折叠问题与二次函数

1、几何专题折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。题型一：根据折叠的性质求角度例1如图1，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF，若ABE20°，那么EFC的度数为 度例2 （2011山东泰安）如图2，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则ACD= 。例3 （2009湖北省荆门市

2、）如图3，RtABC中，ACB=90°，A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则（ ）图3A、40° B、30° C、20° D、10° 图1 图2 总结：（1）注意折叠前后的对应角相等；（2）注意折叠图形本身的性质。题型二：根据折叠的性质求线段长度例4 （2012武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A、7 B、8 C、9 D、10例5 （2012遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到

3、GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A、 B、 C、 D、例6 （2009年日照市）将三角形纸片（ABC）按如图9所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 图4 图5 图6总结：注意勾股定理和三角形相似与折叠问题的结合。随堂练习一1、（07山东东营）如图1，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于 （）A、 B、 C、 D、 2、（2009年衢州）如图2，在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9

4、，AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为（ ）A、9.5 B、10.5 C、11 D、15.53、（2012资阳）如图3，在ABC中，C=90°，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MNAB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（）A、BCDABCDEF图1 图2图34、（2009东营）如图4，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB65°，则AED等于 （ ） A、70° B、65° C、50° D、25° 5、(20

5、09年上海市)如图5，在中，为边上的点，联结（如图所示）如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 6、（2009仙桃）如图6，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30°，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处则BC的长为 。EDBCFCDA ABMC 图4 图5 图67、（2012上海）如图，在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为 题型三：折叠的综合应用例7如图：在中，是边上的中线，将沿

6、边所在的直线折叠，使点落在点处，得四边形 ECBAD（1）求证：（2）若BAC=30°，试证明四边形ABCE是等腰梯形。例8如图，在平面直角坐标系中，直线y xb与x轴、y轴分别交于A、B两点，且B点的坐标为（0，8），直线AC交线段OB于点C（0，n）（1）过C点作CDAB于D点，CDm，求m与n的函数关系式；（2）将AOC沿着AC翻折，使点O落在AB上求点C的坐标；P是直线AC上的点，在x轴上方的平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由OxyAB总结：（1）证明要注意书写格式的规范；（2）综合题要注意各小问之间的联系

7、。随堂练习二1、如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D、C的位置，若EFB65°，则AED等于（ ）A、50° B、55° C、60° D、65°2、如图2，把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的 点处，若，则矩形的边长为（）A、B、C、D、3、如图3，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为若，则等于（） 图3A、 B、 C、 D、AEPDGHFBACD 图2 4、在梯形纸片中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结（1）求证：四边形是菱形；（2）若，试判断四边形的形状，并加以证明5、在

8、平面直角坐标系中，直线y kxm（ k ）经过点A（2，4），与y轴相交于点C，点B坐标为（0，7）记ABC的面积为S（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）当S取得最大值时，将ABC沿AC翻折得到ABC，求点B 的坐标课后作业（周六）1、（2012达州）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为 .2、(2012丽水)如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC50°BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则CEF的度数是 3、（2012德州）如图所示，现有一张边长为4的

9、正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；二次函数复习基础过关1、将二次函数yx22x3，化为y(xh)2k的形式，结果为（ ）A、y(x1)24 B、y(x1)24C、y(x1)22 D、y(x1)222、抛物线的顶点坐标是（ ）A、（2，3） B、（2，3） C、（2，3） D、（2，3）3、（2010年贵州毕节）把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单

10、位，所得图象的解析式为y=x3x5，则（ ）A、b=3，c=7B、b=6，c=3 C、b=9，c=5D、b=9，c=214、已知抛物线，请回答以下问题：（1）它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；（2）图像与轴的交点为 ，与轴的交点为 。5、如图所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则ABC的面积为 6、（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（）A、 B、3 C、 D、97、已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）（1）求点C的坐标；（2）求

11、过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；二次函数综合题型类型一：与面积相等有关的综合题例1如图，抛物线yax 2bxc经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；yxOCABMP（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若

12、不存在，说明理由总结：在求面积的表达式是，一般选取坐标轴或者与坐标轴平行的直线作底。强化练习1、如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2,0），B（1, 3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标xyCB_D_AO2、如图已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+

13、3上有一点P，使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由类型二：最大面积问题例2如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t0）（1）当t=3秒时直接写出点N的坐标，并求出经过O

14、、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，MNA是一个等腰三角形？总结：建立函数关系的两种方法：（1）面积公式；（2）三角形相似。强化练习1、如图，抛物线y=ax2-x-2(a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标2、如图，半径为2的C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（

15、1，0）若抛物线过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBO=POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求S的最大（小）值课后作业（周日）1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQO与AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由2、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴