平面向量教(学)案

1、教师阎伟清学生上课时间学科高中数学年级教材版本课题平面向量教学1、向量的综合应用。重点 教学 难点,有二个要素：大小、方向2、用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化1、向量的综合应用。2、用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化根本知识回忆：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量2. 向量的表示方法: 用有向线段表示AB (几何表示法)； 用字母a、b等表示(字母表示法)； 平面向量的坐标表示坐标表示法：分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量、j作为基底。任作一个向量 a，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得a xf yj，(x, y)叫做向量a的直角坐标，记作 a

2、(x, y)， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i (1,0)， j (0,1)，0 (0,0)。la Vx2尹；假设 A(X1,yJ，那么 ABx?y ab| J7芫k3. 零向量、单位向量：教学 、"过程 长度为0的向量叫零向量，记为 0 ;a长度为1个单位长度的向量，叫单位向量注：吕就是单位向量|a|4. 平行向量： 方向一样或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a / b / c.共线向量与平行向量关系：平行向 量就是共线向量.、宀0, b与a同向一 _ -方向-一 一性质：a/b (b 0) a b (是

3、唯一0, b与a反向长度-|a| |畅a/b (b 0)x2 X2% 0 其中 a (%$), b (x?,y?)5. 相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量垂直向量两向量的夹角为一2性质：a b ab 0a bX1X2 y2 0 其中 a (为，), b (x2,y2)6. 向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么。 平行四边形法那么：AC aDB a三角形法那么b起点一样的两向量相加，常要构造平行四边形b加法首尾相连减法终点相连,方向指向被减数加法法那么的推广：ABn AB, B1B2 Bn 1 Bn即n个向量

4、a1, a2,an首尾相连成一个封闭图形，那么有a1 a2 an 0向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b = a +( b)；OA= a, OB=b ,那么 BA=a b差向量的意义: 平面向量的坐标运算：假设a (X| ,y1)， b (x2, y2)，那么a b(x1 x2, % y2)，1«"*-a b (xi X2, yi y2)， a ( x, y)。r!-d,aq. 向量加法的交换律:a + b = b +a ；向量加法的结合律：(a + b) +c = a+ (b + c) 常用结论： 1 1假设AD (AB AC)，那么D是AB的中点

5、22或6是厶ABC的重心，那么 GA GB GC 07. 向量的模：1、定义：向量的大小，记为 | a|或| AB |2、模的求法:假设 a (x, y)，那么 | a|：x2 y2假设 A% yj, B(X22),那么 | AB |(X2 xj2 (y? yj23、性质：1|a|2 a ； |a | b (b 0)|a|2 b2 实数与向量的转化关系2a b|5|2 |bf，反之不然3三角不等式：|5|b| |a b| |a|b|4|b| |a|b| 当且仅当a,b共线时取“=即当a,b同向时，a*b |a|b|； 即当a,b同反向时，ab |a|b|5平行四边形四条边的平方和等于其对角线的

6、平方和，即 2| a|2 2| b|2 |a b|2 G b|2&实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a1| 入 a|=| 入 | a| ;运算定律»2入0时入a与a方向一样；入0时入a与a方向相反；入=0时入a = 0 ；入交换律：a*bb*a;分配律：(aap b-c( a) b =(a b)= a ( b);不满足结合律：即(a*b)*c a(bc)向量没有除法运算。如:ab cb2ac , a'ba都是错误的b4两个非零向量a,b，它们的夹角为，那么a 叱=| a |b | cos坐标运算：a (为，yj, b (x2, y2)，那么 a*b

7、 nx2 y)y25向量AB a在轴丨上的投影为:I a I cos为a与n的夹角，n为丨的方向向量其投影的长为|n|n一为n的单位向量|n|6a与b的夹角和ab的关系:1当 0时,a与 b同向；当时，a与b反向2 为锐角时,那么有a叱0a,b不共线; 为钝角时，那么有ab 0a, 7不共线9. 向量共线定理：b =入 a。向量b与非零向量a共线也是平行的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使10. 平面向量根本定理：如果u , e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量a，有且只有一对实数入1,入 2 使 a = y + 入 2e?。(1) 不共线向量e、e2叫做表示这一平面

8、所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a在给出基底e1、e的条件下进展分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , q , e2唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即假设A(x , y),那么OA =x,y丨；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即假设 Ax1,y1，Bx2,y2，那么 AB =(x 2-x 1 ,y 2-y 1)11. 向量a和b的数量积： a b=| a| | b|cos ，其中 0 ,n 为a和b的夹角。 | b |cos 称为b在a的方向上的

9、投影。 a b的几何意义是：b的长度| b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数可正、 可负、也可是零，而不是向量。 假设a =x1,y1 , b =X2,y2，那么 a?bx1x2y1y2 运算律： a b=b a,( 入 a) b=a (入 b)=入a b， a+b c=a c+b c。 a和b的夹角公式：cos =竺工=严风一呼同冋jx?yr jxfyrC2f 2 2 2Tr22卜 2 a ?a a | a| =x +y，或 |a|=Jx y a |a b | | a | | b |。12. 两个向量平行的充要条件：符号语言：假设a / b , a丰0，那么a =入bi2坐标语言为： 设

10、 a =xi,yi，b=(x2,y2)，那么 a / b(xi,yi)=入(x2,y 2)，即 12，或 xiy2-x2yi=0yiy2在这里，实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入0;当a与b异向时，入0。I入1= 旦，入的大小由a与b的大小确定。因此，当 a , b确定时，入的符号与大小就确定了。这就是实|b|数乘向量中入的几何意义。13. 两个向量垂直的充要条件：符号语言：a丄b a b =0坐标语言：设 a =(x 1,y 1), b =(x2,y2)，那么 a 丄 bx1x2+y1y2=0例题讲解例1、 ABC中，A2, -1丨，B 3, 2，C-3 , -1，BC边上的高为 AD,

11、求点D和向量AD坐标。例2、求与向量a = ('3 , -1丨和b = 1, v'3丨夹角相等，且模为 U2的向量c的坐标。例3、在厶OAB的边OA OB上分别取点 M N,使| OM | ： | OA |=1 : 3, | ON | : | OB |=1 : 4,设线段 AN与BM交于点P,记OA= a , OB = b，用a , b表示向量OP。例4、直角坐标系xOy中，i', j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中，假设AB 2i j, AC 3i k j，那么k的可能值个数是A. 1E. 2C. 3D. 4例5、如图，平面有三个向量 OA、

12、OB、OC ,其中与OA与OB的夹角为120°, OA与OC的夹角为30° ,且 | OA | = | OB | = 1, | OC | = 2,3，假设 OC =入 OA + 口 OB入，例6、设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),那么(a+2b) c=A.(15,12)B.0 C.3D. 11例7、平面向量a(1,2),b(2,m)，且 a / b ,那么A .-2 , -4 B.-3 , -6C.-4 ,-82a 3b=D.例8、平面向量a= 1, 3，b=4, 2，a b与a垂直，那么是 -5 , -10A. - 1 B. 1C. 2D. 2那么入

13、+ 口的值为例9、在平行四边形ABCD中AC与BD交于点O, E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.假设AC a,BDb ,那么AF A1 1 21 1 1 1 2 -A.-abB. -a-bC. -a -bD. - a b42332433例10、向量a(y3sin x,cosx),b (cosx,cosx):,函数 f (x) 2a b 1求f(x)的最小正周期；当X【6, 2时，假设f(x) 1,求X的值COS：，吨)，且"0,3 3例 11、向量 a = (cos x, sin x) , b =(221求 lab2设函数f(x) a b +a b，求函数f (x)的最

14、值与相应的 x的值。提高练习(1, 2)的夹角是180°，且|b| 3 5，那么b ()、选择题1 以下命题中正确的选项是A OA OBABBABBA0C 0 AB 0DABbCCDAD2 设点 A(2,0)，B(4,2),假设点P在直线AB上，且ABA (3,1)B(1,1)C (3,1)或(1,1) D无数多个2AP，那么点P的坐标为3 假设平面向量b与向量a向量 a (2,3)，b (1,2)，假设ma b与a 2b平行，那么m等于A 2 B2 C1 D122设 a (3,sin2)，b(cos,3)，且a / b，那么锐角为A 300 B600 C750D450A ( 3,6

15、) B(3, 6) C (6, 3) D ( 6,3)45二、填空题1 假设|a | 1,|b| 2,c a b，且c a，那么向量a与b的夹角为2向量a (1,2)，b ( 2,3)，c (4,1)，假设用a和b表示c ,那么c=3假设|a 1, |b 2，a与b的夹角为600，假设(3a 5b) (ma b)，那么m的值为4 假设菱形ABCD的边长为2，那么AB CB CD 5 假设a = (2,3)，b=( 4,7)，那么a在b上的投影为 三、解答题a (cos ,sin )， b (cos ,sin )， 其中0(1) 求证：a b与a b互相垂直；1 .设点P3, -6，Q-5 ,

16、2，R的纵坐标为-9，且P、Q R三点共线，那么R点的横坐标为A 、-9B、-6C、9D、62. =(2,3),b=(-4,7)，那么在b上的投影为。A 、B、CD、3 .设点A1, 2，B3, 5，将向量按向量=-1 , -1平移后得向量为丨。A、2,3B、1, 2C、 3, 4D、4, 7假设ka b与a kb的长度相等，求的值k为非零的常数4 .假设a+b+cb+c-a=3bc ，且 sinA=sinBcosC，那么 ABC。A 、直角三角形B、等边三角形 C等腰三角形D、等腰直角三角形5. |=4, | b|=3,与b的夹角为60°,那么|+ b|等于。 A 、 B C D6

17、. 向量=,求向量b,使|b|=2| ，并且与b的夹角为。课后作业一、选择题1. 在厶ABC中，一定成立的是A. asin A=bsin BB.acosA=bcosBC. asin B=bsinA D.acos B=bcosA2. A ABC中, sin 2A=sin 2B+sin 2C，那么 ABC为A .直角三角形B.等腰直角三角形C .等边三角形D.等腰三角形3. 在 ABC中，较短的两边为 a 2 2,b2 3,且A=45°,那么角C的大小是A. 15°B.75C.120 °D.60°4. 在 ABC中, |AB| 4,| AC | 1,S AB

18、C 3,那么 AB AC 等于A.- 2B.2C.土 2D.± 4a 15 .设A是厶ABC中的最小角，且cos A ，那么实数a的取值围是a 1A. a?3B. a> 1C. 1v aw 3D. a> 06.在 ABC中 ,三边长 AB= 7, BO5, AG6，那么 AB BC 等于A. 19B. 14C. 18D. 197 .在 ABC中, A> B是sin A> sin B成立的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要&假设 ABC的3条边的长分别为3, 4, 6，那么它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的 面积比是A. 1: 1B. 1 : 2C.1: 4D.3 : 49. 向量a (1,1) , b (2,3)，假设ka 2b与a垂直