《13.4课题学习最短路径问题》1

1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题本课说明本课说明 本节课以数学史中的一个经典问题本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮将军饮 马问题马问题”为载体开展对为载体开展对“最短路径问题最短路径问题”的课题研的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “ “两点之间，线段最短两点之间，线段最短”（或（或“三角形两边之和大三角形两边之和大 于第三边于第三边”）问题）问题 学习目标：学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径

2、问题，体会图形能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点：学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线两点之间，线 段最短段最短”问题问题 学习说明学习说明引言：引言： 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常

3、涉及到选择最短路径的问题，本节题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识来解决它们将利用数学知识来解决它们 引入新知引入新知问题问题1牧马人从牧马人从A A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l l饮饮马，然后到马，然后到B B地地. .牧马人到河边的什么地方饮马，可使所牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走路径最短？走路径最短？探索新知探索新知BAl你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为

4、两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说

5、明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图） BAlC追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度

6、的长度相等？相等？ 探索新知探索新知问题问题 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlA追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？ 探索新知探索新知问题问题 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？ BlA作法：作法：（1）

7、作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC探索新知探索新知问题问题你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，

8、BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知问题问题你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC探索新知探索新知问题问题你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC证明：证明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的

9、距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC探索新知探索新知问题问题2 A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥一座桥MN.桥造在何处可使从桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？最