打印一份 离散型随机变量典型题

1、离散型随机变量典型题1有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记。（1）求的分布列；（2）求和。解：（1）可能取的值为0、1、2、4。 （2分） 且， （6分）所求的分布列为： 0124 （8分）（2）由（1）可知， （11分） （14分）2（本题满分14分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为. （1）分别求和的期望； （2）规定；若>，则甲获胜，若<，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率. 解的可能取值为0，1，

2、2，3则的分布列为0123则E的可能取值为0，1，2则的分布列为012则E=所以、的数学期望分别为、1（2）P(>)= P(<)=所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。3甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.484口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第

3、一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.（）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（）求随机变量的期望E。解（I）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、62分因为P（=2）=；P（=3）= P（=4）=；P（=5）=； P（=6）=；7分所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=最大8分（）E=12分5（本小题满分12分）A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜. （1）用x、y、z表示B胜

4、的概率； （2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：A1：“A、B均取红球”；A2：“A、B均取白球”；A3：“A、B均取黄球”.（2）由（1）知，于是，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为6某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则。（2）每位考生测试

5、合格的概率，测试不合格的概率为则，即， (3) 7袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.（）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；（）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。解（）当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为1，2，3，4，5，易知，故随机变量的概率分布列为：12345P .6分（）当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，所求概率分布为123nP8如图，一辆车要直行通过某十字路口，这时前方刚好由绿灯转为

6、红灯.该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率为，左转行驶的概率.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求：（1）前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率为多少？（2）该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）（3）假设每次由红灯转为绿灯的瞬间，所有排队等候的车辆都同时向前行驶，求该车在这十字路口候车时间的数学期望。 （1）（2）（3）设该车在十字路口停车等候时间为t，则时间 t的分布列为时间t(min)13概率P则停车时间的数学期

7、望为9某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.（）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次.求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望。 解：（）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即： 4 （）依题意有： 123456 410从分别写有的九张卡片中，任意抽取两张，计算：（）卡片上的数字都是奇数

8、的概率；（）当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中成功次数的数学期望。（）；（）一次试验成功的概率为，从而，故。11甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。（）求甲答对试题数的概率分布及数学期望。（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：（）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：01234分甲答对试题数的数学期望：4分（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为则理9分（文6分）甲、乙两人考试均不合格的概率为：甲、乙两人至少一个合格的概率为理文均

9、12分12一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是。（I）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（II）求这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率。 解：（1）这位司机在第一、第二个交通岗都未遇到红灯，第三个交通岗遇到了红灯 所以6分（II）这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率为 13分13学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x

10、）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人 (I)，3分即x=2 5分故文娱队共有5人7分(II) 的概率分布列为012P，9分，11分 =1 13分14一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数，其中A的各位数字中，出现0的概率为，出现1的概率为，例如：，其中，记。当启动仪器一次时，（1）求的概率；（2）求，且有3个1连排在一起其余无任2个1连排在一起的概率。解：（1）；（2）（注：分三类1110-；110-；10-）15如图A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的最大信息量分别为1、1、2、2、3、4，现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量；、设选取的三条网线由A到B可通过

11、的信息总量为x，当x6时，才能保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望。112234解： 即线路信息畅通的概率为6分信息总量x分布列x456789P线段同过信息量的数学期望为6.513分16某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.（1） 求一轮练习中运动员甲的投篮次数的分布列，并求出的期望E（结果保留两位有效数字）；（2） 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.解：(1)的可能取值为1，2，3，4，=1时，P（=1）=0.7=2时，P（=2）=0.7(1

12、-0.7)=0.21;=3时，P（=3）=0.7(1-0.7)2=0.063=4时，P（=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.的分布为1234P0.70.210.0630.027E=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4(2)P(3)=P(=3)+P(=4)=0.063+0027=0.0917、 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为，且的数学期望E=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值. (1)

13、求s的值及的分布列， (2)求的数学期望.解:(1)依题意知B(2，s)，故E=2s=， s= 2分 的取值可以是0，1，2.1、 乙两人命中10环的次数均为0次的概率是，1、 乙两人命中10环的次数均为1次的概率是，1、 乙两人命中10环的次数均为2次的概率是，(=0)= 6分甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是，甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是(=2)=， (=1)=1(=0)(=2)=10分故的分布列是01212分（2）E= 14分18一位学生每天骑自行车上学, 从他家到学校有5个交通岗, 假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的, 且首末两个交

14、通岗遇到红灯的概率均为p , 其余3个交通岗遇到红灯的概率均为.(1) 若, 求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;(2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过, 求p的取值范围.解: (1) 记该学生在第个交通岗遇到红灯, 答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为6分(2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A）或恰好遇到一次红灯（记为B）7分 9分11分又 所以p的取值范围是12分19一些零件中有10个合格品与3个次品，安装机器时，从这批零件中任取一个. 各个零件被抽到的可能性相同，如果每次取出的产品都不放回此批产品中，求：（）直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列和E；（）在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列和E. （精确到0.01）解：（）的取值为1，2，3，4 当