；（2）， 为内任一分段光滑闭曲线；（3）；（4）存在，使，且注：如果， 包围同一瑕点，则： 6、空间曲线积分：与路径无关 ，注：力 沿作功：（二）曲面积分1、对面积的曲面积分（1）定义：；（2）性质； （3）计算公式： ；： ；： （4）应用： 曲面的质量：； 曲面的重心坐标：，为 曲面的转动惯量：，=2、对坐标的曲面积分（1）定义：；（2）性质：；（3）计算：，投影域，则；，投影域，则；，投影域，则注：1、与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角，钝角负2、负侧正

22、侧 法向量的指向3、两种曲面积分之间的关系：，其中为曲面的法向量的方向余弦4、高斯公式： 设在空间闭域上具有一阶连续偏导数，则 ，其中是的边界曲面外侧 注：一阶连续偏导；外侧；闭曲面5、斯托克斯定理：设函数在包含曲面的空间域内具有一阶连续偏导数，设为曲面的边界曲线，则6、流体流过曲面的流量：7、梯度、散度、旋度：设，则梯度：；，则散度：，旋度：第十章：级数（810）一、重要概念、公式（一）数项级数1、绝对收敛，条件收敛注：收敛，则称绝对收敛；收敛，发散，则称条件收敛2、性质：（1）若收敛，其和为为常数，则 也收敛，且其和为 （2）若级数分别收敛于 和 ，则也收敛，且收敛于注： 如一发散，一收敛

23、，则其代数和发散； 如两发散，则结论不一定（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变注： 一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛； 但加括号发散，原级数一定发散（5）若级数收敛，则 注：若，则发散3、定理及审敛法（1）正项级数收敛 部分和数列 有界；（2）比较审敛法： 设都是正项级数：、若从某项起，有 且 收敛，则也收敛；、若从某项起，有且发散，则也发散 设是两个正项级数，且，则同敛散注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有

24、正项级数，若，则： 当时，级数收敛； 时，级数发散注：含或的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数，若，则：时，级数收敛； 时，级数发散注：含以为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数满足：； ，则该交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值（6）绝对收敛定理：若收敛，则也收敛注： 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和； 设级数都绝对收敛，它们的和分别为 和 ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 4、公式：（1）：时收敛，时发散；（2）：时收敛，时发散； （3）：时收敛，时发散；（二）函数项级数1、基本概念：（1）定义：（2）和函数：（3

25、）幂级数：敛半径，收敛区间（4）泰勒级数：如果存在各阶导数，则称为泰勒级数2、定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数：当时收敛，则对的，；当发散，则对的，发散注：收敛点是连成一片的（2）设是幂级数的收敛半径，且： 当时，；时，； 时，（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数，其收敛半径为，则： 和函数在内连续；和函数在内可导，且；和函数在内任何区间上可积，且注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式： ； ； ； ；（5）泰勒定理：设在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：当时，在点的泰勒级数余项注：在点的幂级数展

26、开式（三）付立叶级数1、基本概念（1）三角级数：形如 （2）正交：对于在上有定义，如果，则称正交（3）付立叶系数：是周期为的周期函数：则，在上以为周期：，在上：，（4）付立叶级数：以付立叶系数构成的三角级数 付立叶级数（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数 正弦级数； 只含余弦项的级数 余弦级数注：奇延拓正弦 即：奇函数正弦 偶延拓余弦 偶函数余弦2、定理如在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛，且：为的连续点，为的间断点，为的端点，,第十一章：微分方程（812）一、重要概念、公式1、如果、是二阶线性齐次方程：的两个解，则也

27、是它的解，其中是任意常数；2、如果是的两个线性无关的解，则就是该方程的通解；3、如果是二阶非齐次线性方程：的一个特解，而是它对应的齐次方程的通解，则是该非齐次方程的通解；4、如果是的解，是的解，则的解线性代数CH1行列式(46)一、重要概念、公式行与列互换，其值不变；行列式的两行或两列互换，行列式改变符号；行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）；行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，

28、行列式不变3、几个公式：（1）范得蒙行列式：特点：从第一行至第行按升幂排列；项积；（2）设为阶矩阵，为阶矩阵，为阶矩阵，则：，；，但；，为元素的代数余子式；， (注意符号)余子式：CH2矩阵(812)一、重要概念、公式1、矩阵的运算：（1）加减同型：；（2）乘法：2、矩阵的逆运算：相等；3、伴随矩阵：对称阵、反对称阵；4、矩阵的初等变换，矩阵的秩：等价矩阵：，互逆（同型号, 秩等）5、分块矩阵及运算；6、常用公式：（1）；（2），；（3）；（4），；（5），；（6）7、分块矩阵：（1）已知为分块对角矩阵，为可逆方阵，则；（2）若，则；（3）若且，则；（4）若A=，则8、为同阶方阵，则；若为可逆

29、矩阵，则，注：（1）；（2）分块矩阵的运算：加法减法：分法一致，对应块加减；乘法：当的列分法与的行分法一致时才能相乘若，则，9、初等变换不改变矩阵的秩：，CH3向量一、重要概念、公式1、向量组的线性相关、线性无关；2、向量组的极大无关组，向量组的秩：如果向量组中有个向量线性无关，而中任意个向量（如果有）相关，则称为极大无关组，秩；3、如和互相线性表示，则称与等价；4、向量组的秩和矩阵的秩：矩阵的秩等于向量组的秩也等于列向量组的秩；5、向量空间、子空间、基底、维数及坐标的概念：设是维向量的集合，非空，且对于加法及数乘封闭；6、维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵：设和是维向量空间的两个基，且，

30、则称上式为基变换公式，为从基到的过渡矩阵；如果在的坐标为，在的坐标为，则；7、向量的内积；8、线性无关向量组的正交规范化，标准正交基（阶正交矩阵的个行（列）向量）施密特：若线性无关，则，9、正交矩阵及其性质：10、基本定理：（1）向量组线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示；（2）如向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一；（3）若向量组线性相关，则也相关；（4）向量组线性相关，向量组线性无关；（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关；（6）设向量组线性无关且可由向量组线性表示，则。任意两个线性无关的等价向量组所含向

31、量个数相等。正交向量组，必线性无关。（7）向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等；（8）矩阵的行秩与列秩相等，都等于矩阵的秩；（9）；（10）；（11）如果、为可逆矩阵，则；（12）；（13）注：个维向量必线性相关；个维向量线性无关CH4方程组一、重要概念、公式1、齐次线性方程组有非0解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件：（1）（2）2、齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间基础解系(1)通解 3非齐次线性方程组解的结构不一定为。仅当非齐次通解=齐次通解+非齐次的一个特解CH5特征值和特征向量(1012)一、重要概念、公式1、特征值、特征向量的定义：设为阶矩阵，如果存在数和维非零列向

32、量，使，则称为的特征值，称为的对应于特征值的特征向量2、特征方程：3、相似矩阵：对于、，如果存在可逆阵，使，则称和相似4、矩阵的相似对角化：对阶方阵，求相似变换，使，为对角阵的过程称为的相似对角化合同：若，则称合同，可逆5、主要定理：（1） 阶方阵有个特征值，它们的和等于的主对角线元素之和，它们的乘积等于的行列式；（2） 如果是方阵的特征值，是与之对应的特征向量，则互不相等时，线性无关；（3） 如果阶方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，有相同的迹；（4） 如果阶方阵与对角阵相似，则的主对角线元素就是的个特征值；（5）可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量；（6） 如

33、果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似，即可相似对角化；（7） 实对称矩阵的特征值全为实数；（8） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交；（9） 对阶实对称矩陈，必存在正交阵，使，其中为以的个特征值为主对角线元素的对角阵；（10）如为的特征值，则为的特征值注： 相似矩阵有相同的特征值； 迹同； 相似，合同，等价矩阵的秩相等CH6二次型(48)一、重要概念、公式1、理解二次型与对称阵的关系：含有个变量的二次齐次函数：，或 ；2、二次型的秩及标准形：二次型的矩阵的秩称为二次型的秩，二次型经可逆变换化为 标准型；3、惯性定理：设二次型的秩为，两个可逆变换，都化二次型为标准型，；的正负个数相等

34、4、正定及其判别法：设二次型，如果对任意非向量都有，如果为正交阵，则称为正交变换 合同矩阵有相同的规范型概率与数理统计第一章：随机事件及其概率一、重要概念、公式1、古典概型及古典概率古典概型的特点：（1）基本事件个数是有限的；（2）每个基本事件发生是等可能的。古典概率定义：在古典概型中有个基本事件，而事件包含其中的个，则发生的概率：2、几何概型及几何概率几何概型的特点：（1）基本事件个数是无限的；（2）每个基本事件发生是等可能的。几何概率定义式：（1）若为线段，则量积为长度；（2）若为平面图形，则量积为面积；（3）若为立体图形，则量积为体积。3、事件间的关系和运算（1）包含关系：发生必导致发生

35、，则称（2）相等关系：且，则称（3）事件的和：如果事件至少有一个发生的事件，称为与的和，记为。（4）事件的积：如果事件同时发生的事件积，；如果事件同时发生或都发生的事件积，。（5）事件的差：事件发生而事件不发生的事件与的差，。注：（6）互不相容（互斥）事件：如果事件满足，则称互斥。（7）互逆事件：如果事件满足 ；，则称互逆。（8）运算规律交换律：，；结合律：，；分配律：，；对偶律：，注：，4、事件的独立性及贝努里概型（1）独立性：对，如，则独立；对，如果对任意，及，有，则独立。注：个事件独立包含个等式；个事件相互独立，则个事件两两相互独立。（2）性质：；，如果有一组相互独立，则其它各组也相互独

36、立；如中有一组相互独立，则其它各组也相互独立。（3）贝努里概型：次重复独立事件中，则事件发生次的概率（二）性质、定理1、性质（1）；（2）；（3）如两两互斥，则；注意：互斥的条件（4）；（5）如果，则，；注意：一般的。（6）广义加法定理：注：2、定理（1）条件概率设为任意二事件，称为在事件发生的条件下发生的条件概率，记为，即注：条件；公式（2）乘法公式设为任意个事件，则（3）全概率公式完备事件组设为样本空间的一组事件，如果满足，则称为的一个完备事件组。全概率公式设为的一个完备事件组，为任意一个事件，则。注：弄清完备事件组。公式结构（项，条件概率公式）（4）贝叶斯公式设为的一个完备事件组，为任意

37、一个事件，则。第一章 一维随机变量及其分布一、重要概念、公式2、分布函数（1）定义：设为一随机变量，为任意实数，称为的分布函数，记为：，即。注：的定义域为（，）；几何表示： （2）性质：；具有单调不减性；具有右连续性；3、离散型随机变量（1）定义：如果随机变量的取值为有限个，或无限可列个。（2）分布律：如果为离散型随机变量，其所有可能取值为，则称为的分布律，或表示为：（3）性质：；1；（4）分布函数已知：则（5）常见分布 两点分布： 二项分布：，注：的最可能成功次数为。 泊松分布：，记为，的最可能成功次数为几何分布：超几何分布：注：二项分布是超几何分布的极限形式，泊松分布是二项分布的极限形式。

38、4、连续型随机变量的分布密度（1）定义：是随机变量的分布函数，如果存在非负可积函数，使得对任意有成立，则称为连续型随机变量，为的分布密度。（2）性质：； 在连续点处，；（离散不一定为0）；（3）分布函数：注： 如求分布函数必用定义； 如为分段函数，则必为分段函数，且其分段点一致。（4）几种常见分布 均匀分布：如果，则称在上服从均匀分布。 指数分布：，无记忆性。 正态分布：如果，则称服从参数为的正态分布，记为：性质为对称轴； 在左侧单增，右侧单减；在取最大值；为拐点。：则 ，正态分布必用此公式。：，则5、随机变量函数及其分布（1）离散型已知求的分布律。其步骤： 求的所有可能取值； 求, ；，。（

39、2）连续型，求的分布密度。 求的分布函数： 求第三章 二维随机变量及其分布一、重要概念、公式1、二维随机变量定义,表示及分类2、联合分布函数和边缘分布函数（1）设为二维随机变量，为任意实数，称为的联合分布函数，记为。注：的定义域为整个实平面：，；的几何意义（2）性质：；，；关于具有单调不减性；关于具有右连续性；注： 5条性质联合分布函数（3）边缘分布函数：，即：边缘分布函数由联合分布函数唯一确定3、二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律（1）设为二维离散型随机变量,其所有可能取值为（），则称二维整标函数，为的联合分布律，或表示为：（2）性质：； 注：分布律中待定常数常用性质（3）设为二维离

40、散型随机变量,其所有可能取值为（），称（）为的边缘分布律，称为的边缘分布律，分别记为和，即：，第行第列注：边缘分布律由联合分布律确定。（4）联合分布函数和边缘分布函数 4、二维连续型随机变量的分布密度和边缘分布密度（1）设为的联合分布函数，如果存在非负可积函数使得对任意，恒有，则称为二维连续型随机变量，为的联合概率密度（2）性质：；在的连续点处：；注：1、分布密度问题常考虑性质；2、两种常见分布：、均匀分布；、正态分布（3）边缘分布密度：设为二维连续型随机变量，其分布密度为，则称为的边缘分布密度，记作；称为的边缘分布密度，记作注：边缘分布密度由联合分布密度确定。（4）联合分布函数和边缘分布函数

41、：，5、条件分布律与条件分布密度（1）设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为，称为在条件下的条件分布律，记为（），即，类似定义；（2）设为连续型随机变量,其分布密度和边缘分布密度分别为，称为在条件下的条件分布密度，记为，即：，注：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布,且与无关：，。独立（3）条件分布函数6、随机变量的独立性（1）定义：设为二维随机变量，如，则称相互独立；（2）独立性的判定定理：离散型：独立；独立或连续型：独立；独立或如与独立，则与独立，但与不一定独立若且独立，则，7、函数的分布CH4 数字特征一、重要概念、公式（一）数字期望1、定义：（1） 设为离散型随机变量，其分布律为，如果收敛，则称为的数