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文档简介

1、第二讲 一阶微分方程【教学内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目的】理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：形如 的微分方程；叫做齐次微分方程对它进行求解时，只要作变换原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 于是有，从而原方程可化为，即 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量u还原为，所得函数就是原方程的通解。例1、 求微分方程，满足初始条件的特解。解： 方程可化为 它是齐次方程。令，代入整理后，有分离变量，则有 两边积分，得1 /

2、8 即 将代入上式，于是所求方程的通解为 把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为 二、一阶线性微分方程形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)都是连续函数。当Q(x) = 0时，方程 称为一阶线性齐次微分方程； 当Q(x) 0 ，方程称为一阶线性非齐次微分方程。1. 一阶线性齐次微分方程的解法将方程 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 (C为任意常数) 例2 、 求微分方程的通解。 解法1（分离变量法） 所给方程是一阶线性齐次方程变量分离得两边积分得即令 方程的通解为解法2（公式法）将P(x) =2x代入通解公式，得通解2. 一阶线性非齐次微分方程的解法非齐次方程与齐次

3、方程的差异仅是方程右边的项Q(x)。从齐次方程的通解的结构及导数运算的规律, 我们有理由推测非齐次方程的解形如 (C(x)是关于x的函数） 代入非齐次方程，得一阶非齐次线性方程通解的公式为：或上述求解方法称为常数变易法. 用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为： （1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；（2）利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解；（3）将所设特解代入非齐次线性方程，解出C(x)，写出非齐次线性方程的通解.例3、求微分方程的通解.解法1（常数变易法）原方程变形为 : 对应的齐次方程为 ：得通解为设原方程的解为 从而 代入原方程得 化简得 两边积分，得 所以，原方程的通解 解法2（用公式法）把它们代入公式得例4、已知曲线过点（0，0），且该曲线上任意点p（x，y）处的切线的斜率为该点的横坐标与纵坐标之和，求此曲线方程。解法1 （采用常数变易法求解）设所求的曲线方程为y=y（x），由导数的几何意义有即 初始条件为下 由分离变量并积分，得 令，则，把y，代入方程中，于是有 两端积分后，得 （c为任意常数）将上式代入，从而方程的通解为 再把初始条件代入上式，解出c=1，因此方程的特解为 这就是所求的曲线方程。解法2 （采用公式法求解）原方程中的，把它们代入公式得 把代入上式得，于是所

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