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文档简介
1、备战2020中考数学三轮复习专项练习:相似综合1如图,在ABC中,AGBC,垂足为点G,点E为边AC上一点,BECE,点D为边BC上一点,GDGB,连接AD交BE于点F(1)求证:ABEEAF;(2)求证:AE2EFEC;(3)若CG2AG,AD2AF,BC5,求AE的长2在ABC中,点D在边BC上,点E在线段AD上(1)若BACBED2CED,若90,ABAC,过C作CFAD于点F,求的值;若BD3CD,求的值;(2)AD为ABC的角平分线,AEED2,AC5,tanBED2,直接写出BE的长度3已知EFGH的顶点E、G分别在ABCD的边AD、BC上,顶点F、H在ABCD的对角线BD上(1)
2、如图1,求证:BFDH;(2)如图2,若HEFA90,求的值;(3)如图1,当HEFA120,时,求k的值4如图,BM、DN分别平分正方形ABCD的两个外角,且MAN45,连接MN(1)猜想以线段BM、DN、MN为三边组成的三角形的形状,并证明你的结论;(2)若AMN为等腰直角三角形,探究线段BM、DN之间的数量关系;(3)当MNAD时,直接写出的值5如图,锐角ABC中,BC12,BC边上的高AD8,矩形EFGH的边GH在BC上,其余两点E、F分别在AB、AC上,且EF交AD于点K(1)求的值;(2)设EHx,矩形EFGH的面积为S求S与x的函数关系式;请直接写出S的最大值为 6如图1,ABC
3、中,BD,CE是ABC的高(1)求证:ABDACE(2)ADE与ABC相似吗?为什么?(3)如图2,设cosABD,DE12,DE的中点为F,BC的中点为M,连接FM,求FM的长7如图,在ABC中,ADBC,垂足为D,BEAC,垂足为E,AD与BE相交于点F,连接ED(1)求证:AEFBDF;(2)若AE4,BD8,EF+DF9,求DE的长8如图,在矩形ABCD中,AB4,BC3,点P,Q在对角线BD上,且BQBP,过点P作PHAB于点H,连接HQ,以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG,设BQm(1)若m2时,求此时PH的长(2)若点C,G,H在同一直线上时,求此时的m值(3)若经过点G的直
4、线将矩形ABCD的面积平分,同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1:3的两部分,求此时m的值9如图,四边形ABCD是矩形(1)如图1,E、F分别是AD、CD上的点,BFCE,垂足为G,连接AG求证:;若G为CE的中点,求证:sinAGB;(2)如图2,将矩形ABCD沿MN折叠,点A落在点R处,点B落在CD边的点S处,连接BS交MN于点P,Q是RS的中点若AB2,BC3,直接写出PS+PQ的最小值为 10已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E是DB延长线上的一点,且EAEC,分别延长AD、EC交于点F(1)求证:四边形ABCD为菱形;(2)如果AEC2BAC,求证
5、:ECCFAFAD11“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度,因大树底部有障碍物,无法直接测量到大树底部的距离聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案:测量者站在点F处,将镜子放在点M处时,刚好看到大树的顶端,沿大树方向向前走2.8米,到达点D处,将镜子放在点N处时,刚好看到大树的顶端(点F,M,D,N,B在同一条直线上)若测得FM1.5米,DN1.1米,测量者眼睛到地面的距离为1.6米,求大树AB的高度12矩形ABCD中,AD9,AB12,点E在对角线BD上(不与B、D重合),EFAE交CD于F点,连接AF交BD于G点(1)如图1,当G为DE中点时求证:FDFE;
6、求BE的长(2)如图2,若E为BD上任意点,求证:AG2BGGE13已知ABC中,ABC90,点D、E分别在边BC、边AC上,连接DE,DFDE,点F、点C在直线DE同侧,连接FC,且k(1)点D与点B重合时,如图1,k1时,AE和FC的数量关系是 ,位置关系是 ;如图2,k2时,猜想AE和FC的关系,并说明理由;(2)BD2CD时,如图3,k1时,若AE2,SCDF6,求FC的长度;如图4,k2时,点M、N分别为EF和AC的中点,若AB10,直接写出MN的最小值14如图1,ABC的两条中线BD、CE交于点F(1) ;(2)如图2,若BE2EFEC,且,EF,求DE的长;(3)如图3,已知BC
7、4,BAC60,当点A在直线BC的上方运动时,直接写出CE的最大值15教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容已知:如图,DEBC,并分别交AB、AC于点D、E求证:ADEABC请根据教材提示,结合图,运用相似三角形的定义,写出完整的证明过程证明:过点D作AC的平行线交BC于点F结论应用:如图,ABC中,AB10,AC7,AD平分BAC,AE是BC边上的中线,过点C作CGAD交AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为 16如图1所示,矩形ABCD中,点E,F分别为边AB,AD的中点,将AEF绕点A逆时针旋转(0360),直线BE,DF相交于点P(1)若ABAD,将AE
8、F绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上,则线段BE与DF的位置关系是 ,数量关系是 (2)若ADnAB(n1)将AEF绕点A逆时针旋转,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请就图3所示的情况加以证明;若不成立,请写出正确结论,并说明理由(3)若AB6,BC8,将AEF旋转至AEBE时,请直接写出DP的长17如图1,矩形ABCD中,AB8,BC6,点E,F分别为AB,AD边上任意一点,现将AEF沿直线EF对折,点A对应点为点G(1)如图2,当EFBD,且点G落在对角线BD上时,求DG的长;(2)如图3,连接DG,当EFBD且DFG是直角三角形时,求AE的值;(3)当AE2AF时,FG的延长线交B
9、CD的边于点H,是否存在一点H,使得以E,H,G为顶点的三角形与AEF相似,若存在,请求出AE的值;若不存在,请说明理由18如果三角形的两个内角与满足90,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”(1)若ABC是“准互余三角形”,A90,B20,求C的度数;(2)如图,在RtABC中,BAC90,AB4,BC5,点D是BC延长线上一点若ABD是“准互余三角形”,求CD的长;(3)如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AC4,CD5,BAC90,ACD2ABC,且BCD是“准互余三角形”,求BD的长参考答案1(1)证明:EBEC,EBCC,AGBD,BGGD,ABAD,ABDADB,AB
10、DABE+EBC,ADBDAC+C,ABEDAC,即ABEEAF(2)证明:AEFBEA,EAFABE,AEFBEA,AE2EFEB,EBEC,AE2EFEC(3)解:设BE交AG于J,连接DJ,DEAG垂直平分线段BD,JBJD,JBDJDG,JBDC,JDBC,DJAC,AEFDJF,AFDF,AFEDFJ,AFEDFJ(AAS),EFFJ,AEDJ,AFDF,四边形AJDE是平行四边形,DEAG,AGBC,EDBC,EBEC,BDDC,BGDG,tanJDGtanC,JG,JGD90,DJ,AEDJ2解:(1)BACBED2CED,当90,ABAC时,ABC与CEF都是等腰直角三角形,B
11、AE+FAC90,ACF+FAC90,BAEAFC,在ABE与CAF中,ABECAF(AAS),AECFEF,BEAF2EF2CF,2;如图,过点C作CFBE,交AD的延长线于点F,在AD上取一点G,使得CGCF,BACBED2CED,ABECAG,FBEDCGF,AEBAGC,ABECAG,CFBE,BEDCFD,3,设CFx,BE3x,AEy,则CGEGx,解得:,;(2)如图,过点C作CFAD,交BA的延长线于F,延长BE交CF与G,则BADF,DACACF,又AD为ABC的角平分线,即BADDAC,ACFF,AFAC5,又AEED,FGCG,AGCF,CAGFAG,ADAG,tanBE
12、D2,tanAEG2,AEED2,2,AG2AE4,又AC5,FGCG3,DECG,解得,BE43(1)证明:四边形EFGH是平行四边形,EFHG,EFHG,EFDGHB,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,EDFGBH,在EFD和GHB中,EFDGHB(AAS),DFBH,DFHFBHHF,BFDH;(2)解:作EMFH于M,如图2所示:设MHa,四边形ABCD、四边形EFGH都是平行四边形,AFEH90,四边形ABCD、四边形EFGH都是矩形,ADBC,tanADB,tanEFH,FEHEMH90,MEH+EHM90,EFH+EHF90,MEHEFH,tanMEHtanEFH,EM2a,
13、FM4a,tanEDM,DM4a,FH5a,由(1)得:BFDH,BFDH3a,;(3)过点E作EMBD于M,如图1所示:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,即,HEFA,EFHADB,EFHADB,EFED,FMDM,设BF3a,FH7a,DF10a,DM5a,由(1)得:BFDH,DH3a,MHDMDH5a3a2a,过点E作NEHEDH,交BD于N,ENHDNE,ENHDNE,EN2DNHN,设HNx,EN2x(3a+x),EN,NEHEDH,NEHEFH,EHNFHE,ENHFEH,ENDHEF120,ENM60,NEM30,EN2MN,2(2ax),解得:xa,EN2a,MNa,由勾
14、股定理得:EMa,EHa,EFDE2a,k4解:(1)以BM,DN,MN为三边围成的三角形为直角三角形证明如下:如图,过点A作AFAN并截取AFAN,连接BF、FM,1+BAN90,3+BAN90,13,在ABF和ADN中,ABFADN(SAS),BFDN,FBANDA135,FAN90,MAN45,1+2FAMMAN45,在AFM和ANM中,AFMANM(SAS),FMNM,FBP180FBA18013545,FBP+PBM45+4590,FBM是直角三角形,FBDN,FMMN,以BM,DN,MN为三边围成的三角形为直角三角形;(2)BM、DN分别平分正方形的两个外角,CBMCDN45,AB
15、MADN135,MAN45,BAM+NAD45,在ABM中,BAM+AMBMBP45,NADAMB,在ABM和NDA中,ABMNDA,AMN是等腰直角三角形,;(3)连接BD并延长交MN延长线于点G,如图2,由题意知GDNGBM90,ADN135,MNAD,GND45,G90GND45,DGN和BGM均为等腰直角三角形,GNDN,GMBM,由(1)知,DN2+BM2MN2,设BMx,DNy,则GMx,GNy,MN(yx),x2+y2(yx)2,x1(2+)y(舍),x2(2)y,5解:(1)四边形EFGH是矩形,EFBC,ADBC,AKEF,EFBC,AEFABC,;(2)四边形EFGH是矩形
16、,FEHEHG90,ADBC,ADB90,四边形EHDK是矩形,EHDKx,AK+DKAD,AK8x,SEHEFx(8x)x2+12xSx2+12x,当x4,时S有最大值24故答案为:246(1)证明:如图1中,BD、CE是ABC的高,ADBAEC90,AA,ABDACE(2)相似理由:ABDACE,即,AA,ADEABC(4)如图2中,连接DM、EM由得,BC18,又EMDM9,MFDE,且FDFE6,FM37(1)证明:ADBC,BEAC,BDFAEF90,AFEBFD,AEFBDF(2)解:AEFBDF,DF+EF9,EF3,DF6,BF10,AF5,AD5+611,AB,AFBEFD,
17、AFBEFD,DE8解:(1)在矩形ABCD中,AB4,BC3,BD5,BQ2,BP3,PHAD,BPHBDA,;(2)如图,设HG与PQ交于点O,设BQ2x,则BP3x,PQx,POQO,BOx,PHBC,PHOBCO,PH,PHAD,BPHBDA,x,BQ;(3)连接AC交BD于O,经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分,这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O如图,当直线OG经过PH的中点R时,直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1:3的两部分,PHGQ,m;如图,当直线OG经过HQ的中点N时,直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1:3的两部分,PGHQ,m;综上所述,满足条件的m的
18、值为或9(1)证明:如图1中,四边形ABCD是矩形,CDEBCF90,BFCE,BGC90,BCG+FBCBCG+ECD90,FBCECD,FBCECD,证明:如图1中,连接BE,GDBFCE,EGCG,BF垂直平分线段EC,BECB,EBGCBG,DGCG,CDGGCD,ADG+CDG90,BCG+ECD90,ADGBCG,ADBC,ADGBCG(SAS),DAGCBG,DAGEBG,AEBAGB,sinAGBsinAEB(2)如图2中,取AB的中点T,连接PT,CP四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称,T是AB中点,Q是SR中点,PTPQ,MN垂直平分线段BS,BPPS,BCS90,
19、PCPSPB,PQ+PSPT+PC,当T,P,C共线时,PQ+PS的值最小,最小值,PQ+PS的最小值为故答案为10解:(1)四边形ABCD是平行四边形,OAOC,又EAEC,EOAC,四边形ABCD是菱形;(2)AEBCEBAEC,平行四边形ABCD为菱形,AEBCEBBACBCADACDCA,CDFDAC+DCAAEF,FCDFAE,CDAD,AECE,即ECCFAFAD11解:设NB的长为x米,则MBx+1.1+2.81.5(x+2.4)米由题意,得CNDANB,CDNABN90,CNDANB,同理,EMFAMB,EFCD,即解得x6.6,解得AB9.6答:大树AB的高度为9.6米12(
20、1)证明:如图1,取AF的中点O,连接OD,OE,ADFFEA90,OEODAF,点G是DE的中点,OGDE,AFDE,点G是DE的中点,FDFE;解:由知,AFDE,AGD90,ADGADB,ADGBDA,在RtABD中,AD9,AB12,根据勾股定理得,BD15,DG,DE2DG,BEBDDE;(2)如图2,过点E作MNBC分别交AB,CD于M,N,BCCD,MNCD且MNAB,DNEAME90,FEA90,NEFMAE,NEFMAE,AMDN,FEAEND90,FEAEND,FAEEDN,EDNABG,FAEABG,AGEBGA,AGEBGA,AG2BGGE13解:(1)如图1中,结论:
21、AECF,AECF理由:由题意:BABC,BEBE,ABCEBF90,ABECBF,AACB45,ABECBF(SAS),AECF,ABCF45,ACFACB+BCF90,AECF,故答案为AECF,AECF如图2中,结论:AE2CF,AECF理由:2,ABECBF,ABECBF,2,ABCF,AE2CF,A+ACB90,BCF+ACB90,AECF(2)如图3中,过点D作DHAC于H,作DTAB交AC于T由题意ABBC,ABC90,ACB45,DTAB,CDTCBA90,DTCDCT45,DTDC,DHCT,HTHC,DHHTHC,设DHHTHCm,DTAB,AT4m,AE2,ET4m2,D
22、EDF,DTDC,EDFTDC90,EDTFDC,EDTFDC(SAS),SEDTSFDC6,ETFC,(4m2)m6,解得m2或(舍弃),CFET4m2826如图4中,连接DM,CM,根点M作MKBC于K,交AC于J同法可证:AECF,EDFECF90,EMMF,DMMCEF,点M在长度CD的垂直平分线MK上,当NMNK时,MN的值最小,由题意:AB10,BC5,CD,CKDK,在RtABC中,AC5,ANCN,CNAC,JKAB,CJ,NJCNCJ,NMMK时,NMKCKJ,MN,MN的最小值为14解:(1)如图1中,AEBE,ADDC,DEBC,DEBC,EDFCBF,故答案为:(2)如
23、图2中,DEBC,且DEBC,EDFCBF,EF,CF2,EC3,BE2EFEC,BE3,DFBE2,BF4,BEFCEB,BEFCEB,CB4,DEBC2(3)如图3中,如图,作ABC的外接圆O,连接OA,OB,OC,取OB的中点F,连接EF,过点O作OHBC于H,过点F作FTBC于TBOC2BAC120,OBOC,OHBC,BHCHBC2,BOHCOH60,OH,OB2OH,AEEB,BFOF,EFOA,点E的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的F,CE的最大值EF+CF,FTBC,OHBC,FTOH,BFOF,BTTH1,FTOH,在RtFCT中,CF,CE的最大值为15教材呈现:证明:过点
24、D作AC的平行线交BC于点F,DEBC,四边形DECF是平行四边形,DECF,DEBC,AEDC,ADEB,DFAC,AA,ADEABC;结论应用:AD平分BAC,GAFCAF,CGAD,AFGAFC,在AGF和ACF中,AGFACF(ASA),AGAC7,GFCF,则BGABAG1073又BECE,EF是BCG的中位线,EFBG1.5故答案是:1.516解:(1)如图2中,结论:BEDF,BEDF理由:四边形ABCD是矩形,ABAD,四边形ABCD是正方形,AEAB,AFAD,AEAF,DABEAF90,BAEDAF,ABEADF(SAS),BEDF,ABEADF,ABE+AHB90,AHB
25、DHP,ADF+PHD90,DPH90,BEDF故答案为BEDF,BEDF(2)如图3中,结论不成立结论:DFnBE,BEDF,AEAB,AFAD,ADnAB,AFnAE,AF:AEAD:AB,AF:AEAD:AB,DABEAF90,BAEDAF,BAEDAF,DF:BEAF:AEn,ABEADF,DFnBE,ABE+AHB90,AHBDHP,ADF+PHD90,DPH90,BEDF(3)如图41中,当点P在BE的延长线上时,在RtAEB中,AEB90,AB6,AE3,BE3,ABEADF,DF4,四边形AEPF是矩形,AEPF3,PDDFPF43;如图42中,当点P在线段BE上时,同法可得D
26、F4,PFAE3,PDDF+PF4+3,综上所述,满足条件的PD的值为43或4+317解:(1)连接AG,如图2所示,由折叠得:AGEF,EFBD,AGBD,在矩形ABCD中,AB8,BC6,DAB90,ADBC6,DB10,cosADB,DGADcosADB6(2)当DGF90时,此时点D,G,E三点共线,设AF3t,则FG3t,AE4t,DF63t,在RtDFG中,DG2+FG2DF2,即DG2(63t)2(3t)23636t,tanFDG,解得t,AE当GDF90时,点G在DC上,过点E作EHCD于H,则四边形ADHE是矩形,EHAD6设AF3t,则FG3t,AE4t,DF63t,FDGFGEEHG90,DGF+DFG90,DGF+EGH90,DFGEGH,GDFEHG,DG,GH84k,DG+GHAE,+84k4k,k,AE综上所述:AE或(3)当AEFGHE时,如图41,过点H作HPAB于P,AEFFEGEHG,EHG+HEG90,FEG+HEG90,AFEH90,AEFEHF,EF:HEAF
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