假设检验和区间估计

1、第7章 假设检验和区间估计7.1 内容框图假设检验区间估计参数检验分布的检验正态总体参数的检验独立性检验7.2 基本要求（1） 理解假设检验的基本思想及两类错误的含义.（2） 掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法.（3） 理解单侧检验与双侧检验的异同.（4） 理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法.（5） 了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法.7.3 内容概要1）假设检验下面把各种情形列一个表：接受域，接受拒绝域，拒绝为真，不真正确犯第一类错误不真，为真犯第二类错误正确值为显著水平。然后，根据显著水平 来确定临界值，用临界值来划分接受域 和拒绝域 。这样的检验，称为显著性检验

2、。假设检验的一般步骤是：（1）提出原假设 ；（2）选取合适的检验统计量 ，从样本求出 的值；（3）对于给定的显著水平，查 的分布表，求出临界值，用它划分接受域 和拒绝域 ，使得当 为真时，有 ；（4）若 的值落在拒绝域 中，就拒绝 ，若 的值落在接受域 中，就接受 。假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的.要检验一个根据实际问题提出的原假设是否成立，如果已知在成立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事件原理，我们就可以认为所提出的这个假设是不成立的，即拒绝；反之，则接受.这里的原假设可以根据实际问题提

3、出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设检验的关键问题就是要确定在成立时，发生可能性很小的某个事件.我们知道，正态分布有个3原则，即若服从正态分布，那么的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的可能性很小.事实上，当服从t分布，分布，F分布时，其取值落入两侧的可能性也都相对很小.因此，我们要确定成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服从正态分布，t分布，分布或F分布的随机变量（统计量）就可以了.根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。（1）提出假设:假设一般是根据实际问题提出的，只是为了检验的方便，要求原假设必须含有等号.（2）构造统计量:即根据样本构造服从正态分

4、布，t分布,分布或F分布的不含未知参数的随机变量，常用到6.7节的结论.例如，总体其中已知，要检验：，已知的，都可用作检验的统计量.但是T忽略了已知的信息肯定不如U好，而因其概率密度的复杂性（这使得的最小接受域难以确定），它也不如U统计量好.其他统计量如，因不含显然无法用于检验.一般地，关于期望的检验用U统计量或T统计量.关于单个正态总体方差的检验用统计量.关于两个正态总体方差的检验用F统计量.（3） 确定拒绝域:拒绝域就是在为真的情况下，所构造的统计量以很小的概率（显著性水平）落入的范围，记为，即P统计量=.根据原假设形式上的不同，拒绝域可能为单侧或双侧.那么如何确定拒绝域究竟在左侧，右侧还

5、是双侧呢？比如我们用来检验：时，在成立的情况下，的取值应集中在其中心原点附近，取值偏大或偏小都是可能的，但可能性会很小.因此，此时的拒绝域为双侧的.但是如果要检验的为，此时有,即在成立时，的取值会偏大，故此时的拒绝域在左侧.一个简单的判别准则是：单侧检验中拒绝域的不等号方向与备选假设的不等号方向一致，即，则拒绝域为.（4） 作出判断:代入样本观测值，若统计量观测值落入拒绝域则拒绝原假设；否则接受原假设.上述步骤也同样适用于非参数检验，如关于分布的检验和独立性检验.只不过分布的检验和独立性检验都是以分布为检验统计量并且都是单侧检验.最后需要说明的是，假设检验是根据小概率事件原理进行推断的.但是一

6、个发生可能性很小的事件也并非是绝对不可能发生的，因此我们的检验也可能出现错误，即第一类错误为真时却拒绝了，其概率为显著性水平，或第二类错误为假时却接受了，其概率为.单个总体，方差已知时，均值的检验问题 设总体 ，已知其中 ，是 的样本，要检验： 。检验方法 ,从样本可以算出的值，定出一个值 ，称为临界值，把的取值范围分成两个区域： 和。称为接受域，称为拒绝域。从样本求出的值，的值落在中，就接受，的值落在中，就拒绝 。 单个总体，方差未知时，均值的检验问题 设总体 ，其中 未知，是的样本，要检验： 。检验方法 。从样本求出 的值。对于给定的显著水平，自由度，查 分布表可得 分布的临界值 ，使得

7、，当 时拒绝 ，否则接受 。怎样查表求 分布的临界值在书后附录中，有一个 分布的临界值表，从中可以查到 分布的临界值。查表时，在自由度 与 的相交处可以查到 。 单个总体，均值未知时，方差的检验问题 设总体 ，其中未知，是 的样本，要检验： （或） 。检验方法因此可得到检验方法如下：从样本求出 的值。对于给定的显著水平，自由度，查表可得 分布的临界值 和 ，使得 以及 ，当 或 时拒绝 ，否则接受 。怎样查表求 分布的临界值在书后附录中，有 分布的临界值表，从中可以查到 分布的临界值。查表时， （1）在自由度 与 的相交处可以查到 ；（2）在自由度 与 的相交处可以查到 。 两个总体，方差未知

8、但相等时，均值是否相等的检验问题 设总体 ，其中 ， 都未知，但已知，（） ，（）分别是 ， 的样本，两个样本相互独立，要检验： 。检验方法 检验方法如下：从样本求出 的值。对于给定的显著水平，自由度，查表可求得 分布的临界值 ，使得 ，当 时拒绝 ，否则接受 。 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验 在求解上面的问题时，我们假设已知有 ，到底是不是这样，最好还要检验一下。问题 设总体 ，其中，都未知，（） ，（）分别是 ， 的样本，两个样本相互独立，要检验 ：（ 或 ） 。检验方法 从样本求出的值。对于给定的显著水平，查表可得分布的临界值和，使得 以及 ，当 或时拒绝 ，否则接受 。怎样

9、查表求分布的临界值在书后附录中，有分布的临界值表，从中可以查到分布的临界值。查表时，（1）在自由度 与自由度 的相交处，可以查到与 对应的临界值 ；（2）临界值 不能直接从表中查到，要按下列方法求出：先将自由度前后颠倒，变成，从表中查出 ，再对它取倒数，即有 。单侧检验问题 设总体 ，其中 未知，是的样本，要检验： （备选假设：） 。检验方法 从样本求出 的值。对于给定的显著水平，自由度，查表可得 分布的临界值 ，使得 ，当 时拒绝 ，否则接受 。问题 设总体 ，其中，都未知，（），（）分别是 ， 的样本，两个样本相互独立，要检验 ：（备选假设：） 。检验方法对于给定的显著水平，自由度，查表可

10、得 分布的临界值，使得 ，从样本求出 的值，当 时拒绝 ，否则接受 。单侧检验与双侧检验的相同和不同之处（1）单侧检验与对应的双侧检验，检验时所用的统计量完全相同，统计量服从的分布和自由度也完全相同 ；（2）双侧检验中查分布表求临界值时， 或 ，单侧检验中查分布表求临界值时， 或 ，而且只要查出单侧的一个临界值就可以了 ；（3）设在单侧检验中，要检验：* * （备选假设：* * ） ，这时，如果 检验时所用的统计量 右侧临界值，就拒绝，否则就接受 ；（4）设在单侧检验中，要检验：* * （备选假设：* * ） ，这时，如果 检验时所用的统计量 左侧临界值，就拒绝，否则就接受 。 正态总体参数的

11、假设检验检验条件检验时所用的统计量分布单个总体已知 未知已知未知两个总体，已知，未知但有，已知，未知2）区间估计区间估计的基本思想定义 设 是总体分布中的未知参数，如果对于一个事先给定的概率 （例如， 或 ）,能够找到样本统计量和，使得，则称为未知参数的置信区间，称概率为置信水平，称为置信下限，称为置信上限。单个总体，方差未知时，均值的置信区间问题 设总体 ，其中 未知，是的样本，要求的水平为的置信区间。分析推导， 就是的水平为的置信区间。 单个总体，均值未知时，方差的置信区间问题 设总体 ，其中 未知，是的样本，要求 的水平为的置信区间。 ， ， 就是的水平为的置信区间。的水平为的置信区间为

12、 。 两个总体，方差但相等时，均值之差的置信区间问题 设总体 ，其中 ， 都未知，但已知，（） ，（）分别是 ， 的样本，两个样本相互独立，要求的水平为 的置信区间。令， 就是的水平为的置信区间。 两个总体，均值未知时，方差之比的置信区间问题 设总体 ，其中，都未知，（） ，（）分别是 ， 的样本，两个样本相互独立，要求 的水平为的置信区间。令 ， ， 就是 的水平为的置信区间。 区间估计的一般步骤从上面几种情况的例子中，我们可以总结出区间估计的一般步骤为：（1）选取一个含有未知参数 的随机变量 ；（2）对于给定的置信水平，查 的分布表，象在假设检验中一样，求出临界值，用它划分接受域 和拒绝域

13、 ，使得 ；（3）把 等价变换成 ，得到 ，区间 就是未知参数 的水平为 的置信区间。表7-2 正态总体参数的置信区间待估参数条件置信区间 分布单个总体已知 未知已知未知 ，两个总体，已知，未知但有，已知，未知 7.4 自测题七一、 判断题（正确用“+”，错误用“”）1. 在假设检验中，设，分别为犯第一类错误和第二类错误的概率，则+=1. ( )2. 若给定显著性水平=0.05，则在此水平下的假设检验犯第一类错误的概率最大不超过5%.（ ）3. 若在显著性水平=0.05的情况下假设检验接受了原假设，则在新的显著性水平=0.01的情况下重新检验可能拒绝.（ ）4. 设参数的置信水平为的置信区间为

14、，则. （ ）5. 判断一个检验是单侧检验还是双侧检验，取决于假设和，与选定的统计量无关. （ ）6. 设总体，其中和均未知，和S*分别为样本的均值和修正样本标准差，样本容量为，则的置信水平为的置信区间的长度与X无关. （ ）7. 设总体，其中已知，为其容量为10的样本，则的置信水平的置信区间的长度与样本无关. （ ）8. 设某厂生产的牛奶制品中三聚氰胺的含量服从正态分布N,按规定当其含量低于0.003 mg/L时才能认定为合格品，要检验这厂的产品是否合格，则提出的假设为：0.03，：0.003. （ ）9. 设某厂生产的牛奶制品中三聚氰胺的含量服从正态分布N，其中,均未知.按规定当其含量低于

15、0.03 mg/L时才能认定为合格品，从这个厂的产品中抽取一个容量为的样本来检验该厂产品是否合格，则显著性水平下统计量的拒绝域为. ( ) 10. 设总体，其中和均未知，为样本观测值,若在显著性水平下检验：；：，结果拒绝了，则不在的置信水平为的置信区间中. ( ) 二、 选择题1. 某化工产品的含硫量，其中都未知，取5个样品，测得含硫量为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，检验： =4.50和： =0.04（显著水平都是=0.05），检验的结果为（ ）. （A）拒绝： =4.50，拒绝： =0.04（B）拒绝： =4.50，接受： =0.04（C）接受： =4.50，拒绝： =0

16、.04（D）接受： =4.50，接受： =0.04 2. 设总体,已知，若样本容量和置信水平均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度（ ）. （A） 变长（B） 变短（C） 不变（D） 不能确定3. 设总体，则总体均值的置信区间长度L与置信水平的关系是（ ）.（A） L随减少而缩短 （B） L随减少而增大（C） 随减少，L保持不变 （D） 以上说法都不对4. 设总体，其中都未知，分别是,的样本，两个样本相互独立， 这时检验假设的统计量F=（ ）. （A） （B） （C） （D）5. 设总体,为的样本，总体,为的样本，且与相互独立，令 则（给定显著水平），检验的拒绝域为（ ）.

17、（A） （B）（C） （D）6. 对A，B两种香烟，分别抽样测定香烟中的尼古丁含量，测得数据如下： A种香烟中的尼古丁含量/20 23 22 25 26 B种香烟中的尼古丁含量/25 28 23 26 29 22设A，B两种香烟中的尼古丁含量分别为和. 检验和（显著水平都是=0.05），检验的结果为（ ）. （A）拒绝，拒绝（B）拒绝，接受（C）接受，拒绝（D）接受，接受7. 设总体，已知其中，是的样本，要在显著水平下，检验假设（备选假设）. 从样本求出的值，查N（0,1）分布表，可得临界值（分位数），使得，当（ ）时，拒绝. （A） （B） （C） （D） 8. 对正态总体（未知）的假设检验

18、问题：1,：1，若取显著水平=0.05，则其拒绝域为（ ）.（A） （B）（C）（D）9. 设是正态总体N（,4）的一个样本，是样本均值，查N（0,1）分布表，可得临界值（分位数和，使得和，则的置信水平为的置信区间为（ ）. （A） （B）（C） （D）10. 对正态总体数学期望的假设检验，若在显著性水平=0.05下接受,那么在=0.01下对的检验是（ ）.（A） 必接受 （B） 可能接受也可能拒绝（C） 必拒绝 （D） 不接受也不拒绝三、 填空题1. 设为取自正态总体的样本，其中和均未知，在检验时使用的统计量为；对于给定的显著性水平，的拒绝域为.2. 设和为分别取自相互独立的两个正态总体和的

19、样本.在检验中使用的统计量为；对于给定的显著性水平，的接受域为.3. 设总体，其中均未知. 是的样本，,，这时检验的统计量（用和表示）是T=_. 4. 设总体，从中抽取一个容量为n=9的样本，测得样本均值=1575，修正样本标准差. 在显著水平=0.05下，检验假设（备选假设）的结果是_. 5. 设总体，样本均值为，要使得总体均值的水平为0.95的置信区间为0.560, 0.560，样本容量（样本观测次数）必须等于_. 6. 从某厂生产的导线中抽取5根，测得其电阻（单位：m）为145，140，136，138，141. 设导线的电阻服从正态分布，的水平为95%的置信区间是，的水平为 95%的置信

20、区间是. 7. 设总体，为的样本，则的置信水平为95%的置信区间的长度平方的数学期望为_. 8. 设总体,，且相互独立，为的样本，为的样本，要使得的95%的置信区间长度不超过5，则n至少为_. 9. 设甲、乙两种灯泡的使用寿命分别为和. 从甲种灯泡中任取m=5 只，测得灯泡寿命的样本均值=1000，样本标准差；从乙种灯泡中任取=7 只，测得灯泡寿命的样本均值=980，样本标准差. 这时的水平为 95%的置信区间是_. 如果假定已知，这时的水平为 95%的置信区间是_. 10. 设为取自正态总体的样本，其中已知，并且已知的置信水平为的置信区间为,则在显著性水平下检验 (其中已知， ）的结论是_.

21、7.5 自测题七答案一、 1. ; 2. +; 3. +; 4. +; 5. +; 6. +; 7. +; 8. ; 9. ; 10. +二、 1. B; 2. C; 3. A; 4. C; 5. A; 6. D; 7. A; 8. B; 9. B; 10. A三、 1. 2. 3.4. 接受; 5. 49; 6.135.8,144.2，2.03,9.75; 7. 1.1357; 8. 16;9.0.156,8.94，-9.4,49.4; 10. 拒绝7.6 典型例题例1 某厂生产的钮扣，其直径 ，已知 （mm），现从中抽查100颗，测得样本均值 （mm）。已知在标准情况下，钮扣直径的平均值应

22、该是（mm），问：是否可以认为这批钮扣的直径符合标准？（显著水平）解 问题相当于要检验： 。 。对 ，查 分布的临界值表，可得临界值 ，因为 ，所以接受 ： ，可以认为这批钮扣的直径符合标准。 例2 某厂生产的合金钢，其抗拉强度，现抽查5件样品，测得抗拉强度为 要检验假设 ： 。（显著水平）解 样本容量 ，样本均值 ，修正样本标准差 ， 。对，自由度，查 分布的临界值表，可得 ,由于 ，因此拒绝 ： 。 例3 某厂生产的维尼纶的纤度 ，已知在正常情况下有 。现从中抽查5根，测得纤度为 ，问： 的标准差 是否发生了显著的变化？（显著水平）解 问题相当于要检验 ： 。样本容量 ，样本方差 ， 。对

23、，自由度，查 分布表，可得及，由于，所以拒绝：，结论是：纤度的标准差发生了显著的变化。 例4 任选19个工人分成两组，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间（单位：分钟）如下：饮酒者30，46，51，34，48，45，39，61，58，67未饮酒者28，22，55，45，39，35，42，38，20问：饮酒对工作能力是否有显著的影响？（显著水平）解 设两组工人的完工时间分别为总体 和 ，其中、未知，但假设已知有。问题相当于要检验： 是否成立。， ， 。对，自由度，查 分布表，可得 ,由于 ，因此拒绝 ： ，从检验得出的结论是：饮酒对工作能力有显著的影响。 例5 设两组工人的完工时间分别

24、为 和 ，第一组工人的人数为 ，完工时间的样本方差为 ；第二组工人的人数为 ，完工时间的样本方差为 。要检验 ： （显著水平） 。解 ， ， ， ， 。对，自由度，查分布表，可得 ， ，因为 ，所以接受 ： 。 例6 设灯泡寿命 ，抽取容量为 的样本，测得 （小时），（小时），问：能否认为灯泡的平均寿命已达到小时？（显著水平 ）解 问题相当于要检验： （备选假设：） 。 已知 ， ， ，求得 。对 ，自由度 ，查 分布表，可得 , 由于，因此接受 ：，可以认为灯泡的平均寿命已达到小时 。 例7 对铁矿石中的含铁量，用旧方法测量5次，得到样本标准差 ，用新方法测量6次，得到样本标准差 ，设用旧方

25、法和新方法测得的含铁量分别为 和 ，问：新方法测得数据的方差是否显著地小于旧方法？（显著水平 ）解 如果我们将原假设定为 ： ，备选假设定为 ：，由于原假设中没有等号，难以给出合适的检验方法。所以，我们把上面的原假设 与备选假设 颠倒一下，将问题改为要检验 ：（备选假设：） 。， ， ， ， 。对显著水平，自由度，查 分布表，可得临界值，因为 ，所以接受假设 ：，拒绝假设 ：，结论是：不能认为新方法测得数据的方差显著地小于旧方法。 例8 一些著名科学家作出重大发现时的年龄为哥白尼40岁伽利略34岁牛顿23岁富兰克林40岁拉瓦锡31岁赖尔33岁达尔文49岁麦克斯韦33岁居里34岁普朗克43岁爱因

26、斯坦26岁薛定谔39岁设年龄 ，求的水平为 95% 的置信区间。解 样本容量 ，样本均值 ，修正样本标准差 。对， ，, 自由度 ，查 分布表可得 。 ， ， 。求得的水平为 95% 的置信区间为 。 例9 设科学家作出重大发现时的年龄为，对容量为 的样本，已求得修正样本标准差 ，求 和 的水平为 95% 的置信区间。解 ， ， 。对， ，自由度 ，查 分布表，可得 ， 。 ， 。求得 的水平为 95% 的置信区间为 。 又因为 ， ，所以， 的水平为 95% 的置信区间为 。 例10 从某厂生产的第一批导线中抽取4根，测得其电阻的样本均值，样本标准差；从该厂生产的第二批导线中抽取5根，测得其

27、电阻的样本均值，样本标准差。设这两批导线的电阻分别为 和 ，其中，求的水平为 95% 的置信区间。解 ，对， ，,自由度，查 分布表，可得 ,，。 的水平为 95% 的置信区间为 。 例11 对甲、乙两厂生产的电池作抽查，测得使用寿命（单位：小时）如下甲厂电池寿命550，540，600，510乙厂电池寿命635，580，595，660，640设甲、乙两厂生产的电池，使用寿命分别为 和 ，求 的水平为 95% 的置信区间。解 ， ， ， 。对 ，自由度 ，查 分布表，可得， 。 ， 。 的水平为 95% 的置信区间为 。 例12 为研究气管炎与吸烟的关系，对339人作调查，得到结果如下： 不吸烟

28、 每日吸烟10支以下 每日吸烟10支以上总和 有气管炎13202356 无气管炎1218973283总：气管炎是否与吸烟有关？（显著水平）解 设 为患气管炎的状况， 为吸烟状况，问题相当于要检验 ： 与 独立。 。对显著水平，自由度，查 分布表，可得临界值， 由于，所以拒绝假设： 与 独立，检验的结论是：气管炎与吸烟有关。 模拟考试卷及答案華東理工大學继续教育学院成人教育概率论与数理统计考试卷11、 选择题1对任意二事件，与不等价的是（ ）。2. 设三次独立试验中，事件A出现的概率均为，则事件A至少出现一次的概率为（C ）。A. B. C. D. 3. 从3个男生、2

29、个女生中任意选出2人，现在已知选出的2人中至少有一人是女生，在这种情况下，选出2人恰好是一个男生和一个女生的概率为（C ）。A B C D 4离散型随机变量的分布函数为，则（ ）。 (A) 0.2; （B）0.3; （C）0.5; （D）0.5. 设，则（B）。 (A) 对任何实数 ，都有; (B) 对任何实数 ，都有; (C) 对任何实数 ，都有; (D) 只对的个别值，有 .6、当随机变量的可能值充满区间（ ），则可成为的概率密度。 （A） (B) (C) (D) 7设总体，（X1，X2，X6 ）为取自总体的样本， 则常数c=（ C）时，随机变量服从t分布。（A） （B） (C) (D)

30、2、 填空题1、已知，则 0.3 . 2. 向单位圆内随机地投下3点，则这3点恰有2点落在同一象限内的概率为_9/16_。3 .设，= ，则的数学期望E=_2/3_。4. 已知随机变量，且，则二项分布的参数 的值分别为0.4。 5. 设为总体的样本，问n至少为 49 时，才能保障总体均值 的水平为 的置信区间的长度。6随机掷100次硬币，设为出现的正面数，为出现的反面数，则相关系数-1 .三、设为两个随机事件，且，证明事件相互独立。证法一：由题设及条件概率定义得，又，由以上二式可得P(AB)=P(A)P(B)，故A与B相互独立。证法二：由全概率公式得P（A）P（B）P（AB）P（）P（A）P（

31、B）P ()P（AB）（由题设）P（AB），则P（AB）P（B）P（AB）P（A）P（B），故A与B相互独立。四、设随机变量 X 在区间 2，5 上服从均匀分布，现对X进行3 次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。解：设Y是3 次独立观察中观察值大于3的次数，则 YB( 3 , p ) ,其中p是X 大于3的概率,由于X在区间 2，5 上服从均匀分布，故 p=,于是 。五、设二维随机变量的联合概率密度为 。（1）求常数；（2）求边缘密度和，并且问与是否相互独立？ 解：（1）因为 ，所以 ，即有 。（2） ， 。因为 ，所以与不相互独立。六、设总体的概率分布为 其中是未知参数，利用总体的

32、如下样本观测值：1、0、1、2、1, 求的矩法估计值和极大似然估计值. 解： （1）解方程，得的矩法估计值 （2）似然函数，解方程得的极大似然估计值 華東理工大學继续教育学院成人教育概率论与数理统计考试卷21、 选择题1对于任意两事件和，则下列结论正确的是（ C ）A； B；C； D。2已知，则事件、全不发生的概率为（ ）。（A）; （B）; （C）; （D）.3. 同时掷4颗均匀骰子，则至少有一骰子出现6的概率为（ C ）。（A）； （B）； （C）； （D）4已知离散型随机变量的概率分布为 1 2 3 0.3 0.6 0.1用切比雪夫不等式估计 （ D ） 。A0.16 B0.20 C0.

33、80 D0.84 5. 设随机变量密度函数为，则的密度函数为（ A ）。A、 B、 C、 D、6.从含有未知参数的总体中随机抽取样本，则下列（C ）不是统计量。A. B. C. D.7、设总体，是的样本，是样本均值，则(D)是总体方差的无偏估计. （A） （B）（C） （D）2、 填空题1已知事件与互不相容，这时 3/8.2. 若随机变量,则方程有实根的概率为 。3 设随机变量的期望与方差都等于，又，则3 4. 设总体 的概率分布为 -1 0 1 t 0.2 0.3则=_0.76_。5. 设为两个随机变量，满足则 3/7 .6.为X的样本，记，则 7. 随机变量，相互独立，则E(-2+3)=1

34、1.三、甲、乙两厂生产的电池放在一起，已知其中有75 是甲厂生产的，有25%是乙厂生产的，甲厂电池的次品率是0.02 ，乙厂电池的次品率是0.04 。现从这批电池中任意取一个，（1）求它是次品的概率；（2）现在发现任意取出的一个电池是次品，求它是乙厂生产的概率. 解：设事件 取到次品，取到甲厂产品，取到乙厂产品， （1）（2）四、已知的分布函数为 试求：（1）的值；（2）概率密度；（3）。解：（1）由即 （2）概率密度 （3） 五、有10000个相同年龄段的人参加某保险公司的人寿保险，年保险费为每人10元，死亡时，死者家属可从保险公司获得4000元保险金。根据历史资料在一年内这类人群的死亡率为

35、千分之一，试用中心极限定理近似计算：（1）保险公司亏本的概率，（2）保险公司一年内至少获利40000元的概率。（ ）解：用表示一年内死亡的人数，则显然，其中，。由二项分布中心极限定理， 。（1）保险公司亏本的概率 。（2）保险公司一年内获利不少于40000元的概率为： 。六、某厂生产的一种钢索，其断裂强度现抽查9件样品，测得平均断裂强度, 能否据此认为这批钢索的断裂强度为。（， ）解：原假设接受域 （1.96，1.96） .能据此认为这批钢索的断裂强度为。華東理工大學继续教育学院成人教育概率论与数理统计考试卷31、 选择题1. 已知则下列结论正确的为（ B ）。（A）； （B）； （C）； （

36、D）2. 每次试验的成功概率为，进行重复试验，直到第10次试验才取到4次成功的概率为（C）。（A）；（B）；（C）；（D）.3.设连续型随机变量的分布函数为,则数学期望为（D）。（A）1; （B）; （C）; （D）2.4、设随机变量服从正态分布，则概率（ D ）。A、随的增加而增大 B、随的增加而减小 C、随的增加而增大 D、等于一个常数。5、设随机变量和不相关，则下列结论成立（B ） （A） 与独立 （B） （C） （D）6. 设随机变量X ，Y相互独立，服从相同的两点分布：，则下列结论中肯定正确的是（ C ）：（A）X=Y ； （B）P(X=Y) = 0 ； （C）P(X=Y) = ；

37、（D）P(X=Y) = 1 。7.设总体，是取自总体的一个样本，则有（D ）A. B. C. D. 2、 填空题1. 设 0.25 。2已知离散型随机变量的概率分布为 -2 -1 0 1 2 t 2t 1/10 1/10 t则t=_0.2_。3.已知连续型随机变量X的概率密度函数为，则X的数学期望为 1 X的方差为 .4 设独立，且其概率密度分别为，则 1 1/4 , 2 , 0 。5. 设为总体的样本,若服从于则常数= 1/5 ,= 1/25 。6. 已知的概率密度，其中是未知参数,的样本是,这时：1)的矩估计为, 2）的极大似然估计为.7. 若随机变量满足，则与的相关系数等于-1。三、某选

38、择题有4个选项，已知考生知道正确解法的概率为，此时该考生因粗心犯错的概率为；如果该考生不知道正确解法时只能随机乱猜。1）求该考生答对选择题的概率；2）已知该考生答对了，求该考生确实知道正确答案的概率？解：设表示“知道正确解法”，“答对选择题”。据题意：， （1）（2） . 四、设随机变量服从区间（0，1）上的均匀分布，求随机变量的密度函数。 （10分）解：因，即，的取值范围是（0，） 故：五、设随机变量，相互独立，其概率密度分别为=，=，求的概率密度函数。 解法一：套用线性函数的密度公式=，为积分先画图。由图可知需按的不同值分别讨论：= 。解法二：（用二重积分先求分布再求密度方法）：利用公式

39、因为 ， 独立，故当（相应于图中直线(1)）时，；当（相应于图中直线(2)）时，= 。当（相应于直线(3)）时=求导后可得密度函数。=.六、设总体的概率分布为，其中为未知参数，是取自总体的简单随机样本的观察值，求参数的矩估计量以及的极大似然估计量。 解：；令 ，的矩估计量。似然函数：,，。令 ，解得的最大似然估计量 ，这里。華東理工大學继续教育学院成人教育概率论与数理统计考试卷41、 选择题1、设A和B是两个互斥事件，则下列结论正确的（ D ） （A）； （B）与不相容；（C）； （D）2. 设独立，且，则（A ）。（A） 0.4; （B）0.3; （C）0.2 ; （D）0.3. 设是的分布

40、函数，是的概率密度，且，则对任何常数，必有（ D ） 。 A B C D4若对任意的随机变量，存在，则等于（ C ） 。A0 B C D 5.设随机变量和相互独立，其分布函数分别为与，则 的分布函数等于（ B ）（A） （B） （C） （D）6设总体为的样本，下面四个无偏估计中( )最有效. 7、设总体，样本均值为，要使得总体均值的水平为0.95的置信区间为，样本容量必须等(C).（A）7； （B）8； （C）9； （D）16.2、 填空题1若某人射击的命中率为0.2，则他命中目标时已经射击的次数为的概率，。2. 设离散型随机变量的概率分布为 -1 0 a P 0.4 0.4 b且E=0.2，

41、则a= 3 , b= 0.2 。3已知随机变量，则的分布密度函数为 。4. 已知，则与的协方差 0.5 。5. 已知随机变量,满足用切比雪夫不等式估计 1/12 。 6.设是来自正态总体的一个简单随机样本，则服从分布（须写出自由度）.7. 从服从正态分布的总体中随机抽取100个样本，测得样本均值为5，则的置信度为0.95的双侧置信区间为（4.804, 5.196）.三、设连续型随机变量的密度函数为： ， 又已知。试求：（1）常数的值,;（2）期望 。解:（1）由密度规范性，以及期望、概率的密度计算公式，分别有：于是，得到如下的线性方程组：（2）由随机变量函数期望公式： 四、设的联合概率分布表为

42、 -1 0 101 x y 如果已知，求：（1）；（2）;(3) 独立吗？解 （1）的边缘概率分布为0x+5/24y+1/2 的边缘概率分布为1 1（2）05/2419/24.(3)由,一切均成立。故与相互独立。五、某一工厂生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重为50 kg, 标准差为4 kg, 若用最大载重量5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.9772。解：设每箱的重量，则由题意知，即，得。六、设总体，其中均未知，通过对总体的9次观察算得样本均值为1960，样本方差为，问在显著性水平情况下，能否认为的值等于2000？ 解： 令

43、 故接受域为 ；拒绝域为 因故不拒绝華東理工大學继续教育学院成人教育概率论与数理统计考试卷51、 选择题1、设随机事件与满足，则（D）不成立。（A） （B）与互不相容 （C） （D）2. 假设事件与满足，则下列结论中正确的是（B）。（A）是必然事件；（B）；（C）；（D）.3. 已知，则（A）。（A）1/4; （B）1/3; （C）1/2 ; （D）1/12. 4. 在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（A ） A. BC D 5已知二维随机变量的边缘分布都是正态分布，则结论（A）不正确.A一定服从二维正态分布； B；C可能服从二维正态分布； D 以上结论不都正确。6、已知，则与的

44、协方差 （ D ）。（A）0.2; （B）0.3; （C）0.4; （D）0.5 7.样本取自总体，已知，则可作为的无偏估计的是（A）。（A）当已知时，; （B）当已知时，;（C）当未知时，; （D）当未知时，.2、 填空题1、 设, 则当与互斥时，_0.2_,当与独立时，_1/3_。2. 设随机变量的密度函数为： 且 ，则： 的值分别等于： 1 和 2 。3. 设某班的考试成绩，已知，则 76.832 。4连续型随机变量的密度函数为,则 2.4 。5.设 则的相关系数 .6将一枚硬币重复投掷n次,设，分别表示正面向上和反面向上的次数,则与的相关系数为_-1_. 7、设来自正态总体的容量为10

45、的简单随机样本的样本方差为11，则的方差的置信度为0.95的置信区间为（5.204, 36.667）.三、设随机变量X的分布函数为,求: (1)A;(2);(3).解: (1)由连续性得A=1;(2);(3),四、已知两维随机变量的概率分布为 0 101/81/81a5/8求： （1）. 常数a；（2）. ,的边缘概率分布；（3）. 期望和，方差和;（4）. ,的相关系数 ；（5）. 问,是否相互独立？为什么？解：（1）由 ; （2） 0 1P1/43/4 0 1 P1/43/4（3）=3/4，=3/4，=3/16，=3/16; （4）; （5）。五、设是来自总体的一个简单随机样本，的概率密度函数为，其中，求参数的极大似然估计与