第九章第2讲排列与组合

1、第 2 讲排列与组合1排列与排列数公式(1)排列与排列数从 n 个不同元素中取出m（mn）个元素 按照一定的顺序排成一列排列 所有不同排列的个数排列数(2)排列数公式Amnn(n1)(n2)(nm1)n！（nm） ！(3)排列数的性质Annn！ ；0！12组合与组合数公式(1)组合与组合数从 n 个不同元素中取出m（mn）个元素 合成一组组合 所有不同组合的个数组合数(2)组合数公式CmnAmnAmmn（n1） （n2）（nm1）m！n！m！ （nm） ！.(3)组合数的性质C0n1；CmnCnmn；CmnCm1nCmn1做一做1某校一年级有 5 个班，二年级有 7 个班，三年级有 4 个班，

2、分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是()AC25C27C24BC25C27C24CA25A27A24DC216答案：A2用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8B24C48D120答案：C1辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关(2)计算 Amn时易错算为 n(n1)(n2)(nm)2排列与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题

3、与选取元素顺序无关做一做3(2014高考大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60 种B70 种C75 种D150 种解析：选 C.由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C26C1575(种)4在一展览会上，要展出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不能相邻，则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答)解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1

4、 件建筑设计展品全排列，再将 2件不能相邻的绘画作品插空，故共有 A22A22A2324(种)不同的展出方案答案：24考点一_排列应用题_3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选其中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾解(1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A572 520(种)排法(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A775 040(种)排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须

5、站在一起，是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有 NA33A44A22288(种)(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空中安排共有 A35种排法，故 NA44A351 440(种)(5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A155(种)排法；再安排其他人，有 A66720(种)排法所以共有 A15A663 600(种)排法在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必

6、须排在两端解：(1)先排甲有 4 种，其余有 A66种，故共有 4A662 880(种)排法(2)先排甲、乙，再排其余 5 人，共有 A22A55240(种)排法规律方法求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法考点二_组合应用题_要

7、从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有 1 名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选解(1)法一：至少有 1 名女生入选包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，5 女由分类加法计数原理知总选法数为C15C47C25C37C35C27C45C17C55771(种)法二：“至少有 1 名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解从 12 名人中任选 5 人有 C512种选法，其中全是男代表的选法有 C57种所以“至少有 1 名女生入选”的选法有 C512C5777

8、1(种)(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的 10 人中任选 3 名即可，共有 C22C310120(种)选法(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为 C512C510540(种)在本例条件下，求至多有 2 名女生入选的选法种数解：至多有 2 名女生入选包括以下几种情况：0 女 5 男，1 女 4 男，2 女 3 男，由分类加法计数原理知总选法数为C57C15C47C25C37546(种)规律方法解决组合类问题的方法：(1)“含有”或“不含有

9、”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理考点三_排列、组合的综合应用(高频考点)_排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下四个命题角度：(1)分配问题；(2)排列问题；(3)定位问题；(4)选派问题(1)(2014高考四川卷)六个人

10、从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192 种B216 种C240 种D288 种(2)(2015兰州市、张掖市联合诊断)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有()A150 种B300 种C600 种D900 种(3)(2014高考北京卷)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种解析(1)第一类：甲在最左端，有 A5554321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有 4A444432

11、196(种)方法所以共有 12096216(种)方法(2)若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的 5 名教师中选 2 名，有 C25A44240 种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从 6 名教师中选 4 名，共有 C46A44360 种方法因此共有 600 种不同的选派方案(3)将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A44种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A33种方法于是符合题意的排法共有 A22A44A22A3336(种)答案(1)B(2)C(3)36规律方法解排列组合问题要遵循两个原则：

12、一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(1)(2014高考辽宁卷)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120C72D24(2)(2015东北三校联合模拟)一个五位自然数 a1a2a3a4a5，ai0，1，2，3，4，5，i1，2，3，4，5，当且仅当 a1a2a3，a3a4a5时称为“凹数”(如 32 014，53 134 等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()A110B137C145D146(3)将 6 名教师分到

13、 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法(4)(2015保定市调研考试)已知集合 M1，2，3，4，5，6，集合 A、B、C 为 M 的非空子集，若xA、yB、zC，xyz 恒成立，则称“ABC”为集合 M 的一个“子集串”，则集合 M 的“子集串”共有_个解析：(1)插空法在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可故排法种数为 A3424.故选 D.(2)分四种情况进行讨论：a3是 0， a1和 a2有 C25种排法， a4和 a5有 C25种排法， 则五位自然数中“凹数”有 C25C25100 个； a3是 1， 有 C24C2

14、436 个； a3是 2， 有 C23C239 个； a3是 3， 有 C22C221 个 由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有 1003691146 个(3)将 6 名教师分组，分三步完成：第一步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第二步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第三步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种取法根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C3360 种取法再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336 种分法故共有 606360 种不同的分法(4)由题意可先分类，再分步：第一类，将 6 个元素全部取出来，

15、可分两步进行：第一步，取出元素，有 C66种取法，第二步，分成三组，共 C25种分法，所以共有 C66C25个子集串；第二类，从 6 个元素中取出 5 个元素，共 C56种取法，然后将这 5 个元素分成三组共C24种分法，所以共有 C56C24个子集串；同理含 4 个元素的子集串数为 C46C23；含 3 个元素的子集串数为 C36C22.集合 M 的子集串共 C66C25C56C24C46C23C36C22111 个答案：(1)D(2)D(3)360(4)111方法思想分类讨论思想求解排列、组合问题(2014高考重庆卷)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和1 个相声类节目

16、的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72B120C144D168解析解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类 A33，然后利用插空法将剩余3 个节目排入左边或右边 3 个空，故不同排法有 A332A3372.第二类也分两步，先排歌舞类A33，然后将剩余 3 个节目放入中间两空排法有 C12A22A22，故不同的排法有 A33A22A22C1248，故共有 120 种不同排法，故选 B.答案B名师点评对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程分类本题在排歌舞类节目后再进行分类，把剩余 3 个节目插入两个空还是三个空1.航空母舰“辽宁舰”在

17、某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A12 种B16 种C24 种D36 种解析：选 D.当甲排在边上时，有 2A3312 种方法；当甲不排在边上时，有 12A2224 种方法，这样一共有 122436 种不同的着舰方法2(2014高考浙江卷)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：把 8 张奖券分 4 组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四

18、组，分给 4 人有 A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有 C23种分法，再分给 4 人有 C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为 A44C23A24243660.答案：601数列an共有六项，其中四项为 1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列an共有()A30 个B31 个C60 个D61 个解析： 选 A.在数列的六项中， 只要考虑两个非 1 的项的位置， 即得不同数列， 共有 A2630 个不同的数列2(2015昆明市第一次摸底)从 4 部甲型和 5 部乙型手机中任意取出 3 部，其中至少要有甲型与乙型手机各 1 部，则不同取法共有()A35 种B70

19、 种C84 种D140 种解析：选 B.由题知不同取法有 C14C25C24C1570 种3(2015陕西西安检测)某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法的种数是()A15B45C60D75解析：选 C.从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是 C24C2690.重点项目 A 和一般项目 B 都没有被选中的选法种数是 C23C2530，故重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 903060.4(2015福建三明调研)

20、将 A，B，C，D，E 排成一列，要求 A，B，C 在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A12 种B20 种C40 种D60 种解析：选 C.(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为 A55，由于要求 A，B，C 的次序一定(按 A，B，C 或 C，B，A)，故除以这三个元素的全排列 A33，可得A55A33240.5身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为()A24B28C36D48解析：选 D.穿红色衣服的人相邻的排法有 C14A22A3348 种，同理穿黄色

21、衣服的人相邻的排法也有 48 种而红色、黄色同时相邻的有 A22A22A3324 种故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有 A552482448 种6C5nnC9nn1_解析：由组合数的定义得05nn09nn1，解之得 4n5，nN*，n4 或 n5.当 n4 时，原式C14C555，当 n5 时，原式C05C4616.答案：5 或 167(2015潍坊检测)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为_(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有 2 种排法；第二步：将两个小

22、孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有 A33种排法；第三步：将两个小孩排序有 2 种排法故总的排法有 22A3324(种)答案：248(2015江苏扬州中学检测)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数” 比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字 1，2，3，4，5 这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为_解析：三位“驼峰数”中 1 在十位的有 A24个，2 在十位的有 A23个，3 在十位上的有A22个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为 121622330.答案：309男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1

23、名，选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2)至少有 1 名女运动员解：(1)任选 3 名男运动员，方法数为 C36，再选 2 名女运动员，方法数为 C24，共有 C36C24120(种)方法(2)法一：至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46C24C36C34C26C44C16246(种)法二：“至少有 1 名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有 C510C56246(种)10从 1 到 9 的 9

24、个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C34种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，有 C45种情况；第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A77种情况所以符合题意的七位数有 C34C45A77100 800(个)(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34C45A55A3314 400(个)(3)上述七位数中， 3 个偶数排在一起， 4 个奇数也排在一起的有 C

25、34C45A33A44A225 760(个)15 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A150 种B180 种C200 种D280 种解析：选 A.依题意 5 个人分配到 3 个学校且每校至少去一个人，因此可将 5 人按人数分成 1，2，2 与 1，1，3 两种，当人数是 1，2，2 时，有C15C24C22A22A3390(种)当人数是 1，1，3 时，则有C15C14C33A22A3360(种)，因此共有 9060150(种)2(2015浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数，其和小于 100，则由这三个数构成的不同的等差数列共有()A528

26、 个B1 056 个C1 584 个D4 851 个解析：选 B.先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项设这三个成等差数列的数分别为 a，b，c.由题意得 abc100，即 3b100，得 b 可以取 2，3，33，共 32 个数第一类，b2 时，a，c 的取值共有 2 个(a1，c3 和 a3，c1，对应的是两个数列)；第二类，b3 时，a，c 的取值共有 4 个；第三十二类，b33 时，a，c 的取值共有 64 个根据分类加法计数原理，可得满足题意的数列共有 24641 056 个3甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析：3 个人各站一级台阶有 A37210(种)站