极限的运算法则

1、定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数E,变量变量y在在其变化过程中其变化过程中,总有那么一个时刻总有那么一个时刻, 在那个在那个时刻以后时刻以后,不等式不等式 |y|E恒成立恒成立,则称变量则称变量y是该变化过程中的是该变化过程中的无穷无穷大量大量,或称变量或称变量y 趋于无穷大趋于无穷大,记作记作limy= 注意：注意：(1)无穷大是变量无穷大是变量,不是很大的数不是很大的数(3)无穷大一定无界无穷大一定无界,但无界未必无穷大但无界未必无穷大(2)无穷大的函数其极限是不存在无穷大的函数其极限是不存在0 lim( ).xxfx 即 勿将认为极限存在 定义定义 若函数若函数 f

2、(x) 在某个极限过程中以零为在某个极限过程中以零为极限极限, 则称则称f(x)为该过程中的为该过程中的无穷小量无穷小量, 简称简称无无穷小穷小.注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小的性质无穷小的性质:定理定理2.6 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数有限个无穷小的代数和仍是无穷小和仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理2.7 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的

3、乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理2.82.8证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当所以所以.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当所以所以xfxx )(1,)(,xfxf则为无穷大如果程中在自变量的同一变化过.)(1, 0)(,)(,;为无穷大则且为无穷小如果反之为无穷小xfxfxf3、无穷大量与无穷小量的关系、无穷大量与无穷小量的关系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时

4、使得当使得当所以所以.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当所以所以xfxx , 0)( xf由于由于.时的情形时的情形类似地可证类似地可证 x意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论. 无穷小量无穷小量 (0除外除外) 的倒数是无穷大量的倒数是无穷大量 (类似地类似地,无穷大量的倒数是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量).4. 无穷小量阶的比较例如例如, 但它们趋于零的快慢程度不同但它们趋于零的快慢程度不同,我们我们由它们的比值的极限来判断由它们的比值的极限来判断,称为无穷小称为无穷小量阶的比较量阶的比较两个无穷小量之

5、比两个无穷小量之比,称为称为“00”型不定式型不定式当当x0时时, 3x, x2, sinx,xx1sin2都是无穷小都是无穷小,不可比不可比 比值的极限不同比值的极限不同, 反映了趋近于零的反映了趋近于零的“快快慢慢”程度不同程度不同.xxx3lim20=0 xxxsinlim0=12201sinlimxxxxxx1sinlim0 观察各极限观察各极限:x2比比3x要快得多要快得多sinx与与x大致相同大致相同不存在不存在20sinlimxxx ,Sinx与与 要慢要慢2x；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷

6、小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(，因为因为03lim20 xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当所所以以xxx ).0()3(2 xxox即即例如，例如，是是时时所所以以当当因因为为nnnnn1,lim211 .21低阶的无穷小低阶的无穷小比比n例例1 证明证明: 当当0 x时时,11 nxxn1证证 lim0 x11 nxxn10lim x

7、 11 nnx xn1 11 nnx 21 nnx 1 1 ,0时时当当x11 nxxn1 nnba)(ba 1( naban 2 )1 nb注注: 等价不是等同等价不是等同 1lim 0)1lim( 0lim =o( ) = +o( )类似地，可以作两个无穷大量阶的比较类似地，可以作两个无穷大量阶的比较,两个无穷大量之比也是不定式称为两个无穷大量之比也是不定式称为“ ”型不定式型不定式. 其他尚有一些其他尚有一些00 ,1 ,0 , ,0 型的型的型的不定式型的不定式 计算计算.不定式，也可通过不定式，也可通过 或或00 来来 ,称称 是较是较 低阶的无穷大低阶的无穷大 ,称称 是较是较 高

8、阶的无穷大高阶的无穷大 ,称称 与与 是是同阶无穷大同阶无穷大定义定义: 设设 , 是同一过程中的两个无穷大是同一过程中的两个无穷大(1)如果如果C Clim(0) 特别特别,当当C=1时时,称称 与与 是是等价无穷大等价无穷大(2)如果如果lim0 (3)如果如果lim 2.5极限的运算法则极限的运算法则 根据极限的定义根据极限的定义, 对给定的函数对给定的函数(x)，只能验证某个常数只能验证某个常数 是否为它的极限是否为它的极限, 而不而不能求它的极限。为了解决极限的计算问能求它的极限。为了解决极限的计算问 题，题，下面介绍极限的运算法则下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则并利用这些法

9、则和一些已知和一些已知 结果来求一些函数的极限。结果来求一些函数的极限。定理定理:设设limf(x)=A, limg(x)=B,则则(1) limf(x) g(x)=A B(2) limf(x) g(x)=A B(3)BAxgxf )()(lim(其中其中B 0)证证limf(x)=A, limg(x)=Bf(x)=A+ , g(x)=B+ .其中其中 0, 0(1) f(x) g(x) (A B)=f(x) A g(x) B= 0 limf(x) g(x)=A B(2) f(x) g(x) A B=(A+ )(B+ ) AB=A +B + 0 limf(x) g(x)=A B(3)BAxgx

10、f )()(BABA )( BBABB A 0,又又 0 0,在变量在变量 的变化过程中的变化过程中,总有那么总有那么一个时刻一个时刻,在那个时刻以后在那个时刻以后,| |B| 2| B 取取则则 |B(B+ )|)2|(|BBB 22B ,2)(12BBB 即有界即有界BAxgxf )()(lim0)( BBAB若若,lim,limByAxnnnn 则有则有)(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,0)3(时时当当 BBAyxnnn limBA BA 注注运算法则运算法则 , 有相应的结论有相应的结论 .及及 x时函数极限的四则时函数极限的四则例如例如, 对于数列极限对于数列极限

11、,对于数列极限对于数列极限有以下结论有以下结论: 数列是一种数列是一种 特殊的函数特殊的函数, 故此结论可故此结论可 由由定理定理1直直 接得出接得出 .即常数因子可以提到极限记号外面即常数因子可以提到极限记号外面推论推论1 如果如果limf(x)存在存在,而而c为常数为常数,则则 limcf(x)=climf(x)推论推论2 如果如果limf(x)存在存在,而而n是正整数是正整数,则则 limf(x)n=limf(x)n,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx )()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx BA (极限运算的线性性质极限运算的线性性质)

12、以上运算法则对有限个函数成立以上运算法则对有限个函数成立. 幂的极限等于极限的幂幂的极限等于极限的幂求求 解解)52(lim22 xxx5limlim)(lim22222 xxxxx52)lim(222 xx例例1极限运算的极限运算的线性性质线性性质 幂的极限等于极限的幂53222 )52(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx.37 3123 商的极限等商的极限等于极限的商于极限的商)53(lim)1(lim2232 xxxxx531lim232

13、 xxxx例例2 求求小结小结: 1. 设设f(x)=a0 xn+a1xn 1+.+an ,则有则有nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000=a0 x0n+a1x0n 1+.+an=f(x0)2.设设)()()(xQxPxf ,且且Q(x0) 0,则有则有)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP =f(x0)若若Q(x0)=0,则商的法则不能应用则商的法则不能应用 多项式多项式 有理分式有理分式函数函数3214lim21 xxxx例例3 求求解解:)32(lim21 xxx=0 商的法则不能用商的法则不能用)14

14、(lim1 xx又又=3 01432lim21 xxxx30 =0由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得 3214lim21xxxx321lim221 xxxx例例4 求求解解: x1时时,分子分子,分母的极限都是分母的极限都是0”“00321lim221 xxxx)1)(3()1)(1(lim1 xxxxx31lim1 xxx21 (先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子x 1后再求后再求极限极限)消去零因子法消去零因子法147532lim2323 xxxxx例例5 求求解解:x时时,分子分子,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大”“ 先用先用x3去除分子分母去除分

15、子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限147532lim2323 xxxxx33147532limxxxxx 72 无穷小因子分出法无穷小因子分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限12352lim223 xxxxx52123lim232 xxxxx题题1 求求解解: 先用先用x3去除分子分母去除分子分母,然后求极限然后求极限52123lim232 xxxxx332512123limxxxxxx 20 =02 求求解解:应用例应用例6的结果并根据无穷小与无穷的结果并根据无穷小与无穷大的关系大的关系

16、,即得即得 12352lim223xxxxx一般一般: 当当a0 0,b0 0,m和和n为非负整数时为非负整数时,有有nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim mnmnbamn当当当当当当 , 0 , ,00例例6.6.).1311(lim31xxx求解解: : 这是两个无穷大量之差的极限问题这是两个无穷大量之差的极限问题. 无穷大量的和无穷大量的和, 差不一定是无穷大量差不一定是无穷大量.)1311(lim31xxx) 1)(1(31lim221xxxxxx) 1)(1()2)(1(lim21xxxxxx12lim21xxxx133这类问题这类问题, 称为称为“ ”型型. 通分

17、通分例例7 求求)2(limxxx 解：原式解：原式xxxxxxx 2)2)(2(limxxxxx 22limxxx 22lim=0(有理化法有理化法)题 求220lim11xxx解解222222002220(11)limlim11(11)(11)(11) lim 2xxxxxxxxxxxx )21(lim222nnnnn 例例8 求求解解: n时时,是无限个无穷小之和是无限个无穷小之和先变形再求极限先变形再求极限)21(lim222nnnnn 221limnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn 21 xxysin 2sinlimxxx例例9 求求解解: 当当x时时,21x

18、为无穷小为无穷小而而sinx是有界函数是有界函数2sinlim0 xxxyox1xy 112 xy例例10 设设 , 求求 0 , 10 ,1)(2xxxxxf解解:)(lim0 xfxx=0是函数的分段点是函数的分段点)(lim0 xfx )1(lim0 xx =1)(lim0 xfx )1(lim20 xx=1左右极限存在且相等左右极限存在且相等1)(lim0 xfx求极限的几种方法1.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限2.消去零因子法求极限消去零因子法求极限3.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限4.有理化法有理化法5.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算

19、性质求极限6.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。关系求极限。复合函数极限复合函数极限定理定理 （复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则变量代换法则变量代换法则）AufxfAufaxxaxauxxauxx )(lim)(

20、lim,)(lim,)(,)(lim000 则则又又的某去心邻域内的某去心邻域内但在但在设设证证知知由由Aufau )(lim0, 0 有有时时使当使当,|0 au |)(|Auf得得又由又由axxx )(lim0 00 ，对上述对上述有有时时使当使当,|00 xx |)(|axax )( 又又 |)(|0ax |)(|Axf由极限定义得由极限定义得Aufxfauxx )(lim)(lim0 此定理表明：此定理表明：满足定理的条件满足定理的条件与与若若)()(xuf 则可作代换则可作代换转化为转化为把求把求)(lim)(0 xfxuxx )(lim),(lim0 xaufxxau 这里这里极限

21、过程的转化极限过程的转化注注AufAufxaxuau )(lim)(lim)(lim)(lim换成换成换成换成如将如将 可得类似的定理可得类似的定理例 9 求39lim23xxx 例11 解392xxy是由uy与392xxu复合而成的 解 因为639lim23xxx 所以639lim23xxx 所以6lim39lim623uxxux6lim39lim623uxxux6lim39lim623uxxux xxnx1)1(lim0 求：求：1,1uxxu则解：令例例12：10ux时时，当当10 ux时时，当当nuuxxnunx 11lim1)1(lim10故：故： 1. 在自变量的某个极限过程中，若

22、在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg)()(limxgxf (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么?(2)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？(3) 又加条件：又加条件：, 0)(lim Axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？思考题及练习思考题及练习答：答： 一定不存在一定不存在存在，存在，假设假设)()(limxgxf 存在存在)(limxf由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()(lim)(limxfxgxfxg 必存在必存在，这与已知矛盾，这与已知矛盾，故假设错误故

23、假设错误思考题解答思考题解答)()(limxgxf (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么? 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg答：答： 不一定不一定.反例：反例：xxgxxf1sin)(,)( 不不存存在在，但但)(lim, 0)(lim00 xgxfxx .01sinlim)()(lim00存存在在 xxxgxfxx，xxgxf1sin)(, 1)( .)()(lim0不不存存在在xgxfx(2)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，

24、若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg答：答： 一定不存在一定不存在.（可用反证法证明）（可用反证法证明）(3) 又加条件：又加条件：, 0)(lim Axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg练习题练习题33lim . 132 xxx11lim . 231 xxx解解：原式：原式= 5)3(lim)3(lim232 xxxx32323 解解：原式：原式=)1(lim31321 xxx=3)112)(11(lim . 32xxxx 35)3)(2)(1(lim . 4nnnnn )112(lim)11(lim2xxxxx 解解：原式：原式=2解解：原式：原式=32356116limnnnnn 561161lim32nnnn 51 xxxxxx2324lim . 62240 xxx1sinlim . 520解解：原式：原式=23124lim30 xxxx当当x0时时,有界，有界， x2为无穷小为无穷小解解：x1sin则原式则原式=021 503020)12()2