平行四边形未知点的确定

1、一 引入：1平行四边形的特征2注意点：判断题目中的四边形是不是确定，若给出的四边形确定则无需分类讨论二 新课1已知三点在图形上确定第四点方法：分别将三条线段作为对角线，若无需写出过程则直接用中点坐标公式进行求解，若需写出证明过程可用几何方法求解（三角形全等、三角形相似、勾股定理、点的对称，平移等）例题1：（2013湘潭）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx2的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，

2、是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由2. 已知两点，在直线和抛物线上寻找第三、第四点构造平行四边形（1） 两点在直线同侧时方法：平移一边寻找第三、第四两点当已知的两点构造的直线与坐标轴垂直时，利用点的坐标求出线段长，再根据线段长相等求解（与x轴垂直时，用上面的点减去下面的点，与y轴垂直时，用右面的点减去左面的点）例题2：如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形M

3、NCB为平行四边形，求点M的坐标当已知的两点构造的直线与坐标轴不垂直时，利用中点坐标公式构造等式，进而组成二元一次方程组，或未知点的纵坐标与已知点纵坐标的关系例3（2012山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小

4、，求出M点的坐标（2） 两点在直线异侧时，分别将直线当成边和对角线进行分类讨论 如例4如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。（1） 求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。三 练习题类型一：已知三个定点、一个动点的平行四边形存在性问题1.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的

5、对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由2、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNNxy

6、BCOAMN备用图类型2 已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）3已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线4如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在

7、B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由例题答案：例题1考点：二次函数综合题分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形AOBCDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的

8、表达式；根据SCEF=SABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出PACB，然后证明点P在抛物线上即可解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90°OBA+OAB=90°，OAB+CAD=90°，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB与CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=×9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线

9、BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，CE边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=×，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合题意，舍去），当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在如答图2所示，过点C作CGy轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1过点A作APBC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行

10、四边形过点P作PHx轴于点H，则易证PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）抛物线解析式为：y=x2x2，当x=2时，y=1，即点P在抛物线上存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，1）点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算例题2：满分解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入yx2bxc，得解得，c1所以抛物线的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以OB5如图2，过点A作AHOB，垂足为H在RtAOH

11、中，OA1，所以 图2所以， 在RtABH中，（3）直线AB的解析式为设点M的坐标为，点N的坐标为，那么当四边形MNCB是平行四边形时，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如图5）所以符合题意的点M有4个：，图5例题3解答：解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x

12、1=1，x2=3点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2

13、（1+，3），Q3（1，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线B'D的解析式为：y=x+，联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）例题4解：（1）由

14、题意得解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形，则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0）， AC=，CD=，AD=，由AC2+CD2=AD2，所以ACD为直角三角形；（3）3，若AB为一边，则EF平行且等于AB等于4，则E、F的纵坐标相等，设F(X1,Y1)，则X1=-5 Y1=12或X1=3 Y1=12，若AB为对角线，则EF也为对角线，因E在对称轴上，根据平行四边形的性质，对角线平分，所以只有顶点D符合。因此F点为（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）练习题答案1.解：对称轴是直线：，点B的坐标是(3,

15、0) 2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b3分当时，4分5分存在6分理由：如图，连接AC、BC设点M的坐标为当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x±4点M的坐标为9分说明：少求一个点的坐标扣1分当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90°四边形AMBC是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312点M的坐标为 12分说

16、明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为说明：综上所述不写不扣分；如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。2.（1）.4分直线AM y= -X+a 与直线解方程组的得N坐标（2）由题意得点与点关于轴对称，将的坐标代入得，（不合题意，舍去），.2分，点到轴的距离为3.，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为.2分（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去

17、）， .2分当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），2分存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形3.解：（1）对称轴1分又OC=3OB=3，C（0，3）2分方法一：把B(1,0)、C(0，3)代入得： 解得：4分方法二：B（1，0），A(-4，0)可令 把C(0，-3)代入得：4分（2）方法一：过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M、N。 5分A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为代入求得：6分令，7分当时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值。8分方法二：过点D作DQy轴于Q，过点C作

18、x轴交抛物线于，从图象中可判断当D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则=5分令则7分当时，四边形ABCD面积有最大值。8分（3）如图所示，讨论：过点C作x轴交抛物线于点，过点作AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，9分C(0，-3)令得： 。14分4、（1）令y=0，解得或（1分）A（-1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）（1分）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分） E（1分）P点在E点的上方，PE=（2分）当时，PE的最大值=（1分）（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时：当AF为平行四边形的对角线时：详解题意得A(-1,0) B(3,0) C(2,-3) G(x,x²-2x-3) F(a,0)(1)AC AF都是边. 四边形ACGF, 则CGAF,则x²-2x-3=-3,得x