导数问题中的分类讨论

1、近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。（1） 求导（2） 令=0（3） 求出=0的根（4） 作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（5

2、） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论） 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述题型一：单调性的讨论例1.已知函数,求函数的单调区间； 例2.已知函数，讨论在定义域上的单调性。例3.若函数（a0），求函数的单调区间。例4.（2010北京） 已知函数()=In(1+)-+ (0)。求()的单调区间。例5.（2009北京理改编）设函数，求函数的单调区间题型二：极值、最值的讨论例1.已知函数，.（）若曲线

3、在点处的切线垂直于直线，求的值；（）求函数在区间上的最小值.例2.已知函数()若在处的切线与直线平行,求的单调区间;()求在区间上的最小值.例3.已知函数.(I)求函数的单调区间;()当时,求函数在区间上的最小值.例4.已知函数在处取得极值.()求的值; ()求函数在上的最小值;()求证:对任意,都有. 例5若对任意的范围导数问题中分类讨论的方法近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而

4、且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。（6） 求导（7） 令=0（8） 求出=0的根（9） 作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（10） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论） 下面笔者结合若干例题对

5、上述的分类讨论方法作一一阐述题型一：单调性的讨论例1.已知函数,求函数的单调区间； 解：,若时，则>0在（1，）恒成立，所以的增区间（1，）.若，故当， 当时，所以a>0时的减区间为（），的增区间为. 例2.已知函数，讨论在定义域上的单调性。 解：由已知得， （1）当，时，恒成立，在上为增函数 （2）当，时， 1)时，在 上为减函数，在上为增函数， 2）当时，故在上为减函数，在，）上为增函数 综上，当时，在上为增函数; 当)时，在上为减函数，在上为增函数， 当a0时，在（0，上为减函数，在， ）上为增函数例3.若函数（a0），求函数的单调区间。解：令=0，即：（注意这里方程的类型需

6、要讨论）作出的图像，由图像可知在（0,2）上为减函数，在（2，+）上为增函数若由，得<0,>0作出的图像，由图像可知在综上所述：，在（0,2）上为减函数，在（2，+）上为增函数在例4.（2010北京） 已知函数()=In(1+)-+ (0)。求()的单调区间。解：令=0，即：（这里需要对方程的类型讨论）若k=0，则在（-1,0）上为增函数，在（0，+）上为减函数若k0,由得， （这里需要对两个根的大小进行讨论）若k=1，则，在（-1,）上为增函数若，则在或上为增函数 在上为减函数若，则在或上为增函数 在上为减函数综上所述：若k=0，在（-1,0）上为增函数，在（0，+）上为减函数若

7、，在或上为增函数 在上为减函数若k=1，在（-1,）上为增函数若，在或上为增函数 ,在上为减函数例5.（2009北京理改编）设函数，求函数的单调区间解：令，即（这里需要对方程的类型讨论）若，则，在上为增函数若k0则由得，(这里需要对的斜率讨论)若k>0则在上为减函数，在上为增函数 若k<0，则在上为增函数，在上为减函数 综上所述：若k=0，在上为增函数若k>0则在上为减函数，在上为增函数 若k<0，则在上为增函数，在上为减函数题型二：极值、最值的讨论例1.已知函数，.（）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（）求函数在区间上的最小值.解:（）直线的斜率为1.函数的导数

8、为，则，所以. 5分（），.当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为.综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为.13分例2.已知函数()若在处的切线与直线平行,求的单调区间;()求在区间上的最小值.【答案】解:(I)的定义域为由在处的切线与直线平行,则此时令与的情况如下:()10+所以,的单调递减区间是(),单调递增区间是(II)由由

9、及定义域为,令若在上,在上单调递增,; 若在上,单调递减;在上,单调递增,因此在上,; 若在上,在上单调递减, 综上,当时,当时,当时,例3.已知函数.(I)求函数的单调区间;()当时,求函数在区间上的最小值.【答案】解:定义域为R()当时,则的单调增区间为当时,解得, ,解得, ,则的单调增区间为,的单调减区间为当时,解得, ,解得, ,则的单调增区间为,的单调减区间为() 当时, 即 当时, 在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间-2,0上的最小值为 当时, 即 当时, 在上是增函数,则函数在区间-2,0上的最小值为综上: 当时, 在区间-2,0上最小值为当时, 在区间-2,0上最小值为例4.已知函数在处取得极值.()求的值; ()求函数在上的最小值;()求证:对任意,都有. 【答案】()由已知得即解得:当时,在处函数取得极小值,所以(), .-0+减增所以函数在递减,在递增 当时,在单调递增,当时,在单调递减,在单调递增,. 当时, 在单调递减,综上 在上的最小值()由(