陶华君：极坐标与直角坐标的互化(教师版)

1、2.2 极坐标和直角坐标之间的互化授课人：陶华君i 知识教学点掌握极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法.2?能力训练点能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题 .3. 学科渗透点极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，有些一问题可用不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法.、 : n二、教材分析1. 重点：极坐标与直角坐标的互化公式及三个基本前提 .2. 难点：极坐标的灵活应用 .3.疑点：极坐标中的T 一 0，0 - 2 二是不是固定不变的？1. 活动：思考、问题、议论、练习 .2. 教具

2、：尺规、课件 .瘗泛，四、学习过程( 一) 、课前准备阅读教材 P11-P12 的内容，并思考下面的问题：1. 若点作平移变动时，则点的位置采用哪种坐标系描述比较方便 ? 答：对于点的平移、对称等问题，用直角坐标系解决方便 .2. 若点作旋转变动时，则点的位置采用哪种标系描述比较方便？ 答：对于点的旋转、辐射等问题，用直角坐标系解决方便 .3. 极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提是什么 ?(1) 极点与直角坐标系的原点重合；(2) 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ;(3) 两种坐标系的单位长度相同 .（二八新课导学：1 、探究 ?合作 ?展示【探究一】如何推导出极坐标与直角坐标互化

3、公式？【解析】：设 M是平面内任意一点，它的直角坐标与极坐标分别为：函数的定义可以得到如下两组公式：X =?COST,222= x y （c ? a ；=yl y =PSIn 日；tan=r （x0）L.X【说明 】：1. 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式；2. 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取3. 互化公式要满足三个前提条件?【探究二】如何应用极坐标与直角坐标互化公式？（ x,y ）和（几旳，则由三角M(x,y)（1）将点 M的极坐标 （4,- ）化成直角坐标；3【解析】：由互化公式得x = 4cos .=2= SI 3丿I 3丿小 4 in .所以，点 M的直角坐标为 （2

4、, -2 、 , 3）.（2）将点 M的直角坐标 （-1,1 ）化成极坐标 .【解析】 ' 27 2? 12=2,'= 、2,1聞八寸一 1 且点 M在直角坐标系中的第二象限,所以点 M的极坐标为 （-.2,3）4播下良好习惯，收获辉煌人生！2 、例题 ?解析 ?拓展【例题一】在极坐标系中，已知两点A（ 3, 】）， B（3, 】），求 A，B 两点间的距离 .2 6【解析】法一 （直角坐标法 ）：将 A（3, ）， B（3, ） 化为直角坐标为 A（ 0,3 ）， B（3, 3），B 两点间的距离为3.2622AO = B0 =3,NAOB=二所以 MOB为正三角形，3法二（

5、极坐标法 ）：如图，由题意可知二 AB|=3，所以 A，B 两点间的距离为3.【拓展 】在极坐标系中，已知两点A（匚可），BO°， 2 0，求 A，B 两点间的距离 .【解析】极坐标法：如图，在AOB中，手 NAOB = q - 日 2, AO =片,BO = P 2, 由余弦定理得：222|22AB = AO + BO 2 AO|BO cosNAOB = P：+ P, 2RR coS6日 2) , 所以 A，B 两点间【例题二】在极坐标系中 ，已知两点 A（6,，B（6,3 ）.求线段 AB 中点的极坐标 .|3的距离为 AB =J 冇百匸齐叵 con .【解析】法一 （直角坐标法

6、 ）：将 A（6,6 ），B（6, 奇） 化为直角坐标为A（3J3,3 ）， B（ 3,3肠）， 所以线段 AB的中点坐标是 C（33, 33）， v P 2= （3 密- 3）2 十严 3/ ?）2 =18 ， 3+33=3.2 ，tan2-3J3 -3烈韦A、3=t吨，2所以线段 AB中点的极坐标是（播下良好习惯，收获辉煌人生！法二 ( 极坐标法 ) ：如图，点 C是线段 AB的中点，而AOB是等腰直角三角形 ,ITTTZxOA，ZAOB， 所 以62. xOC ,IOC卜 '2|OA|=3 、. 24 612 I12 11所以线段 AB中点的极坐标是（ 3/2, ）.O3 、检测

7、 ?动手 ?强化2【强化 1】(1) 把点 M的极坐标 (8,) 化成直角坐标；(2) 把点 P 的直角坐标 ( 、.6, 2) 化成极坐标 .【解析】 ( 1) 由互化公式得x = 8COS2=-4 , y=8sin 2=4-. 3,3 3所以点 M的直角坐标为 ( 4,4.3) .Y = （、 . 6）2（- 迈）2 =8 ，所以 ?=2 2 ,呎 =畜" 鲁，又点 P 在直角坐标系中的第四象限，所以所以点 P 的极坐标为6【强化 2】在极坐标系中 ， 已知三点 M (2,- §),N(2,0),P(2? 3，E) ，判断 M,N,P 三点是 否在一条直线上?【解析】法

8、一 ( 直角坐标法 )兀M（2- ）, 川 2,0) ，"2 3， 化为直角坐标为M（1, - .3 ）, N（2,0）, P（3,、 3）.所以5-03 -2所以 M , N,P 三点在一条直线上 .法二 ( 极坐标法 ) ：如图，在OMN 中，M0 = NO =2, NMON =, 所以 MOB 为正三角形，3MO 昨 PO=23，MOP = 36 = 2, 所以PO 2/3=、.；3,?OMP ， OMP r/OMN ，所以 M,N,P 三点在一条直tan ZOMP =MO3线上 .（三）、小结评价：【小结评价 1】：本节课学习我们了极坐标与直角坐标的互化，具体内容有：1 、三

9、个基本前提是：_ ；2、极坐标化直角坐标 公式是： _ ；3、直角坐标化极坐标公式是：_ ；（直角坐标化为极坐标时，取T-0 ，0:2二）4、在极坐标系中A（订弓）， B（LR）0, ?2 0 两点间的距离是：【小结评价 2】：你有什么收获？写下你的心得及对自己、对这节课的评价：1、已经掌握的内容：_2、个人心得与质疑：_3、对自己、对这节课的评价：_ . _V 五、课后作业（一）、必做作业：点P1,-、3），则它的极坐标是（）1?（兀4兀兀4 兀A?（2,-）B. （2, ） C.r D. （2 飞）332?点M（- 1八3, ）则点M）的直角坐标是的极坐标为（(2, 3)JIA -D. (2,2k3),(k Z)3. 已知点的极坐标分别为兀V3A（3,）, B一3），C（4,，D（ C），求它们的直角坐标（ 2,2兀2H4. 在极坐标系中，已知两点A（ 3,），B（ 1, ），求 A，B 两点间的距离33( 二八选做作业：TE/3T、1. 若A(3, ) 3,B(4,)6，则|AB|= _,S. ABO二_ ?( 其中0 是极点)2. 已知点 A(2,3，试判断ABO的形状 .( 等腰直角三角形 ) ) ，BC2-) ， 0(0,0