对Lagrange中值定理的应用研究1

1、1引言12LAGRANGE中值定理1Lagrange中值定理1Lagrange中值定理的几何意义1Lagrange中值定理的等价表示形式33判定方程根的存在性34研究函数在区间上的性态45证明不等式66证明恒等式（也包括函数为常数函数的证明）87证明重要定理108求极限129总结13参考文献14致谢15对Lagrange中值定理的应用研究数学系本15班 高林丽指导老师：王芳摘 要：本文根据Lagrange中值定理的特点，通过实例来说明了Lagrange中值定理在判定方程根的存在性、函数在区间上的性态、证明等式和不等式、证明重要定理、求函数的极限等方面的应用，克服了用常规方法求极限、证明不等式的

2、局限性，且相对简便。关键词：Lagrange中值定理，根的存在性，区间，等式，不等式，微积分基本公式，LHosPital法则，极限。Lagrange mean value theorem of the Applied ResearchGao LinliClasses 15, Mathematics Department Tutor: Wang FangAbstract：In this paper, Lagrange mean value theorem in accordance with the characteristics of clear examples for the Lagran

3、ge mean value theorem in the determination of the existence of the root equation, function in the range of the state, proof of identity and inequality, and the limit function to prove important theorems, etc. applications, to overcome the limits of conventional methods of seeking to prove that the l

4、imitations of inequality, and relatively simple.Key words:Lagrange mean value theorem; the existence of the root;interval;equation;inequality；the basic formula for calculus；L'HosPital rules ;limit.1引言Lagrange中值定理是微分学中最重要的定理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁是应用函数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，也是微分学的理论基础Lagrange中值定理是微分学中的重要内

5、容，在判定根的存在性、函数在区间上的性态、不等式和等式的证明、证明重要定理、求函数的极限等方面做些研究。为了能够更深刻的理解它的内涵，我们就通过大量的实例来研究Lagrange中值定理在微分学中的一些常见的应用。2Lagrange中值定理函数在某一点的导数反映函数局部的性质，但却常常需要讨论函数在整体的性质，尤其需要从函数的导数所给出的局部性质推出其整体的性质。已学过的微分，是通过自变量的改变量与始点处的导数值来表达函数改变量的近似值的： 但这仅仅是个近似等式（一般说来，其误差只在时才趋向零），而且只在附近可用，因而不适用于解决所提出的问题。但却可以得到这样的准确等式，只要把上式中始点出的导数

6、值用与之间某点处的导数值来代替，即其理论根据就是Lagrange中值定理 ：Lagrange中值定理若函数满足下列条件：1） 在闭区间上连续；2） 在开区间内可导。则至少存在一点，使得:Lagrange中值定理的几何意义yBAPXbax图 拉格朗日中值定理的几何图形 如上图，拉格朗日中值定理是从几何意义出发，先求出与 的割线斜率，又曲线在是一条连续曲线，每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点，过点的切线平行于割线。构造辅助函数满足罗尔定理的条件，从而可证。 这个方法的关键是在构造辅助函数上，此辅助函数不是很容易就能想到的，下面将给出更易理解、更简单的证明以供大家参考。分析：首先由定理结论知则可

7、求 从而可构造辅助函数 证明：先构造辅助函数 由题设可知， 在连续，在可导，且由罗尔定理知，在连续，在内可导，且， 则至少存在一点，使，从而可证得：Lagrange中值定理的等价表示形式Lagrange中值定理也称微分中值定理，它的另一种表示形式为：Lagrange中值定理主要叙述的是函数在区间上的增量与函数该区间上某点处的导数之间的关系，所以又称有限增量定理。因此在研究函数增量与导数的关系时，都可试用Lagrange中值定理。所以它在微分中有着较广泛的应用。 现举例说明Lagrange中值定理在以下几个方面的应用。3判定方程根的存在性从Lagrange中值定理的内容来说，它的特殊情况就是罗尔

8、定理，所以罗尔定理是Lagrange中值定理的一个特例。例1：证明：若 是常数，则方程在内至少有一个实根。证明：考虑函数当时，有 当时，有 根据罗尔定理，使即方程在内至少有一个实根 例2、设函数在上连续，且时，证明当时，方程在内有且仅有一个实根。证明：由 所以 在区间应用拉格朗日中值定理： 其中 又因为 ，由 知 又，但，由零点定理知，使又，故在上严格增加，所以方程在内有且仅有一个实根。 4研究函数在区间上的性态拉格朗日中值定理从理论上支持了用函数的一阶导数判定函数在某一区间的增减性，使导数的应用得以扩大，也说明中值定理起到了用导数的局部性来研究函数全局性的作用。例3、设在上一阶可微，且，在单

9、调递减，求证在内也单调递减。证明：因为 根据Lagrange中值定理的条件，有，其中所以可以得出： 即 ，将它代入式得： 故 在内也单调递减。例4、证明是的严格递增函数，而是的严格递减函数。证明：设 ，则有令，函数在区间上应用了拉格朗日中值定理，由此可得: 于是在上严格递增，这样，也是的严格递增函数。同理可证是的严格递减函数。设 ， 则有: 其中最后等式是对函数在区间上应用了拉格朗日中值定理由此可得: 于是在上严格递减，这样，也是的严格递减函数同理可证是的严格递减函数。5证明不等式若函数满足Lagrange中值定理的条件，则可得 ，由，可得到的一个取值范围,从而就有一个取值范围，相应地得到不等

10、式，这就是利用Lagrange中值定理证明不等式的依据。在使用Lagrange中值定理证明不等式时，首先应进行不等式的变形，使不等式的一边成为某个函数是某个区间上的函数增量与自变量增量之比，然后，对该函数在该区间上使用Lagrange中值定理。例5、证明当时，证明：设，则在区间上满足Lagrange中值定理的条件，因此 ， 使得: 即 而当时，有，所以 代入式即得： 例6、证明：若、都可微，且当时，则当时，证明：首先观察结论即 分别证明左右两个不等式即可。我们先证左不等式即 看起来上述不等式中只有函数，但题设条件中已经给出了导数关系，这仍然是函数与导数关系的证明，下面就利用Lagrange中值

11、定理来证明。先构造辅助函数 假设在连续，在内可导，由Lagrange中值定理，在区间内至少存在一点，使 又 当时，有 ，同时在内，即 亦即 从而 又 ， 即 ，由于即 当时，显然上述不等式中的等号成立，从而证明了不等式中的左面部分。同理，可设辅助函数，证明不等式的右面部分。假设在连续，在内可导，由Lagrange中值定理，在区间内至少存在一点，使 又 当时，,同时在内，有 即 亦即 从而 又 ， 即 当时，显然上述不等式中的等号成立，从而证明了不等式中的右部分。综上所述，可得结论。由以上两例可知，要用Lagrange中值定理证明不等式分两步，首先分析不等式，即对所给不等式变形，选取适当的函数和

12、区间，再用Lagrange中值定理，得到一个的等式；然后对等式进行适当的放大和缩小，去掉含有的值。6证明恒等式（也包括函数为常数函数的证明）利用Lagrange中值定理的推论：若函数在区间内的导数恒等于0，即，则 可以去证明一些恒等式。例7、若，求证 分析 在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式解得，的值可能为证明：设 ，则 即 又因为 所以 故即 例8、 若函数是上连续，在内二阶可导，则存在，使得： 分析：本题先构造辅助函数，然后再用 Lagrange中值定理来证明。证明：作辅助函数 于是 在上对应用拉格朗日中值定理，故存在， 使得： 再在上对应用拉格朗日中值定理， ，使得：7证明重要

13、定理例9、用Lagrange中值定理，证明LHosPital法则：设1）2）在点的某一领域内（点本身可以除外），及都存在，且3）存在（或为无穷大）则 证明：因为而当时的极限与及无关所以可以假设 作辅助函数，则由条件1)、2)知，在闭区间（或）上连续，在开区间（或）内可导，且，由罗尔定理知，在区间（或内至少存在一点，使）即 又在（或）上满足Lagrange中值定理的条件, 则，（介于与之间）, 又因为，所以 由式得： 令上式两端取极限, 且当时, 由条件3）可得出：因 即 例10、用Lagrange中值定理, 证明微积分基本公式。若是的一个原函数, 即，且在区间上连续, 那么 ，证明：用分点，将

14、区间分成,这个小区间,每个小区间的长度是.因是的一个原函数, 且在上连续, 所以在上连续, 在内可导, 根据Lagrange中值定理在每个小区间上一定存在一点, 使得： 那么, = = =从而所以8求极限例11、若函数在上可导，且有，是常数，则证明：任意一点，有 其中 已知 ，根据两边夹法则，有例12、求极限 解：令函数在上对变量运用Lagrange中值定理得： 所以9总结在开篇，我们就说过Lagrange中值定理是微分学中最主要的定理之一，为了能够更深刻的理解它的内涵，在开篇就给出了Lagrange中值定理的定义、几何意义及其它的等价表示形式，随后我们就通过大量的实例来研究Lagrange中

15、值定理在微分学中的一些常见的应用。从以上内容中可知，Lagrange中值定理在微分中有着非常广泛的应用。参考文献1 李荣冻. 数学分析习题集M. 北京:北京教育出版社, 2003.2 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京:高等教育出版社, 2003.3 刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义（第四版）M. 北京:高等教育出版社, 2003.4 钱吉林等. 数学分析题解精萃M. 武汉:崇文书局, 2003.5 何明伟,汪子莲. 浅谈Lagrange中值定理及应用J. 兰州工业高等专科学校学报, 2004, (04) :39-42.6 毕永青. 拉格朗日中值定理的简单证明与应用J. 河南教育学院学报(自然科学版), 2002, (03) :13-14.7 李占波. 应用拉格朗日中值定理解题方法探讨J. 渤海大学学报(自然科学版), 2004, (04) :365-366.致谢时光如梭，短暂而有意义的大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我几年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想起我的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！首