第3课时函数的单调性

1、第3课时函数的单调性 函数单调性的概念是函数性质中最重要的概念，仍将会是2016年高考的重点，特别要注意函数单调性的应用. 理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值. 能利用函数的单调性解决其他一些综合问题 常见题型有：a.求函数的单调区间；b.用定义判断函数在所给区间上的单调性；c.强化应用单调性解题的意识，如比较式子大小，求函数最值，已知函数的单调性求参数的取值范围等1. (必修1P44习题2(1)改编)设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则a的范围为_2. (必修

2、1P44习题2改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调增函数的是_(填序号) y13x； y； yx21； y|x1|.3. (必修1P44习题4改编)函数yf(x)是定义在2，2上的单调减函数，且f(a1)<f(2a)，则实数a的取值范围是_4. 函数f(x)的最大值是_1. 增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数(如图1所示)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有

3、f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数(如图2所示) 2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)3. 判断函数单调性的方法(1) 定义法：利用定义严格判断(2) 利用函数的运算性质如若f(x)、g(x)为增函数，则： f(x)g(x)为增函数； 为减函数(f(x)>0)； 为增函数(f(x)0)； f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)； f(x)为减函数题型1 函数单调性的判断例1 判断函数f(x) (a0)在区间(1，1

4、)上的单调性判断函数的单调性并证明。题型2 求函数的单调区间例2求函数的单调区间。作出函数f(x)|x21|x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间题型3 已知函数的单调性求参数的值或范围例3 已知函数f2x，x(0，1(1) 当a1时，求函数yf(x)的值域；(2) 若函数yf(x)在x(0，1上是减函数，求实数a的取值范围函数f(x)(a为常数)在(2，2)内为增函数，求实数a的取值范围题型4 函数的单调性与最值例4 已知函数f(x)，x1，)(1) 当a时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x1，)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围当堂反馈：1. 已知函数f(x)则满足不等式f(

5、1x2)>f(2x)的x的范围是_2. 若f(x)x22ax与g(x)在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是_3. 函数f(x)的定义域为D，若满足 f(x)在D内是单调函数， 存在a，bD，使f(x)在a，b上的值域为a，b，那么yf(x)叫做闭函数，现有f(x)k是闭函数，那么k的取值范围是_4. 若函数f(x)x2|xa|b在区间(，0上为减函数，则实数a的取值范围是_5. 设f(x)是定义在(0，)上的增函数， f(2)1，且 f(xy)f(x)f(y)，求满足不等式 f(x)f(x3)2的x的取值范围第4课时函数的奇偶性及周期性 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，

6、命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等. 了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性. 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题. 了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题1. (必修1P45习题8改编)函数f(x)mx2(2m1)x1是偶函数，则实数m_2. 已知函数yf(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0，1)时，f(x)x21，则f的值是_3. 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_4. (必修1P43练习4)对于定义在

7、R上的函数f(x)，给出下列说法： 若f(x)是偶函数，则f(2)f(2)； 若f(2)f(2)，则函数f(x)是偶函数； 若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数； 若f(2)f(2)，则函数f(x)不是奇函数其中，正确的说法是_(填序号)5. 已知定义在R上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若f(3a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是_1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2. 判断函数

8、的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1) 考查定义域是否关于原点对称(2) 根据定义域考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数若存在x使f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数yf(x)与ykf(x)的单调性与k(k0)有关(2) 注意函数yf(x)与y的

9、单调性之间的关系(3) 奇函数在a，b和b，a上有相同的单调性(4) 偶函数在a，b和b，a上有相反的单调性5. 函数的周期性设函数yf(x)，xD，如果存在非零常数T，使得对任意xD，都有f(xT)f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期(D为定义域)题型1 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)；(2) f(x)(x1)；(3) f(x).变式训练：判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)|x2|x2|；(2) f(x)题型2 函数奇偶性的应用例2 (1) 设aR，f(x)(xR)，试确定a的值，使f(x)为奇函数；(2) 设函数f(x)是定义

10、在(1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a2)f(4a2)<0，求实数a的取值范围(1) 已知函数f(x)是奇函数，求ab的值；(2) 已知奇函数f(x)的定义域为2，2，且在区间2，0内递减，若f(1m)f(1m2)<0，求实数m的取值范围题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用例3 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x2，4时，求f(x)的解析式当堂反馈1：1. (2015·苏北四市一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)log2(2x)，则f(0)f(2)的值为_2. (2015·南师附中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_3. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)·f(x)1对于xR恒成立，且f(x)>0，则f(119)_当堂反馈2：1. 已知函数f(x)(a、b、cZ)是奇函数，又f(1)2，f(2)<3，则abc的值