高等数学上册第二章备课讲稿

1、高等数学上册第二章导数的符号 导数的定义式 导数的定义式 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)( 00000 xxfxxfxfx)()(lim)( 0000 hxfhxfxfh)()(lim)( 0000 000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx 下页 f (x0) 0|xxy 0ddxxxy 0d)(dxxxxf 导数的定义式 000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx)()(lim)( 0000 导函数 如果函数yf(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数yf(x)的导函数 简称导数 记作f (x0)与f

2、(x)之间的关系 函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值 即 0)( )( 0 xxxfxf 下页 y f (x) xydd 或xxfd)(d 单侧导数导数与单侧导数的关系 函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 函数在区间上的可导性Axf)(0Axfxf)()(00 f(x)在 x0处的左导数 f(x)在 x0处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)( 00f(x)在 x0处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(

3、 00 f(x)在 x0处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)( 00 下页 单侧导数导数与单侧导数的关系Axf)(0Axfxf)()(00 f(x)在 x0处的左导数 f(x)在 x0处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)( 00f(x)在 x0处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)( 00 f(x)在 x0处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)( 00 例 求函数f(x)|x|在x0处的导数 解 解 1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh 1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh因为) 0() 0(ff 所以函数 f(x)|

4、x|在 x0 处不可导 ) 0() 0(ff 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh 1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh1|lim) 0 ()0 (lim) 0 (00hhhfhffhh1|lim) 0()0(lim) 0(00hhhfhffhh 首页二、导数的几何意义 导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x) 在点 M(x0 f(x0)处的切线的斜率 即f (x0)tan a

5、其中a是切线的倾角 切线方程为 yy0f (x0)(xx0) 法线方程为 )()(1000 xxxfyy 下页 解 例 7 求等边双曲线xy1在点) 2 ,21(处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 解 21xy 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121xxk 所求切线方程为)21( 42xy 即 4xy40 所求法线方程为)21(412xy 即 2x8y150 21xy 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121xxk 41112kk )21( 42xy 即 4xy40 )21(412xy 即 2x8y150 下页三、函数的可导性与连续性的关系可导与连续的关系 如果函数y

6、f(x)在点x处可导 则函数在该点必连续 应注意的问题 这个结论的逆命题不成立 即函数yf(x)在点x0处连续 但在点x0处不一定可导 下页连续但不可导的函数 例10 函数y|x|在( )内连续 但函数在x0处不可导 这是因为函数在点x0处导数为无穷大 例 9 函数3)(xxf在区间(, )内连续 但在点 x0 处不可导 hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30 结束2.2 函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 四、基本求导法则与导数公式 一、函数的和、差、积、商的求导法则定理

7、1(函数四则运算的求导法则) 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且 )()(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 下页求导法则的推广 (uvw)uvw (uvw)uvwuvwuvw特殊情况 (Cu)Cu (uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求导法则y(2x35x23x7) (2x3)(5x2)(3x)(7) 2(x3)5(x2)3(x) 23x252x3 6x210 x3 例1 y2x35x23x7 求y

8、 解 下页 (uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求导法则 解 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 解 xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 443)2 (2 f 例3 yex(sin xcos x) 求y y(ex)(sin xcos x)ex(sin xcos x) ex(sin xcos x)ex(cos xsin x) 2excos x 解 下页 (uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求导法则 用类似方法还可求得 (cot x)csc2x

9、 (csc x)csc x cot x 例4 ytan x 求y 解 xxxxxxxxy2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tan xxxxx22222seccos1cossincos 解 xxxxxxxxy2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tanxxxxx22222seccos1cossincos 例5 ysec x 求y 解 xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(sec xx2cossin 解 xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(sec xx2cossinsec x tan x 首页 例

10、7 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为yarctan x是xtan y的反函数 所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 例6 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为yarcsin x是xsin y的反函数 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyy

11、yx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx )(1 )(1yfxf 反函数的求导法则 类似地有211)(arccosxx 类似地有211)cotarc(xx 首页三、复合函数的求导法则定理3(复合函数的导数) 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且其导数为 )()(ddxgufxy 或xuuyxydddddd 下页复合函数的求导法则 解 )()(ddxgufxy 或xuuyxydddddd 例 8 3exy 求xydd 解 函数3exy可看作是由

12、yeu ux3复合而成的 因此 3e33edddddd22xuxxxuuyxy3e33edddddd22xuxxxuuyxy3e33edddddd22xuxxxuuyxy 解 解 函数212sinxxy是由 ysin u 212xxu复合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosddddddxxxxxxxuxuuyxy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosddddddxxxxxxxuxuuyxy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosddddddxxxxxxxuxuu

13、yxy 例 9 212sinxxy 求xydd 下页 例 11 3221xy 求xydd 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如 设yf(u) u(v) v(x) 则复合函数的求导法则 )()(ddxgufxy 或xuuyxydddddd 解 解 )(sinsin1)sin(lnddxxxxyxxxcotcossin1)(sinsin1)sin(lnddxxxxyxxxcotcossin1)(sinsin1)sin(lnddxxxxyxxxcotcossin1 例 10 ylnsin x 求xydd 解 xvvuuyxuuyxyddddddddddddxvvuuyxuuyxyddd

14、ddddddddd 解 )21 ()21 (31)21(dd2322312xxxxy322)21 (34xx)21 ()21 (31)21(dd2322312xxxxy322)21 (34xx)21 ()21 (31)21(dd2322312xxxxy322)21 (34xx 下页复合函数的求导法则 )()(ddxgufxy 或xuuyxydddddd 解 解 )ecos()ecos(1 )ecos(lnddxxxxy)etan(e)e ()esin()ecos(1xxxxx )ecos()ecos(1 )ecos(lnddxxxxy )etan(e)e ()esin()ecos(1xxxxx

15、 例 12 ylncos(ex) 求xydd 解 解 )1(1cose)1(sine)e (dd1sin1sin1sinxxxxyxxxxxx1cose11sin2 )1(1cose)1(sine)e (dd1sin1sin1sinxxxxyxxx)1(1cose)1(sine)e (dd1sin1sin1sinxxxxyxxx 例 13 xy1sine 求xydd 首页四、基本求导法则与导数公式 基本初等函数的导数公式 (1) (C)0(2) (xm)m xm1(3) (sin x)cos x(4) (cos x)sin x(5) (tan x)sec2x(6) (cot x)csc2x(7

16、) (sec x)sec xtan x(8) (csc x)csc xcot x(9) (a x)a x ln a(10) (e x)ex(11) axxaln1)(log (12) xx1)(ln (13) 211)(arcsinxx (14) 211)(arccosxx (15) 211)(arctanxx (16) 211)cotarc(xx 下页函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则反函数求导法 )0)( )(1 )(1yfyfxf (4) 2)(vvuvuvu(v0) (1) (uv)uv (2) (Cu)Cu(C是常数) (3) (uv)uvuv 四、基本求导法则与导数公

17、式 xuuyxydddddd 或 y(x)f (u)g(x) 其中 yf(u) ug(x) 下页2.3 高阶导数高阶导数的定义 几个初等函数的 n 阶导数函数和差、积的 n 阶导数 函数yf(x)的导数f (x)叫做函数yf(x)的一阶导数 一阶导数yf (x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 高阶导数的定义 y f (x) 或22ddxy 即 y(y) f (x)f (x) )dd(dddd22xyxxy y y(4) y(n) 或33ddxy 44ddxy nnxydd 下页

18、 例1 yaxb 求y 解 y(y) f (x)f (x) )dd(dddd22xyxxy y(axb)a y(a)0 下页 例4 求函数ye x 的n阶导数即(ex)(n)ex一般地 可得y(n)ex yex 解 y(4)ex yex yex 例5 求函数yln(1x)的2阶导数 解 yln(1x) y(1x)2 y(1x)1几个初等函数的 n 阶导数 下页2.4 由方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一

19、个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程 xy310 确定的隐函数为31 xy 下页提示 例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 (ey)(xy)(e)(0) 即 eyyyxy0 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出 一、隐函数的导数方程中每一项对x求导得 解 (xy)yxy (ey)e yy 从而 yxyye(xe y0) 下页 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得 解 由此得 2521146yxy

20、21|25211|0460 xxyxy 下页 5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005把方程两边分别对x求导数得 解法二 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 下页 解 方程两边对x求导 得 例 4 求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 的二阶导数 0ddcos21dd1xyyxy 于是 yxycos22dd 下页y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设

21、yf(x) 两边取对数 得ln yln f(x) 两边对x 求导 得对数求导法 )(ln1xfyy 下页 xxxxyy1sinlncos1 例5 求yx sin x (x0)的导数 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x 于是 )1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx )sinln(cos)ln(sinesinlnsinxxxxxxxyxxx)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx )sinln(cos)ln(

22、sinesinlnsinxxxxxxxyxxx 下页上式两边对x求导 得 说明 先在两边取对数 得 解 xx1) |(ln )()(1 | )(|lnxfxfxf 例 6 求函数) 4)(3() 2)(1(xxxxy的导数 |4|ln| 3|ln| 2|ln| 1|ln21lnxxxxy )41312111(211xxxxyy 于是 )41312111(2xxxxyy 首页二、由参数方程所确定的函数的导数 设参数方程)()(tytx确定了一个函数 yf(x) 其中 x(t)具有单调连续反函数)(1xt 且此反函数能与函数 y(t)构成复合函数)(1xy 若 x(t)和 y(t)都可导 则 )(

23、)(dddddd1ddddddddtttxtytxtyxttyxy)()(dddddd1ddddddddtttxtytxtyxttyxy)()(dddddd1ddddddddtttxtytxtyxttyxy)()(dddddd1ddddddddtttxtytxtyxttyxy 下页 若 x(t)和 y(t)都可导 则)()(ddttxy 切点的坐标为 解 曲线在点M0的切线斜率为 所求切线方程为 )22(22axabby 即)22(22axabby 即02abaybx 例 7 求椭圆tbytaxsincos在相应于4 t点处的切线方程 224 cos0aax 224sin0bby abtatb

24、tatbxyttt sincos )cos()sin( dd444abtatbtatbxyttt sincos )cos()sin( dd444abtatbtatbxyttt sincos )cos()sin( dd444 下页 解 的函数yf(x)的二阶导数 例 9 计算由摆线的参数方程)cos1 ()sin(tayttax所确定的函数 解 )()(ddtxtyxy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata)()(ddtxtyxy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata)()(ddtxtyxy)cos1 (sin )sin( )cos1 (t

25、atattata 2cotcos1sinttt(t2n n 为整数) 首页2.5 函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用 设函数yf(x)在某区间内有定义 x0及x0 x在这区间内 如果函数的增量yf(x0 x)f(x0)可表示为yAxo(x) 其中A是不依赖于x的常数 o(x)是比x高阶的无穷小 那么称函数yf(x)在点x0是可微的 而Ax叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量x的微分 记作dy 即dyAx 定义(微分)下页 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dyf (x0)x 可微与

26、可导的关系yf(x)在点x0可微yAxo(x) dyAx 下页 函数yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy 或 df(x) 即dyf (x)x 例如 dcos x(cos x)x sin x x dex(e x)xexx 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dyf (x0)x 可微与可导的关系yf(x)在点x0可微yAxo(x) dyAx 下页 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 dy(x2)|x1x2x 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例2 求函数 yx3当x2 x 002时的微分 解 函数yx2在x1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函数当x2 x002时的微分 dy|x2 x0.02 3220.020.24 3x2x| x2, x0.02 yf(x)在点x0可微yAxo(x) dyAx 下页三、基本微分公式与微分运算法则d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(ax)ax ln adx d(ex)exdx (xm)m xm