平面向量的数量积的性质

1、平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a，b，为a与b的夹角.1.若ab0，则a与b有什么关系？【提示】ab0，a0，b0，cos 0，90，ab.2.aa等于什么？【提示】|a|a|cos 0|a|2.(1)如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e；(2)abab0；(3)aa|a|2即|a|；(4)cosa，b(|a|b|0)；(5)|ab|a|b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)分配律：(ab)cacbc；(3)数乘向量结合律：对任意实数，(ab)(a)ba(b).向量的数量积运算(2013海淀高一检测)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120

2、，(1)求ab；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)ab|a|b|cos 54cos 12054()10.(2)|a|cos 5cos 120，a在b方向上的射影的数量为.1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求ab.1.(2013玉溪高一检测)已知|a|6，|b|3，ab12，则a在b方向上的射影的数量是()A.4B.

3、4C.2D.2【解析】cos，向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cos64，故选A.【答案】A2.已知|a|6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角分别等于45，90，135时，分别求出ae及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】当向量a和e之间的夹角分别等于45，90，135时，|a|e|cos 45613；|a|e|cos 906100；|a|e|cos 13561()3.当向量a和e之间的夹角分别等于45，90，135时，a在e方向上的正射影的数量分别为：|a|cos 6cos 453；|a|cos 6cos 900；|a|cos 6cos 1353.与向量模有关的问题已知向量a与

4、b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|(ab)(a2b)|.【思路探究】利用aaa2或|a|求解.【自主解答】由已知ab|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，|ab|2.(2)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412，|(ab)(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45的两个单位向量，且ae12e2，b2e1e2，试求|ab|的值.【解】a

5、b(e12e2)(2e1e2)3(e1e2)，|ab|3(e1e2)|3|e1e2|333.与向量夹角有关的问题(2014济南高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120，且|a|1，|b|2，|c|3，求向量ab与向量ac的夹角的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(ab)(ac)，|ab|和|ac|的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】(ab)(ac)a2abacbc112cos 12013cos 12023cos 120，|ab|，|ac|，cos ，所以向量ab与ac的夹角的余弦值是.1.求向量a，b夹角的流程图求|a|，|b|计算ab计算cos 结合0180，求解

6、2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.(1)(2014辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线，ab0，且cab，则a与c的夹角为()A.0 B. C. D.(2)(2014贵州省四校高一联考)若|a|2，|b|4且(ab)a，则a与b的夹角是()A. B. C. D.【解析】(1)acaaaaba2a20，又a0，c0，ac，a与c的夹角为，故选D.(2)因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，即aba24，所以cos，又因0，所以a与b的夹角是 ，故选A.【答案】(1)D(2)A混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误设两向量e1，e

7、2满足：|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60.若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【错解】由已知得e1e2211，于是(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.因为2te17e2与e1te2的夹角为钝角，所以2t215t70，解得7t.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180，其数量积也为负.【正解】由已知得e1e2211，于是(2te17e2)(e1te2)2te(2t2

8、7)e1e27te2t215t7.因为2te17e2与e1te2的夹角为钝角，所以2t215t70，解得7t.但是，当2te17e2与e1te2异向共线时，它们的夹角为180，也有2t215t70，这是不符合题意的.此时存在实数，使得2te17e2(e1te2)，即2t且7t，解得t.故所求实数t的取值范围是7，.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时).2.数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|co

9、sa，cb是一个与b共线的向量，两者一般不同.3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.1.对于向量a，b，c和实数，下列命题中正确的是()A.若ab0，则a0或b0B.若a0，则a0或0C.若a2b2，则ab或abD.若abac，则bc【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.【答案】B2.(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.【解析】由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.【答案】3.已知|a|4，|b|6，a与b

10、的夹角为60，则向量a在向量b方向上的射影是_.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 6042.【答案】24.已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积.【解】(1)当ab时，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，.ab|a|b|cos4500.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.一、选择题1.|a|1，|b|2，cab且ca，则a与b的夹角为()A.30B.60C.120 D.150【解析】ca，

11、设a与b的夹角为，则(ab)a0，所以a2ab0，所以a2|a|b|cos 0，则12cos 0，所以cos ，所以120.故选C. 【答案】C2.若向量a与b的夹角为60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则a的模为()A.2B.4 C.6D.12【解析】(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】C3.ABC中，0，则ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】|cos A0，cos A0.A是钝角.ABC是钝角三角形.【答案】C4.(2014怀远高一检

12、测)已知i与j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()A.(，2)B.C.D.【解析】ab(i2j)(ij)120，又a、b同向共线时，ab0，设此时akb(k0)，则i2jk(ij)，2，a、b夹角为锐角时，的取值范围是(，2)，故选A.【答案】A5.(2014皖南八校高一检测)在OAB中，已知OA4，OB2，点P是AB的垂直平分线l上的任一点，则()A.6B.6 C.12D.12【解析】设AB的中点为M，则()()(O)(22)6.故选B.【答案】B二、填空题6.(2014北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|

13、_.【解析】因为ab|a|b|cos 120，所以|5ab|225a210abb22510949，所以|5ab|7.【答案】77.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于_.【解析】(3a2b)(ab)(ab)(3a2b)0，3a2(23)ab2b20.又|a|2，|b|3，ab，12(23)23cos 90180，12180，.【答案】8.(2014温州高一检测)已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_.【解析】设a，b的夹角为，由b(ab)0，得|b|a|cos |b|20.解得|b|0或|b|a|cos cos 1，所以|b|的取值范围

14、是0,1.【答案】0,1三、解答题9.已知向量a、b的长度|a|4，|b|2.(1)若a、b的夹角为120，求|3a4b|；(2)若|ab|2，求a与b的夹角.【解】(1)ab|a|b|cos 120424.又|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b294224(4)1622304，|3a4b|4.(2)|ab|2(ab)2a22abb2422ab22(2)2，ab4，cos .又 0，.10.已知ab，且|a|2，|b|1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值.【解】ab，ab0，又由已知得a(t3)b(katb)0，ka2t(t3)b20.

15、|a|2，|b|1，4kt(t3)0.k(t23t)(t)2(t0).故当t时，k取最小值.11.(2014淄博高一检测)设向量a，b满足|a|b|1，且|3a2b|.(1)求a与b夹角的大小；(2)求ab与b夹角的大小；(3)求的值.【解】(1)设a与b的夹角为，(3a2b)29|a|24|b|212ab7，又|a|b|1，ab，|a|b|cos ，即cos .又0，a与b的夹角为.(2)设ab与b的夹角为，(ab)bb2ab1，|ab|，|b|1，cos ，又0，ab与b的夹角为.(3)(3ab)29|a|26ab|b|293113，(3ab)29|a|26ab|b|29317，.(教师用书独具)已知向量a、b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab).【思路探究】证明ab与ab垂直，转化为证明ab与ab的数量积为零.【自主解答】|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2，4a24abb2a24ab4b2，a2b2，(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，a