第三章 随机变量的数字特征

1、第三章 随机变量的数字特征教学内容：数学期望、方差的定义、性质及计算、矩、协方差及相关系数。教学目的：使学生了解随机变量的数学期望、方差的意义，掌握期望、方差的计算与性质，使学生明白矩、协方差、相关系数的意义。教学重点：分布函数与连续型随机变量的数学期望的计算。以及方差的定义、性质，协方差、相关系数的计算。教学难点：关于二维随机变量的数学期望、方差的计算；掌握表示随机变量相互关系的数字特征：协方差、相关系数，随机变量的不相关与独立的异同。教学方法：新授课、启发式教学手段：板书、演讲教学学时：6学时教学过程：  1 数学期望前言：统计学常常建立各种指标（指数）来描述经济、金融、社会等现

2、象，并利用这些指标进行有效推理、科学决策。另一方面，我们在研究随机变量分布时，其分布列或分布密度中有各种参数。例如： ， ，等。我们要研究这些参数反映出统计意义，我们通常称这些指标或与这些参数相联系统计指标为（随机变量或向量的）数字特征。本章主要介绍几种重要的数字特征期望、方差、协方差和相关系数。1.1 问题的提出如何比较北京与武汉两个城市居民的收入或如何比较两个班的概率论与数理统计课程的考试成绩？人们往往用人均收入或人均分数进行比较。为简单起见，见下表概率论与数理统计考试成绩表  44  55   58   62 

3、;  70  73  77 81 84 88 91 93 97      则平均成绩为： 称为随机变量的数学期望或均值，1.2 数学期望的定义 定义1 设离散型随机变量的分布律为 ，若级数 绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，记为 即设连续型随机变量的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望， ，记为 即数学期望简称为期望，又称为均值。注意：从定义可以看出，是由随机变量的分布列所确定的一个实数，它形式上是的一切可能取值，当独立地取较多的值时，这些值的平均值稳定在随

4、机变量的数学期望上，的取值可依某种次序一一列举的，同一种随机变量的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望（均值）应是不变的，这意味着求和次序可以改变，而其和保持不变，由无穷级数的理论知道，必须有 绝对收敛，即，才能保证它的和不受求和次序的影响。例1、设排球队A与B进行比赛，若有一队胜4场则比赛宣布结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的数学期望。解 设表示比赛场数，则可能取 4.5.6.7（场）1.3 几种常用分布的期望（1） 二点分布 则 （2）二项分布 则 （3）Poissn 分布 则 （4）均匀分布 则 即 为 的中点。（5）指数分布 的密度为

5、 则 ：（6）正态分布： 则 这里用到若 为奇函数且可积。 则 例2 过单位圆上一点P作任意弦PA，PA与直径PB的夹角服从均匀分布，求弦PA的长的数学期望。解：由任意的密度函数为例3 口袋有张卡片，其编号为 1，2，从中有放回地抽取张，求所得号码之和 的数学期望。解 设 表示第 次抽到的卡片号码，则 因为是有放回抽取，所以各个之间独立同分布 故 1.4、二维随机变量的数学期望定义 设二维离散型随机变量，分布律为 若级数 ， 绝对收敛，则称 为的数学期望 为的数学期望设连续型随机变量 的概率密度为，若积分 ， 绝对收敛，则称 为随机变量的数学期望， 为随机变量的数学期望，明显地，定义2可推广到

6、维情况定理 设的概率密度，而为连续或分段连续函数，则 推论：设是的概率密度，则 例4  设相互独立，且都服从N（0，1），求：解：联合密度函数为1.5、数学期望的性质（1） 设是常数，则有 （2） 设 是一个随机变量，是常数，则有（3） 设 ，是两个随机变量，则有 （4）若 是相互独立的随机变量，则 例5 一个农资商店经销化肥，若销售一吨则获利300元，若销售不出去，到第二年时，由于库存贷款利息保管及损失每吨亏100元，根据以往资料，销售量,问进货多少吨时使得利润最高？ 解： 设进货吨，则利润 我们只能求使，使 取最大值的 ，的密度函数 则 令 （吨）例6 将封信随机地放入

7、个信封中，每个信封放一封信，求放正确的信的封数的期望。 解 设为放正确的信的封数 则 于是 由于将 封信放入个信封中，有种，第封信放正确为，先将第封信放入它的信封内，其余封信放入个信封内，有 种，故 从而 故 例7 的联合密度为求 ： 和 解： =例8 （期望不存在的例）设 服从Cauchy分布，即 的密度函数为 则 即积分发散，从而 不存在2 方 差2.1 问题的提出我们能用平均数比较两个国家国民的收入或两个城市市民的收入或两个班的学生成绩，那么又如何评价收入的差异或学生成绩的差异呢？我们还是研究上节中的学生成绩的差异程度，全班30人的平均成绩为 每个学生的成绩（的点）到的平均距离，若它越大

8、时，学生之间的成绩差异就大。一般地，若变量取值且频率为 为平均值 若它的数值越大，则的取值差异就大，反之就小。但由于绝对值数学处理不方便，人们将上式改造成 这样就方便用来衡量 取值的差异程度。2.2 方差的定义 定义：设是一个随机变量，数学期望存在，如果存在，则称为随机变量的方差,并记为或。 对于离散型随机变量 式中 是的分布律 对于连续型随机变量 式中 是的概率密度为注意：（1）当比较集中时 ，则较小； 当比较分散时 ，则较大；是刻画取值分散程度的一个量。（2）其几何意义：随机点到点的距离平方的平均值。2.3 方差的计算公式（在实际计算中常用） 例1 设，求解： 2.4. 几种常用分布的方差

9、1）均匀分布  2）指数分布设， 则。3）正态分布设， 则。4）分布     设  2.5 方差的性质（1）设是常数 ，则(2) 设 是随机变量，是常数 (3) 设是两个随机变量，则有特别地，若 独立，则 （4） 的充要条件是以概率1取常数 ，即 显然 证明性质（3） 又 特别地， 当 独立时，有故有 例1、 袋中有个红球，个白球，个黑球，从中有放回地取个球，求取得的红球与白球个数之和的期望与方差。 解：设随机变量 表示取到红球与白球个数之和 则 且 相互独立同分布，由期望性质得 又 所以 故 例2. 若b（k;n

10、,p）求：解：令          i=1.2 n        D=np    +例3 设掷两颗骰子，用, 分别表示第一、第二颗骰子出现的点数，求两颗骰子出现点数之差的方差。解：令,  分别表示第一、第二颗骰子出现的点数则与同分布，分布列为       故。2.6 标准化随机变量 设随机变量 记 称 为 的标准化随机变量明显地 即， 其期望为0，

11、方差为1由于方差是描述随机变量离数学期望的平均偏离程度，从而事件 同样描述随机随机变量偏离期望的偏离，它一定与有关。另一方面，如果，则 以上的逆命题成立吗？即 若 ，则 。因此，我们必须研究 与 的关系 例4 设随机变量相互独立，, 服从标准正态分布，求 解 特别地，当独立时，有 取 得 因 由计算得 因 由计算得 故 定理：（切比雪夫不等式） 设随机变量具有数学期望 方差 则对于任意正数 ，不等式 成立证明：我们只就连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度为 则有 切比雪夫不等式也可以写成如下形式： 将契贝晓夫不等式给出的估计式中，只须知道方差及数学期望两个数字特征就够了，因而使用起来是比较

12、方便的。但因为它没有完整的用到随机变量的统计规律分布函数或密度函数，所以它给的估计是不精确的。注意：利用契贝晓夫不等式可以证明下列事实：随机变量的方差 的充要条件是取某个常数值的概率为1，即这个结论的充分性是显然的，下面证明必要性。由此可知，从而 其中常数a3 矩 随机变量的数字特征除了上述的数学期望与方差外，还有其他数字特征，现介绍随机变量矩的概念 定义： 设为随机变量，若记称为的阶原点矩；又若记，则称为的阶中心矩由定义我们不难看出原点矩与中心矩的关系故可得 反过来，由中心矩也可以求原点矩 故可得 显然 例1 设随机变量 ，求的阶中心矩解：当为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 当为

13、偶数时 令 再令 ，则 因而有 4 协方差与相关系数4.1 问题的提出 经验与理论告诉我们，随机变量之间存在或可能存在数量之间的关系，但不一定是函数关系。例如 一个学生的物理成绩与他的数学成绩关联很大，人们的消费与他的收入有关，如此等等，如何研究它们的关系呢?4.2 协方差定义定义 称 为随机变量与的协方差，记为 从定义可以看出 4.3、协方差性质（1）(2) (3) 式中，为常数4.4、相关系数定义称为随机变量与的相关系数。定理 随机变量与的相关系数满足(1) （2）的充分必要条件是存在常数使证明：定理（2）先证必要性 当时，由本章性质（4）： 以概率1取 即有 其中 仿之可证 当时，也有

14、再证充分性： 若存在常数 ，使得 ，则有 所以 即 由此可见：是衡量是否存在线性关系的数字特征，当越大时，线性程度越大；当越小时，线性程度越小。称不相关； 称为完全正相关；称为完全负相关。相关系数只是随机变量之间的线性关系强弱的一个度量，因而说得更确切些，应该称为线性相关系数。例1、设为上的均匀分布，又求之间的相关系数。解： 在该例中不相关，但显然有也就是说，之间显然没有线性关系，却有另外的函数关系。由此可知,当时与可能独立也可能不独立。例2 已知随机变量与不相关，且 令试求:与的相关系数，与不相关解 例3 设随机变量的数字特征都存在（1）试比较 和 的大小（2）如果 ，讨论和的关系 ()解：（1） 因为 所以当 时 当 时 当 时 （2）因为 故 当同号时 当异号时 例4、设 的联合概率密度为 讨论 是否独立，是否不相关。 解：