正切函数的图象和性质

1、数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学使人智慧数学使人智慧 一、引入一、引入如何用正弦线作正弦函数图象呢？如何用正弦线作正弦函数图象呢？用正切线作正切函数用正切线作正切函数y=tanxy=tanx的图象的图象.2 , 0,sin1图图象象、用用平平移移正正弦弦线线得得 xxy.2图图象象向向左左、右右扩扩展展得得到到、再再利利用用周周期期性性把把该该段段类类 比比4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质问题问题1 1、正切函数、正切函数 是否为周期函数？是否为周期函数？ y = tanxy

2、 = tanx 是周期函数，是周期函数， 是它的一个周是它的一个周期期 y = tanxy = tanx 我们先来作一个周期内的图象。想一想想一想：先作哪个区间上的图象好好呢？( ( - -, ,) )2 22 2利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，xf x+f x+ = tan x+= tan x+ = tanx= tanx xf 为什么？为什么？二、探究二、探究用正切线作正切函数图象用正切线作正切函数图象4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质3 ），（33tan AT0XY问题问题2

3、 2、如何利用正切线画出函数、如何利用正切线画出函数 ， 的图像？的图像？ xytan 22 ，x的终边的终边角角3 作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切线作正切线(3) 平移平移(4) 连线连线把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。83488483，利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，x44288838320o正切曲线032是由通过点 且与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成(,0)()2kkZ渐进线渐进线4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质 定义域定义域：Zk,k2x|x 值域值域： 周期性：周期性：

4、奇偶性：奇偶性： 在每一个开区间在每一个开区间 ， 内都是增函数。内都是增函数。)2,2(kkZk正正切切函函数数图图像像奇函数，图象关于原点对称。奇函数，图象关于原点对称。R 单调性：单调性：Z k,2kx (6)渐近线方程：渐近线方程： (7)(7)对称中心对称中心kk(,0)(,0)2 2渐进线性质 :渐进线(1)正切函数是正切函数是上的上的增增函数吗？为什么？函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是正切函数会不会在某一区间内是减减函数？为什么？函数？为什么？ 问题：问题：AB 在每一个开区间 ， 内都是增函数。( (- -+ + k k, ,+ + k k) )2 22 2k

5、ZkZ问题讨论A 是奇函数B 在整个定义域上是增函数C 在定义域内无最大值和最小值D 平行于 轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等1关于正切函数 , 下列判断不正确的是（ ）函数的一个对称中心是（）tanyxxtan(3 )yx(,0)9(,0)6(,0)4(,0)4A . B. C. D. 基础练习BC例例1 1、比较下列每组数的大小。、比较下列每组数的大小。o oo o( (1 1) )t ta an n1 16 67 7 与与t ta an n1 17 73 31 11 1t ta an n( (- -) )4 41 13 3t ta an n( (- -) )5 5（2）与与例题分析0

6、00090167173180tanyx在，上是增函数，200tan167tan17311tan()tan,44132tan()tan5520,452tanyx又在 0，是增函数22ta nta n451113tan()tan().45解解: (1)(2)例例1 1、比较下列每组数的大小。、比较下列每组数的大小。oooo(1)tan167 与(1)tan167 与tan173tan1731111tan(-)tan(-)4 41313tan(-)tan(-)5 5（2）与与说明：比较两个正切值大小，关键是把相说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角应的角 化到化到y=tanx的同一单调区间内，再

7、的同一单调区间内，再利用利用y=tanx的单调递增性解决。的单调递增性解决。例题分析000090167173180tanyx在，上是增函数，200tan167tan173解解:例题分析解解 :,tan,4txyttRkZ设则的定义域为 t且tk +2,42xk 4xk,4x xRxkkZ因此，函数的定义域是且值域 : Rtan()4yx求 函 数的 定 义 域 、 值 域 和 单 调 区 间 .例 2.tan,2ytkkkZ的单调增区间是-2224kxk 344kxk 3,44kkkZ函数的单调增区间是较0 00 01 1、比比大大小小：( (1 1) )t ta an n1 13 38 8

8、_ _ _ _ _ _t ta an n1 14 43 3 。1 13 31 17 7( (2 2) )t ta an n( (- -) )_ _ _ _ _ _t ta an n( (- -) )4 45 5、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。定义域：定义域：zk,63kxx R值域：值域：zk,3k,3k ）单调递增区间：（单调递增区间：（6 66 6反馈演练求函数 的周期.tan(3)tan3 ,xx因为即tan3(x+)=tan3x,3这说明自变量 x ,至少要增加，函数的值才能重复取得，所以函数的周期是tan 3yx3tan3yx3例例反馈练习：求下列函数的周期：(1)

9、5tan2xy (2)tan( 4 )yx例题分析解：解：24tan3x 解不等式：解：解法解法1解法解法2例题分析例 yxTA30)(2,3Zkkkx由图可知：tan3x 解不等式：解：0yx323)(2,3Zkkkx由图可知：解法解法1解法解法2例 例题分析tan0 x 2、解不等式：1-3tan()63x3、解不等式：1、 解不等式 1+tanx0反馈演练答案: 1.,42xx kxkkZ,24xx kxkkZ 2.3.2,33xx kxkkZtan 33yx求函数求函数 的定义域、值域，并指出它的的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性；单调性、奇偶性和周期性；、定义域1、值域

10、215|318xx xRxkkZ且，yR3、单调性115,318 318xkk在上是增函数；4、奇偶性5、周期性最小正周期是3非奇非偶函数提高练习答案答案: 1. 已知 则( ) A.abc B.cba C .bca D. bactan1,tan 2,tan 3,abc补充练习22.(tan)4 tan1yxx求的值域；3.tan1, 已知 是三角形的一个内角，且有则 的取值范围是3,4 0,23,4 0,2A. B . C. D.以上都不对( c )c-5,+四、小结：正切函数的图像和性质四、小结：正切函数的图像和性质 2 、 性质性质:xy tan 象象向向左左、右右扩扩展展得得到到。再再利利用用周周期期性性把把该该段段图图的的图图象象，移移正正切切线线得得、正正切切曲曲线线是是先先利利用用平平)2,2(x, xtany1 定义域：Z