椭圆的定义与性质

1、椭圆的定义与性质1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)图形性质范围axa bybbxb aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)B1(0，b)，B2(0

2、，b)B1(b,0)， B2(b,0)焦点F1(c,0) F2(c,0)F1(0，c) F2(0，c) 准线l1：x l2：xl1：y l2：y轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆

3、()(4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线设d为平面内一动点P到定直线l的距离，若d|PF|，则点P的轨迹为椭圆()解析(1)错误，|PA|PB|AB|4，点P的轨迹为线段AB；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF1PF22a，F1F22c，故PF1F2的周长为2a2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁(4)正确，根据椭圆的第二定义答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m_.解析由题设知a25，b2m，c25m，e2()2，5m2，m3.答案33椭圆的焦点坐标为(0，6)，(0,6)，椭圆上一点P到两

4、焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_解析椭圆的焦点在y轴上，且c6,2a20，a10，b2a2c264，故椭圆方程为1.答案14(2014·无锡质检)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_解析直线xm过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a8，此时，|AB|2×3，SFAB×2×33.答案35(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析设A(x1，y1)

5、，B(x2，y2)，则0，·.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案考向1椭圆的定义与标准方程【典例1】(1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为_(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为_解析(1)由条件知AF1B的周长4a4，a.e，c2b2a2，c1，b.椭圆C的方程为1.(2)椭圆的一条准线为x4，焦点在x轴上且4，又2c4，

6、c2，a28，b24，该椭圆方程为1.答案(1)1(2)1,【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A>0，B>0，AB)【变式训练1】(1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_(2)(2014·

7、苏州质检)已知椭圆的方程是1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则ABF2的周长为_解析(1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上；c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.(2)a5，椭圆的焦点在x轴上，|F1F2|8，c4，a225c241，则a.由椭圆定义，|AF1|AF2|BF2|BF1|2a，ABF2的周长为4a4.答案(1)1(2)4考向2椭圆的几何性质【典例2】(1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点

8、为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2d1，则椭圆C的离心率为_(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230°，则椭圆的离心率为_解析(1)依题意，d2c.又BFa，所以d1.由已知可得·，所以c2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以离心率e.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|，离心率e. 答案(1)(2),【规律方法】1椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆

9、的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式e；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【变式训练2】(1)(2013·课标全国卷改编)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则C

10、的离心率为_(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260°.则椭圆离心率的范围为_解析(1)如图，在RtPF1F2中，PF1F230°，|PF1|2|PF2|，且|PF2|F1F2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|a，于是|F1F2|a，因此离心率e.(2)法一：设椭圆方程为1(a>b>0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60°(mn)23mn4a23mn4a23·24a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，

11、即e.又0<e<1，e的取值范围是.法二：如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于F1PF260°，则只需满足60°F1AF2即可，又F1AF2是等腰三角形，且|AF1|AF2|，所以0°<F1F2A60°，所以cosF1F2A<1，又ecosF1F2A，所以e的取值范围是. 答案(1)(2)课堂达标练习一、填空题1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_解析设椭圆方程为1(a>b>0)

12、，由e知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28.椭圆C的方程为1.答案12(2013·四川高考改编)从椭圆1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析设P(c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，由kOPkAB及e可得离心率e. 由题意设P(c，y0)，将P(c，y0)代入1，得1，则yb2b2·.y0或y0(舍去)，P，kOP.A(a,0)，B(0，b)

13、，kAB. 又ABOP，kABkOP，bc.e. 答案3(2014·辽宁高考)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.解析椭圆1中，a3. 如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12. 答案124(2014·南京调研)如图，已知过椭圆1(a>b>0)的左顶点A(a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且2，则椭圆的离心率为

14、_解析AOP为等腰三角形，OAOP，故A(a,0)，P(0，a)，又2，Q，由Q在椭圆上得1，解得. e. 答案5(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是_解析由x2y22x150，知r42aa2. 又e，c1，则b2a2c23.因此椭圆的标准方程为1. 答案16(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C：1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则椭圆C的离心率为_解析在ABF中，由余弦定理得 ，|AF

15、|2|AB|2|BF|22|AB|·|BF|cosABF，|AF|21006412836，|AF|6，从而|AB|2|AF|2|BF|2，则AFBF. c|OF|AB|5，利用椭圆的对称性，设F为右焦点，则|BF|AF|6， 2a|BF|BF|14，a7.因此椭圆的离心率e. 答案7已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析由定义，|PF1|PF2|2a，且， |PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b

16、2. SPF1F2|PF1|PF2|×2b29，因此b3. 答案38(2013·大纲全国卷改编)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为_解析依题意，设椭圆C：1(a>b>0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3， 点A必在椭圆上，1. 又由c1，得1b2a2. 由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1. 答案1二、解答题9(2014·镇江质检)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程

17、；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解(1)设椭圆C2的方程为1(a>2)， 其离心率为， 故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24， 所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x， 即，解得k±1.故直线AB的方程为yx或yx.法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点

18、共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x. 由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直线AB的方程为yx或yx.10(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可

19、得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k>0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|·|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)·(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0.而ak>0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e

20、.椭圆的定义与性质1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点，两个 的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数 ( <e< )的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)图形性质范围 x y x y 顶点A1( )， A2( )A1( )， A2( )B1( )，B2( )B1( )，B2( )焦点F

21、1( ) F2( )F1( ) F2( )准线l1：x l2：xl1：y l2：y轴长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 焦距F1F2 离心率e，且e a，b，c的关系c2 对称性对称轴： 对称中心： 1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平

22、面内的一条定直线设d为平面内一动点P到定直线l的距离，若d|PF|，则点P的轨迹为椭圆()2(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m_.3椭圆的焦点坐标为(0，6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_4(2014·无锡质检)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_5(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_考向1椭圆的定义与标准方程【典例1】(1)(2014·全

23、国大纲卷改编)已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为_(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为_【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By

24、21(A>0，B>0，AB)【变式训练1】(1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则ABF2的周长为_考向2椭圆的几何性质【典例2】(1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2d1，则椭圆C的离心率为_(2)

25、(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230°，则椭圆的离心率为_【规律方法】1椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式e；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【变式训练2】(1)(2013·课标全国卷改编)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则C的离心率为_(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260°.则椭圆离心率的范围为_课堂达标练习一、填空题1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过