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文档简介

1、图表形式数列题分类解析一、三角形式的图表例1 如图1所示是一个类似“杨辉三角”的图形,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n1行与之相邻的两个数的和. an,1,an,2,.an,n(n=1,2,3,.)分别表示第n行的第一个数,第二个数,第n 个数.求an,2(n2且nN)的通项公式. 数列.于是有123474723451114115.解 由图1知a2,2=2,a3,2=4,a4,2=7,a5,2=11,.,从而可知an,2是一阶等差a3,2-a2,2=2.(1)a4,2-a3,2=3.(2)a5,2-a4,2=4.(3).an,2-a(n-1),2=

2、n-1.(n-1)将以上n-1个等式对应相加,有an,2-a2,2=2+3+4+.+(n-1)=即an,2n2-n+2=(n2且nN)2(n+1)(n-2)(n+1)(n-2)an,2=+222例2 如图2所示,把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形,并且在每个小正三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两个相邻的小正三角形组成的菱形的两组相对顶点上的实数的乘积相等.设点A为第一行,BC为第n行.记点A上的数为a11,第i行中的第j个数为aij (1ji).已知a11=1, a21=11, a22= 24(1)求a31, a32, a33;(2)试归纳出第n行中的第m个数anm的表达式(

3、用含n,m的式子表示,不必证明);1114n-1(3)记Sn=an1+an2+ +ann,证明: n+ +.S1S2Sn3解 (1)a11a32=a21a22,a32=.81a22a31=a21a32,a31=.41. 16111. a31=,a32=,a33=4816111(2)由a11=1,a21=,a31=.可归纳出a11,a21,a31, ,an1是公比为的等比数列.2421故an1=n-1. 211111.可归纳出an1,an2,an3, ,ann是公由a21=,a22=;a31=,a32=,a33=2448161比为的等比数列. 2111故anm=n-1m-1,即anm=n+m-2

4、. 22211()n-11-()n11(3)由(2)知Sn=()n-21-()n, 1221-21n-1111,()n1-()n, ()2221n-21n1n-21n1()=2n-2. ()1-()()222221n-21n1n1n1n1n21又()1-()=4()1-()()+1-()=1,122n-2. 222222Sna21a33=a22a32,a33=1114n-1n+ +. S1S2Sn3小结 求解这类题目的关键是仔细观察各行的项与行列式的对应关系,通常需转化成等差数列或等比数列并结合求和方法进行求解.二、矩形形式的图表示十进制中最大的数是 .解 由已知有1=120,2=020+12

5、1,3=120+121,4=020+021+122,5=120+021+122,6=020+121+122,进而知7=120+121+122写成二进制为:111于是知二进制为06位数时能表示十进制中最大的数是1234526-1111111化成十进制为:12+12+12+12+12+12=63. 2-1小结 通过阅读,将陌生的问题熟悉化,然后找到解决的方法,即转化成等比数列来进行求解.三、矩阵形式的图表例4 下表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数 (1)写出a45的值; (2)写出aij的计算公式;(3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+

6、1可以分解成两个不是1的正整数之积.解 (1)按第一行依次可知a13=10,a14=13,a15=16;按第2行依次可知a23=17,a24=22,a25=27;最后,按第列可知a35=38,a45=49.(2)由于该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列,所以它的通项公式为a1j=4+3(j-1),而第2行是首项为7,公差为5的等差数列,于是它的通项公式为第i行是首项为4+3(i-1),公差为2i+1的等差数列,a2j=7+5(j-1)通过递推易知,故有aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=i(2j+1)+j.(3)(必要性)若正整数N在该等差数阵中,则存在正整数i,j,

7、使得N=i(2j+1)+j从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1),这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积(充分性)若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数k,l,使得2N+1=(2k+1)(2l+1),从而N=k(2l+1)+l=akl.由此可见,正整数N在该等差数阵中综上所述,正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.小结 求解这类题目的关键是熟练掌握等差数列和等比数列的性质,根据图表所给的信息寻找规律进行求解.四、回旋形式的图表例5 如图3,一粒子在

8、区域(x,y)|x0,y0上运动,在第一秒内它从原点运动到点B1(0,1),接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动,且每秒移动一个单位长度. (1)设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时,所经过的时间分别为an、bn、cn,试写出an、bn、cn的通项公式;(2)求粒子从原点运动到点P(16,44)所需的时间; (3)已知粒子从原点开始运动,求它经过2004秒后所处的坐标.解 (1)由图3可设A1(1,0),A2(2,0), ,An(n,0),当粒子从原点到达An时,有 a1=3,a2=a1+1,a3=a1+12=a1+34,a4=a3+1,a5=a3+20=a3+54,a6=a5

9、+1,,a2n-1=a2n-3+(2n-1)4,a2n=a2n-1+1,a2n-1=a1+43+5+ +(2n-1)4n2-1,a2n=a2n-1+1=4n2.b2n-1=a2n-1-2(2n-1)=4n2-4n+1,b2n=a2n+22n=4n2+4n c2n-1=b2n-1+(2n-1)=4n2-2n=(2n-1)2+(2n-1)c2n=a2n+2n=4n2+2n=(2n)2+(2n).故c2n=n+n.(2)由图3可知,粒子从原点运动到点P(16,44)所需的时间是到达点C44所用的时间C44再加上(4416)28秒,所以t=442+44+28=2008秒.(3)由c-1n=n2+n20

10、04,解得1n2.取最大值n=44,经计算,得C4419802004,从而可知粒子从原点开始运动,经过1980秒后到达点C44,再向左运行24秒后到达的点的坐标为(20,44).小结 从起始项入手,逐步展开解题思维.由特殊到一般,探索出数列的递推关系式,这是解答数列问题的一般方法,也是历年高考命题的热点所在.五、几何计数形式的图表例6 如图3,第n个图形由n+2边形“扩展”而来的.记第n个图形的顶点数为an(n=1,2,3,.,则a2005解 (方法一)由图3易知,a1=12=34,a2=20=45,a3=442=67,从而知an=(n+2)(n+3)(n=1,2,3.)a2005=20072

11、008=4030056.(方法二)由于第n个图形是由n+2边形“扩展”而来的,这个图形共由n+3个n+2边形组成,而每个n+2边形共有n+2个顶点,故第n个图形的顶点数为. an=(n+2)(n+3)(n=1,2,3.,.a)2005=2007200=8403005小结 求解几何计数形式的数列题通常采用“归纳猜想证明”的解题思路.【自测题】1.把“杨辉三角”向左对齐如图4所示,分别按图中虚线由上至下把划到的数相加,写在虚线左下端点(左边竖线的左侧)处,将这些和由上至下排列得到一个数列an.(1)观察数列an,写出一个你能发现的递推公式(不必证明);(2)设(an+2-Aan+1)=B(an+1

12、-Aan),求A,B的值,并求an.2.n个连续自然数按规律排列,如右表所示. 根据规律,从2002到2004的箭头的方向依次为 0 34 78 11 12 56 910A. B. C. D.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按图5的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖 块.4.将棱长相等的正方体按如图6所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,则第2005层正方体的个数为A.4011 B.4009 C.2011015 D.200901015.把数列的所有数按照从大到小,左大右小的原则写成2n-11113511117911131111 15171929如右表所示的数表.已知

13、第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(8,17)= .6.如图7所示,一个粒子在第一象限内运动,在第一秒内,它从原点运动到(0,1),接着它按如图7所示的x轴、y轴的平行方向来回运动,(即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(2,0),且每秒移动一个单位,那么粒子运动到(3,0)点时经过了 秒,2000秒时这个粒子所处的位置为 .7.已知杨辉三角如图8所示.11 11 2 11 3 3 1 将第4行的第1个数乘以1,第2个数乘以2,第3个数乘以4,第4个数乘以8后,这一行的所有数字之和等于 (用数字作答);若等比数列an的首项是a1,公比是q(q1),将

14、杨辉三角的第n+1行的第1个数乘以a1,第2个数乘以a2,第n+1个数乘以an+1后,这一行的所有数字之和等于 (用a1,q,n表示).8.已知OBC的顶点坐标分别为(0,0),(1,0),(0,2),设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP都有1的中点,P1P2的中点.对于每一个正整数n,4为线段PPn+3为线段PnPn+1的中点,Pn的坐标为(xn,yn),设an=(1)求a1,a2,a3的值;(2)猜测an的值,并加以证明;(3)证明:yn+4=1-1yn+yn+1+yn+2. 2yn; 4(4)若记bn=y4n+4-y4n,证明:数列bn是等比数列.【参考答案】1.(1)a1 = a2 = 1, an+2 = a n +1 + an. (2)A=1+1-1-51+1+n1-5n1,B=或A=,B=;an=() (). 22222251. 6.15 (24,44). 7.27 a1(1+q)n. 2871338.(1)由于y1=1,y2=1,y3=,y4=1,y5=,y6=,则有 244111113a1=+1+=2,a2=+1=2,a3=+1+=2. 2222442.B. 3.4n+2. 4.C. 5.(2)an+1=y+yn+1111yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+n=yn+

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