2.5一元二次方程根与系数的关系-北师大版九年级数学上册教学案

1、北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系教学案【教学目标】1了解一元二次方程的根与系数的关系2会利用根与系数的关系解决简单问题教学重点：根与系数的关系及其应用教学难点：根与系数的关系的应用【教学过程】一、知识准备一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式是：x (其中b24ac0) 一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种表示形式，除此之外，一元二次方程的根与系数之间的关系还有另外的表示形式二、探索新知1已知方程2x23x10的两个根是x1，x21，a2，b3，c1，那么 x1x21，x1·x2×1；而， 你发现它们之间的关系

2、了吗？2已知方程3x28x30的两个根是x1，x23，a3，b8，c3， 那么 x1x23，x1·x2×(3)1；而， 1我们可以发现：x1x2，x1·x2 对于任何一个一元二次方程，上述这种关系是否都成立呢？推导公式一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，有两个实数根：x1，x2； 那么x1x2；x1·x2·得出结论如果方程ax2bxc0(a0)有两个实数根x1，x2，那么x1x2，x1·x2数学上把它称为一元二次方程的根与系数的关系，也称为“韦达定理”三、例题讲解例1 不解方程，利用方程的根与系数的关系，求方程的两根

3、之和、两根之积 (1)x27x60； (2)2x23x20解：(1)a ， b ， c ，b24ac ，方程 设方程的两个实数根为x1，x2，那么x1x2 x1·x2 (2) 2x23x20例2 已知方程x2kx70的一个根是3，求方程的另一个根（提示：可以考虑用两种方法）例3 已知关于x的一元二次方程x2(2k3)xk20有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若1，求k的值解：（1）由题意得(2k3)24k20，解得k（2）x1x2(2k3)，x1x2k2，1k22k30，解得k13，k21经检验k13，k21都是原分式方程的根由（1）得k，k3四、随堂练习1

4、利用方程的根与系数的关系，求方程的两根x1，x2之和、两根之积：（1）x23x10； （2）3x22x50（3） （4）2已知一元二次方程5x2kx60的一个根是2，求另一个根及k的值3如果一个三角形两边的长分别等于方程x217x660的两个根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？4已知关于x的一元二次方程0（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且21，求m的值解：（1）关于x的一元二次方程0有实数根，b24ac（2m1）24（m22）4m90，m，m的最小整数值是2；（2）根据题意得：x1x22（2m1），x1x2m22，（x1x2）

5、2m221即（x1x2）24x1x2 m221，整理得：，m12，m26，m，故m的值为25已知关于x的方程x2(3k3)x2k24k20（1）求证：无论k为何值时，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x22x12x236，求k值及该菱形的面积思路分析：（1）计算根的判别式与0的关系，即可确定原方程根的情况；（2）根据一元二次方程根与系数的关系及已知可构造关于k的方程可求得k，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即x1x2解：（1）b24ac(3k3)24×1×(2k24k2)9k218k98k216k8k22k1(k1)2无

6、论k为何值时，(k1)20，无论k为何值时，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可得x1x23k3，x1x22k24k2，x1x22x12x236，2k24k22(3k3)36，2k210k280，k12，k27（不合题意，舍去）当k2时，菱形的面积x1x2×(3k3)五、本课重点知识总结1一元二次方程的根与系数的关系，也称为“韦达定理”：如果方程ax2bxc0(a0)有两个实数根x1，x2，那么x1x2 ，x1·x22利用方程的根与系数的关系，不解方程，就可以求方程的两根之和、两根之积答案例1 （1）x1+x2-7，x1·x26；（2）x1+x2，x1

7、83;x2-1；例2 k，另一个根为随堂练习：1（1）x1x23，x1·x21；（2）x1x2，x1·x2；（3）x1x2，x1·x2；（4）x1x23，x1·x212 k7，另一个根为3不可能4解：（1）关于x的一元二次方程0有实数根，b24ac（2m1）24（m22）4m90，m，m的最小整数值是2；（2）根据题意得：x1x22（2m1），x1x2m22，（x1x2）2m221即（x1x2）24x1x2 m221，整理得：，m12，m26，m，故m的值为25解：（1）b24ac(3k3)24×1×(2k24k2)9k218k98k216k8k22k1(k1)2无论k为何值时，(k1)20，无论k为何值时，原方程都有实数根