一致连续性的判定定理及性质

1、一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红 指导老师：张海摘 要 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续

2、 非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义2.1 设函数在区间I上有定义.若只要都有 ,称函数在上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题：（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性

3、可知：前者的不仅和有关,而且还和点有关,即对于不同的,一般来说是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的仅与有关,与无关,即对不同的 ,是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点 ,取决于和 ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于 ,与点的值无关.）在区间 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将 固定,令 变化,即知函数 在 连续,又 是 的任意一点,从而函数 在 连续,但在区间 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如

4、在区间 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的 ,当时,就有.（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数在区间上有定义,若 有 ,则称在上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 在 上一致连续的充要条件是 在 上连续.证明必要性由定义直接可得.充分性采用反证法,假设 在 上非一致连续,即对,在区间 内至少存在两点 及 , 虽

5、然 ,但 .现取 ,那么在 内存在两点 及 . 虽然,但 .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列中存在一个收敛的子列 ,这里 ,再由于 , 所以,亦即 .因为 ,所以 ,并且 对一切 成立.另一方面,由于 在 连续,亦即.由函数极限与数列极限的关系,有.而 .这同 对一切 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理3.2 函数 在有限开区间 内一致连续的充要条件是 在 内连续且极限 和 存在.证明充分性令则 在上连续,从而在上一致连续.必要性 因为在 内一致连续.在 内连续,并且 ,当时, 有于是当 时，有 .根据柯西准则,极限 存在.同理可证 也存在.定理3.3设函数 在区间 上有定义, 在上

6、一致连续的充要条件是对区间上的任意两数列与 ,当 时,有 .证明必要性因为在 上一致连续,所以,当时有 .任取上的两数列 与 并且满足 .则对 ,当时有 .于是,即 .充分性假设在上不一致连续,则 ,但 .特别,取 ,则,但,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理3.4 若在 内连续,且 都存在,则 在 上一致连续.证明 ,当 时,有 ,从而当 时, 有 .所以在上一致连续.同理可证当 时,有 ,即知 在 上一致连续.又 在上连续,当 时，有,故 在 上一致连续.取 ,当 时便有即 在上一致连续.定理3.5 若函数在区间上的导数有界,则在上一致连续.推论 若函数

7、在上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 在区间上一致连续.证明：由 可导且单增,从而 ,又曲线 向上凸,从而 在 上单减.所以 ,于是 在 上有界,由上定理知, 在 上一致连续 .定义3.1 设函数 是区间 上的实值函数,如果任取 ,有称是区间 上凸（下凸）函数.定义3.2若 在 有定义,且 的极限存在,则称 在 拟可导,记为.引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）上连续.引理3.2 若函数在上连续,且对,有 ,则为下凸函数.定理3.6 若函数在区间（有限或无穷）上单调,且在内处处存在且有界,则函数在开区间 上一致连续.证明不妨设在开区间 上单调增加.因为 在 内处处存在,有界,即 ,有

8、.下面证明：对 ,有 .若不然, ,使 .令 ,则区间 和 中至少一个,记为 , 满足由此,利用归纳法可得到区间套 .根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为 .由条件知, .所以, ,使当 ,且时，有 . (3)因为 ,且 ,故存在正整数 N,使 .不妨设 .令 ,则 ,且 .故此与（3）矛盾,从而（1）试对内任意两点都成立,因而可得 在区间 上一致连续.推论1 若函数是开区间（有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则 在区间 上一致连续.证明不妨设为区间上的下凸函数, .因为为凸函数,所以在上连续.若在上单调,由定理3知结论成立.若在 上不单调,由 为区间上的下凸函数可知,在上至

9、少存在三点 ,有 ,且 .因为在上连续,故存在,使 .下证 .否则,若存在 ,且 .若 ,则 ,使 ,从而 ,矛盾.同理不成立.于是,由 为区间上的下凸函数定义可证, 在 上递减,在上递增.故在与上一致连续.而在上连续,故在上一致连续.推论2若函数在开区间 （有限或无穷）满足条件：,有. 和 都存在在上处处拟可导,且拟导数有界.则函数在区间上一致连续.证明先证在上连续.对,下证 .因为 ,则不妨设 ，取,，有,有.有.与已知条件矛盾,所以 .又由 ,两边对 取极限,得 .因为 为开区间,取 ,使 ,则,两边对 取极限,得 ,从而在 点连续,即 在区间上连续,由引理2得为凸函数.由推论1得在区间

10、上一致连续定理3.7 若函数 在区间上满Lipschitz条件,即存在常数 ,使对任何 ,都有 ,则函数 在区间 上一致连续.依定义可立即证得推论 若函数在区间上可导,且 在区间上有界,则函数在区间上一致连续.证明 在区间上有界,即 ,有 .因为在区间上可导,据拉格朗日定理,有 .从而 ,即在区间上满足Lipschitz条件,故在区间上一致连续.定理3.8若函数在可导,且（常数或）,则在 一致连续的充要条件是为常数.证明充分性若为常数,由局部有界性,可使在有界,再由定理4推论,在 上一致连续,再由Cantor定理知在 一致连续 .故在一致连续.必要性（反证法） 设 .则 ,取,故有.取 ,且使

11、 ,据拉格朗日定理有.故在非一致连续,这与在一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质4.1若和都是区间上的有界的一致连续函数,则也在上一致连续.证明由题设,有界,从而存在 ,使 .再由 ,都一致连续,则 和 ,使 ,且,时有 ,令,则,且时.所以在上一致连续.性质4.函数在 上一致连续,又在上一致连续, .用定义证明：在 上一致连续.证明由在一致连续,故,使当,且 时,有 (i)同理,在上一致连续,对上述,存在,使当 ,且 时,有 (ii)令 ,则对 ,当 且 时,（1）若由（i）式有（2）若,由（ii）

12、式也有（3）若时,则所以 .从而得证 在 上一致连续.性质4.3设函数在连续,函数在一致连续,且 ,则 在 一致连续.证明,故 ,有 .及函数在一致连续,故对上述 ,且 ,有 .综上,且 ,有 .即 在 一致连续,再由Cantor定理知 在 上一致连续,故 在 一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论设函数在连续,且有斜渐近线,即有数 与 ,使 ,则在一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理

13、来判断某函数的一致连续性.例1 判断 的一致连续性.解：因为 ，又 在 上连续,所以 在 上一致连续.本题利用定理3.4，在无限区间上连续且在端点极限存在，则在此无限区间上一直连续.例2 证明= 在 上非一致连续.证明1 有.所以=在上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2取 , 且.但 .所以= 在 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断的一致连续性.解：因为 不存在,所以=在 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： 在 上一致连续,而在 上非一致连续.证明且.所以 在 上一致连续. .所以= 在 上非一

14、致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。此方法快捷方便，实际应用很广泛.结论判断函数一致连续性的方法是多种多样的,只要我们灵活多变,就能做到事半功倍.所以我们要熟练掌握一致连续性的几种判定定理.即前述的几个充要条件,充分条件.这样对于解决一致连续性的问题才会游刃有余.参考文献1华东师范大学数学系编,数学分析M,北京：高等教育出版社,2001.2复旦大学数学系编,数学分析 M,北京：高等教育出版社,1985.3钱吉林等主编,数学分析题解精粹M,上海：崇文书局,2003.4吉米多维奇,数学习题集M,北京：人民教育出版社,1978.5裴礼文,数学分析中典型问题与方法M,北京：高等

15、教育出版社,1993.6徐利治,大学数学解题法诠释M,合肥：安徽教育出版社,1990.7Tom M. Apostol.Mathematical AnalysisM. Beijing: China Machine Press,2004.The judgemental theorem and properties of uniform continuityAuthor:Zhu Xiaohong Superviser:Zhang HaiAbstract The uniform continuity of function is an important concept in the mathemat

16、ical analysis course, which plays a key role in anlysizing mathematical problems .It is not only the fundernmental theroy of continuous function which is Remanns integralable on the closed interval, moreover closely linked to the parameter integral, concepts of function series followed.Therefore, th

17、e judgment of function's uniform continuity is an important content in the mathematical analysis .This article has carried on the thorough analysis to the concept of uniform continuity of function. We briefly summarized the sufficient condition, the necessary and sufficient condition of the judgement of uniform continuity of function, and gived determination of the uniform continuity of function on the closed interval and the open-interval, including the determination of the uniform continuity of function on the infinite interval . Besides it propo