难题突破专题二　“K”字型相似研究

1、难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口类型1“K”字型相似基本图形1图Z211 条件：如图Z21，B，C，E三点共线，BACDE90°.结论：ABCCED.证明： 例题分层分析 (1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了BEACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z22，已知点A(0，4)，B(4，1)，BCx轴

2、于点C，点P为线段OC上一点，且PAPB，则点P的坐标为_图Z22 例题分层分析 (1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标 解题方法点析 “K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题类型2“K”字型相似基本图形22 条件：如图Z23，B，D，C三点共线，BEDFC.图Z23结论：BDECFD.证明： 例题分层分析 (1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明ECDF?【应用】1如

3、图Z24，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CBOA，OCBA，OA7，BC1，AB5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z24(1)直接写出点B的坐标：_；(2)当点P在线段OA上运动时，使得CPDOAB，且BDAD32，求点P的坐标 例题分层分析 (1)过点B作BQx轴于点Q，依题意可得OQ4，AQ3，已知AB5，根据勾股定理求出QB即可解答(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2如图Z25，已知直线ykx与抛物线yx2交于点A(3，6)图Z25(1)求直线ykx的函数表达式和线

4、段OA的长度(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足BAEBEDAOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？ 例题分层分析 (1)利用待定系数法求出直线ykx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度(2)延长AB交x轴于点F，由BAEAOD可求出点F的坐标为_，进而再求得点B的坐标为_，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为_；由已知条件BAEBEDAOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到_，设OEa，则由对应边的比例关系可以得到_从而得到关于a的一元二次方程为_，然后根

5、据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围 解题方法点析 “K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题专 题 训 练12017·常州 如图Z26，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD2OA6，ADAB31，则点C的坐标是()A(2，7) B(3，7) C(3，8) D(4，8)图Z262如图Z27，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD10，AB8，则EF_图Z2732017·攀枝花 如图Z28，D是等边ABC边AB上的点，A

6、D2，BD4.现将ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则_图Z284如图Z29，在直角梯形ABCF中，CB14，CF4，AB6，CFAB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE_图Z295如图Z210，在直角梯形ABCD中，A90°，B120°，AD，AB6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得DEF120°.(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是_；(2)若射线EF经过点C，则AE的长是_图Z21062017·绵阳将形状、大小完全相同的两个等腰三角形

7、如图Z211所示放置，点D在AB边上，DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CA，CB于M，N两点若CA5，AB6，ADAB13，则MD的最小值为_图Z2117如图Z212，在四边形ABCD中，已知ADBC，B90°，AB7，AD9，BC12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EFDE，交直线AB于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AFCE，求CE的长图Z2128如图Z213，在ABC中，ABAC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且APDB.(1)求证：AC·CDCP·BP；(2)若AB10，BC12，当PDAB

8、时，求BP的长图Z21392017·天水 ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z214，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE.(2)如图Z214，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP2，CQ9时BC的长图Z21410在ABC中，ABAC，BAC120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三

9、角板绕点P旋转(1)如图Z215，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明BPECFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.探究1：BPE与CFP相似吗？请说明理由；探究2：BPE与PFE相似吗？请说明理由图Z215参考答案类型1“K”字型相似基本图形1例1【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等(2)根据余角的性质还可以得到ADCE，ACBD，从而可证得ABCCED.证明：

10、证明过程略应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到AOPPCB，所以.(2)设P(x，0)，因为AOOC4，BC1，所以OPx，PC4x，所以，解得x2，从而得到点P的坐标为(2，0)答案 (2，0)解析 PAPB，APOBPC90°.AOx轴，APOPAO90°，PAOBPC.又BCx轴，AOx轴，BCPPOA90°，BCPPOA，.点A(0，4)，B(4，1)，AO4，BC1，OC4.设P(x，0)，则OPx，PC4x，解得x2，点P的坐标为(2，0)类型2“K”字型相似基本图形2例2【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直

11、角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形(2)BEDFC，由外角性质可知EDCBEE.又EDCEDFFDCCDF，ECDF.证明：BEDFC，由外角性质可知EDCBEE.又EDCEDFFDCFDC，EFDC.又BC，BDECFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQx轴于点Q，易求得BQ4，故得到点B的坐标为(4，4)(2)由“K”字型相似可得到POCDAP，所以，设OPx，OCAB5，ADAB2，AP7x，所以，解得x2或x5，所以点P的坐标为(2，0)或(5，0)解：(1)过点B作BQx轴于点Q.ABOC，A

12、Q(71)÷23，在RtBQA中，BA5，由勾股定理，得BQ4，点B的坐标为(4，4)(2)CPAOCPCOP，即CPDDPACOPOCP，而CPDOABCOP，OCPAPD，OCPAPD，.，AD2.设OPx，OCAB5，AP7x，解得x2或x5，点P的坐标为(2，0)或(5，0)应用2【例题分层分析】(1)直线ykx的函数表达式为y2x，OA3 .(2)点F的坐标为(，0)，点B的坐标为(6，2)，AB5.根据“K”字型相似的基本图形2，可得到ABEOED，设OEa，则AE3 a(0a3 )，由ABEOED得，a23 a5m0，依题意知m>0，当0，即(3 )220m0，m

13、时，符合条件的点E有1个；当0，即(3 )220m0，0m时，符合条件的点E有2个解：(1)把点A(3，6)的坐标代入ykx，得63k，k2，y2x，OA3 .(2)如图，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R.AODBAE，AFOF，OCACOA .AROFCO90°，AORFOC，AORFOC，OF ×，点F的坐标为.设直线AF的函数表达式为yaxb(a0)，把点A(3，6)，F的坐标代入，解得a，b10，yx10，由解得(舍去)，B(6，2)，AB5.BAEBED，ABEBAEDEOBED，ABEDEO.BAEEOD，ABEOED.设OE

14、a，则AE3 a(0a3 )，由ABEOED得，即，a23 a5m0.依题意得m>0，当0，即(3 )220m0，m时，符合条件的点E有1个；当0，即(3 )220m0，0m时，符合条件的点E有2个专题训练1A2.53.42或12或解析 两个三角形相似，可能是EFCEAB，也可能是EFCAEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE的值即可5(1)6(2)2或5解析 (1)过点E作EGDF，由E是AB的中点，得出DG3，从而得出DEG60°，由DEF120°，得FEG60°，由tanFEG，即可求出GF的长，进而得出DF的长(2)过点B作BHDC，延长AB，过点C

15、作CMAB于点M，则BHAD，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AEx，则BE6x，利用勾股定理用x表示出DE及EC的长，再判断出EDCBCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可62 解析 先求出AD2，BD4，由“K”字型相似可得AMD和BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MA·DN4MD，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可7解：(1)当点F和B重合时，EFDE，DEBC.B90°，ABBC，ABDE.ADBC，四边形ABED是平行四边形，ADEF9，CEBCEF1293.(2)过点D

16、作DMBC于点M，B90°，ABBC，DMAB.ADBC，四边形ABMD是矩形，ADBM9，ABDM7，CM1293.设AFCEa，则BF7a，EMa3，BE12a，可证FBEEMD，即，解得a5或a17.点F在线段AB上，AFCEAB7，CE5.8解：(1)证明：APCPABB，APDB，DPCPAB，又ABAC，ABPPCD，ABPPCD，AC·CDCP·BP.(2)PDAB，DPCB，PABB，又BC，PABC.又PBAABC，PBAABC，BP.9解：(1)证明：ABC是等腰直角三角形，BC45°，ABAC，APAQ，BPCQ，E是BC的中点，BECE，在BPE和CQE中，BPECQE(SAS)；(2)ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45°，BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP45°EQC45°，BEPEQC，BPECEQ，BP2，CQ9，BECE，BE218，BEC