正项级数敛散性的判别方法

1、初等数学中，我们研究有限个实数相加，其结果是一个实数，如果延伸至无限个实数相加（无穷级数），其和是否存在？由于在实际应用中，往往是在给定的误差范围内，用部分和代替级数的和，因此判断级数的敛散性是要着力解决的问题.但用级数收敛、发散的定义来判别级数敛散性是十分困难的，因此有必要寻找判别级数敛散性的简单有效的方法.本文讨论正项级数的敛散性问题，并在教材的基础上加以进一步的研究.判断正项级数的敛散性的主要方法有：定义法、比较判别法、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法以及积分判别法六种方法.本文给出了这六种方法的证明.定义法是正项级数敛散性的基本判别法则；比较判别法常用几何级数、调和级数、P级数作为与

2、其它级数相比较的标准；比式判别法与根式判别法都是基于把正项级数与等比级数比较而得到的；拉贝判别法补充了比式与根式判别法的不足，但仍有其局限性；积分判别法有两种证明方法，一种放入无穷级数里处理，另一种放入定积分中处理，同时给出这种判别法的一个推广.另外，我们采用四种不同的方法讨论了P级数的敛散性：一是利用P级数的部分和是否有界来判别的，此法较为简单、直观；二是利用比较判别法来判别的，需要参照物作为比较，从而根据参照物的敛散性来判定P级数的敛散性；三是利用积分判别法来判别的，需要微积分作为工具；四是利用积分判别法的推广来判别的，该推广比积分判别法有着更广泛的应用.正项级数敛散性的判别法设，则称级数

3、单调递增，而单调递增数列收敛的充分必要条件是该数列有上界，这一点正是正项级数收敛判别法的基础.其常用的性质是：（1）若级数收敛于，常数，则级数收敛于.（2）如果级数发散，常数，则级数发散.（3）添加或去掉有限项不改变级数的敛散性.（4）级数收敛的必要条件：.下面着重讨论正项级数敛散性的判别法.一 定义法定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.证明 如果正项级数的部分和数列有界，即存在正数，使，又单调增加，由单调有界数列必有极限的准则知，必有极限：，从而级数收敛且其和为. 反之，如果正项级数收敛于和，即有，由收敛数列必有界的性质知，级数的部分和数列有界.例1.1 级数的部分和为

4、就三种情况分别加以讨论.命题1 当时，有界.证明 由实数的性质，当 时，一定存在两个正整数、，且使得：，于是对于正整数，有因此，对任何正整数，有即有界.命题2 当时，无界.证明 由实数的性质，当时，一定存在两个正整数、，且，使得，于是对于正整数，有因此，对于任何正整数，有这样，当时，即无界.命题3 当时，无界.（此时级数为调和级数）.证明 对于任意正整数、，有由于上式对任意大的正整数都成立，所以于是，对任何正整数，有这样，当时，即无界.有了以上三个结论，再由正项级数收敛与发散的充要条件，立即得到：当时，级数发散；当时，级数收敛.二 比较判别法定理2 设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都

5、有：，那么（1） 若级数收敛，则级数也收敛；（2） 若级数发散，则级数也发散.证明 （1）由于级数前加上或去掉有限项不改变其敛散性，因此不妨设对一切自然数都有成立。令，则有.若收敛，其和为，则。即有界，由定理1，收敛。（1）成立；（2）为（1）的逆否命题，自然成立.推论2.1 设和是两个正项级数，（1）若存在一个与无关的正常数，使当（固定），有，则从级数收敛可以断定收敛.（2）若当（固定）时，都有，是一个与无关的常数，则从级数发散，可以断定级数发散.（3）若，使当时，有，则（）由收敛收敛； （）由发散发散.证明 （1）由收敛，可知（为正常数）也收敛.当（固定）时，有，由比较判别法知也收敛.（2

6、）由级数发散，可知（为正常数）也发散，当（固定）时，由比较判别法知也发散.（3）当时，从而对，有,故 （）.由于是常数，故当收敛时收敛，当发散时也发散.推论2.2（比较判别法的极限形式） 设和是两个正项级数，若，则（1）当时，级数和同时收敛或发散；（2）当且级数收敛时，级数也收敛；（3）当且级数发散时，级数也发散.证明 （1）当时，由，对，存在某正数，当时，恒有 或 ， 由推论2.1中（1）（2）可知，当时，级数和同时收敛或发散。（1）得证. （2） 当时，由可知，当时,有，即.于是若级数收敛，则级数也收敛.（3）若，由可知对给定的正数，存在相应的正整数，当时，有或，于是由比较判别法知，若级数

7、发散，则级数也发散. 讨论级数 的敛散性. 解 设，这时级数的各项不小于调和级数的对应项：，但调和级数发散，因此，根据定理2知，当时，级数发散.设，因为当时，有，所以考虑级数，其部分和因 ,故级数收敛，从而，由定理2知级数:当时收敛.综合上述结果，我们得到：级数:当时收敛；当时发散.例2.2 判断 的敛散性.解 设 , 则.与具有相同的敛散性，因为收敛，所以收敛.三 比式判别法 定理3 设为正项级数，且存在某自然数及常数，（1）若对一切，不等式成立，则级数收敛；（2）若对一切，不等式成立，则级数发散.证明 （1）由已知，当时，而，由于当时，几何级数收敛，根据定理2可推得级数收敛.（2）由已知，

8、当时，。于是当时，的极限不可能为零，所以级数发散.推论3.1（比式判别法的极限形式） 若为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当或时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散.证明 由，对适当小的，当时，有.（1）当时，取使，于是由及定理3的(1)，推得级数收敛.（2）若，则取使，由及定理3的（2）推得级数发散。若，则，当时，有，此时级数也是发散的.（3）例如级数和，它们的比式极限都是，但是收敛的，而却是发散的. 讨论的敛散性.解 设，则由比式判别法知级数收敛.四 根式判别法定理4 设为正项级数，且存在某正数及正常数，（1）若对一切，不等式成立，则级数收敛；（2）若对一切，不等式

9、成立，则级数发散.证明 （1）由已知，当时，有，因为几何级数，当时收敛，故由比较判别法，这时级数也收敛.（2）由已知可推得，当时，显然的极限不可能为零。因而由级数收敛的必要条件知，级数是发散的.推论4.1（根式判别法的极限形式） 设为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散.证明 （1）由，对适当小的，存在某正数，对一切，有，即，而等比级数收敛（公比），所以收敛. （2）当时，取适当小的，则存在，当时，即 ，不趋于零，级数发散. （3）当时，根式判别法无法对级数的敛散性作出判断，对此，也可考察级数和，它们都有，但是收敛的，而却是发散的.例4

10、.1 判别的敛散性.解 设 ，则根据推论4.1知原级数收敛.五 拉贝判别法定理5 设为正项级数，且存在某正数及正常数，（1）若对一切，不等式成立，则级数收敛；（2）若对一切，不等式成立，则级数发散.证明 （1） 若对一切，有或，现在我们取任意一数，使.因为，令 ，则和是等价的.即 ，于是对于充分大的有 或 ，所以 ，这个不等式也可写成 ，右边我们有收敛级数的两个相邻项之比，应用比较判别法，级数收敛. （2）若对一切，成立，则由此立即可得,右边我们有发散级数的两个相邻项之比，应用比较判别法，级数发散. 推论5.1（拉贝判别法的极限形式） 设为正项级数，且存在，则 （1） 当时，级数收敛；（2）

11、当时，级数发散；（3） 当时，级数可能收敛也可能发散. 讨论级数，当时的敛散性.解 设，无论哪一个值，的比式极限都有，所以用比式判别法无法判别的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论.当时，由于，所以级数发散.当时，由于，这时拉贝判别法也无法对级数作出判断.当时，由于，所以级数收敛.六 积分判别法定理6 若递减函数在上非负，则级数与数列在时，同时收敛或同时发散. 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以非正常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.下面我们给出这个判别法的两种证明，同时给出其推广.为此，我们需要以下几个引理：引理6.1 设函数在区间上连续，且，若函数在上有上界，则积分收敛. 已

12、知数列、，且数列收敛，若数列与与其中有一个发散，则另一个必发散. 证明 （反证法） 假设数列收敛，数列发散，则数列发散，这与已知数列与其中有一个收敛，则另一个必收敛.同理，若数列与其中有一个发散，则另一个必发散.引理6.3 若在递减，则. 证明 若 ， ，则有，因此，若在递减，则.定理6的证明方法1 利用无穷级数证明定理6.证明 由假设为上非负递减函数，对任何正数，在上可积，从而由引理6.3，依次相加可得，.若非正常积分收敛，则由上式左端可知，对任何自然数，正项级数的前项部分和为.根据定理1，级数收敛. 反之，若级数为收敛级数，设其和为，则对任一自然数，有，因为为非负递减函数，所以单调递增且有

13、上界，由引理6.1，收敛.因此，与同时收敛或同时发散.方法2 利用定积分证明定理6.证明 作数列 ，若能证明 收敛（），则由引理6.2知，积分判别法成立.为此，（1）首先证明（递减）.由故成立.（2）次证（有下界）.由于，知，从而，又，于是，（据递减与引理6.3），故成立.综合（1）与（2）可知单调递减有下界，所以收敛.例6.1 讨论级数的敛散性.解 函数，当时在上为非负递减函数，首先讨论非正常积分故知非正常积分，当时收敛，当时发散.因此由积分判别法得：级数，当时收敛，当时发散.附注 级数常用来作为比较的标准，来判别级数的敛散性。下面的级数也是重要的，可通过与它比较来判别某些级数的敛散性. 证

14、明级数，当时收敛，当的敛散性.解 类似于级数收敛性的讨论方法，取，则单调递减，且 所以，当时，存在，级数时，级数发散.由于 ，所以级数发散. 仔细观察定理6的证明过程，我们可以得到一个新的结论，它是积分判别法的推广.定理6(推广的积分判别法) 设在上递减，且，则数列收敛.证明 重复定理6中方法2的证明过程即可获证.在定理6的条件下，我们有下列推论：推论6.1 ，且.证明 由定理6中方法2的证明可知单调递减，且对一切，故，由极限不等式性质，有.推论6.2 若记，则，于是有（1） ；（2） .推论6.3：（正项级数的积分判别法）存在的充要条件是存在，即 收敛收敛.证明 先证收敛收敛.由推论6.2中

15、（2）和收敛知收敛.同理可证得：收敛收敛.推论6.4 其中.推论6.5（正项级数的积分判别法）收敛收敛.附注 （1）积分判别法是定理6的特殊情况.（2）定理6有明显的几何意义：假设在其面积存在的前提下，那么可以认为分别以高宽为1的诸矩形面积之和在时与曲边梯形面积在时两者之差位于区间之中，当时，曲边梯形面积与矩形面积之和两者趋于相等.（3）如果将定理6中的所满足的条件改为：在上严格递减，且，则上述的结论依旧成立，但其中的范围为； 存在了自然数，使得（4）若在（，且为自然数）上严格递减，且，充分大时，则；.例6.1 证明在时发散，在时收敛.证明 设， ，由定理6得，数列，所以当时，发散；当时， 收

16、敛.因为数列收敛，所以，当时，发散；当时，收敛,其中.故结论成立.例6.2 证明级数，当时收敛，当时发散.证明 设在上严格递减，且，（），由定理6得数列所以，当时，存在，即 收敛； 当时，即发散；又数列收敛，所以结论成立.除了级数方面的应用，定理6还有其它方面的应用.例6.3 试证存在.证明 取，则在上非负递减，满足定理6的条件，且，即，由定理6知数列收敛，即存在.例6.4 ，其中当时，为欧拉常数，即.证明 取例6.3中的则，.故由推论6.2中(2)和附注(3)中知：，的范围为，且，于是由例6.3知，由此本题得证.例6.5.证明 由例6.4知本例成立.例6.6 设，则，其中：.证明 取例6.1

17、中的，根据定理6知本例成立.正项级数敛散性的六种判别法各有优缺点，利用定理1判定正项级数的敛散性，会遇到与利用定义判定级数的敛散性同样的困难，即都要先求出部分和，故应用仍然不方便.使用比较判别法时，需要寻找一个已知敛散性的级数来进行不等式比较，在一般项比较复杂时，使用起来就不大方便，因此，实用上常采用它的极限形式.比式、根式判别法最大的优点是无须找其它的级数来比较，但当或时，这两种方法都失效.比式判别法与根式判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一几何级数通项的收敛速度快的级数，这两种方法才能鉴定出它的敛散性.如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了.拉贝判别法解决了这一问题，但当中的例题中不难发现凡是利用级数的积