嘉定区高三年级第一次质量调研数学

1、数学试卷（理科）考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效2答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码3本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1若（为虚数单位），则_2已知集合，则_3函数的最小正周期是_4一组数据，的平均数是，则这组数据的方差是_开始结束输出是否5在等差数列中，从第项开始为正数，则公差的取值范围是_6执行如图所示的程序框图，则输出的

2、的值为_（第6题图）7小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为_（结果用分数表示）8一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的体积是_9点是曲线上的一个动点，且点为线段的中点，则动点的轨迹方程为_10在中，已知，且最大边的长为，则最小边的长为_11将直线：，：，：（，）围成的三角形面积记为，则_12已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_13观察下列算式：，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_14设、，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程（）有实数解，则的取值范围是_二选择题（本

3、大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知，条件：，条件：，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16以下说法错误的是（ ）A直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D空间两条直线所成角的取值范围是17在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，有四个命题：存在实数，使点在直线上；若，则过、两点的直线与直线平行；若，则直线经过线段的中点；若，则点、在直线的同侧，且直线与线

4、段的延长线相交上述命题中，全部真命题的序号是（ ）A B C D18设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为（ ）A B C D三解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）设复数，其中，为虚数单位若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分如图，在三棱锥中，底面，PABC（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求三棱锥的表面积21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知

5、椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足OABMxy（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设数列的前项和为，已知（，、为常数），（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设，函数（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数

6、解，求实数的取值范围上海市嘉定区2013届高三一模数学试题（理科）参考答案与评分标准一填空题（每小题4分，满分56分）1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14二选择题（每小题5分，满分20分）15A 16C 17B 18D三解答题19（本题满分12分）方程的根为（3分）因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，（5分）所以，解得，因为，所以，（8分）所以，所以，故（11分）所以，（12分）GPABCFE20（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）（1）取中点，中点，中点，连结，则，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）（2分）连结，则，（3分）， （4分）又，所以（5分）

7、在中，（7分）故所以异面直线与所成角的大小为（8分）（2）因为底面，所以，又，所以平面，所以，（2分）所以、都是直角三角形（3分）所以，（6分）21（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）OABMxy（1）将与代入椭圆的方程，得，（2分）解得，（5分）所以椭圆的方程为（6分）（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时（1分）同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时（2分）若点、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为设，由，解得，（4分）所以，同理可得，所以（7分）综上，为定值（8分

8、）22（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）由题意，得，（2分）即 ，解得 （4分）（2）由（1）知，当时，（1分），得（），又，（3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列（4分）所以的通项公式为（）（6分）（3）由（2），得，（1分）由，得，即，即因为，所以，所以且， （*）因为，所以或或（2分）当时，由（*）得，所以； （3分）当时，由（*）得，所以或； （4分）当时，由（*）得，所以或或 （5分）综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：， （6分）23（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）当，时，（2分）作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为（4分）Oayx（2）（1分）当时，因为，所以，所以在上单调递增（3分）当时，因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减（5分）综上，函数的单调递