《第二讲极限》word版

1、.第二讲 极限数学分析是以极限概念为基础，以极限理论为工具对函数进行研究的一门学科，研究了函数的连续性、可微性、可积性等性质。一、极限思想极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想是数学分析的基本思想，数学分析中一系列重要概念，如函数的连续、导数、以及定积分等都借助于极限来定义的，可以这样说“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。（1） 极限思想的萌芽刘徽的割圆术、古希腊人的穷竭法，16世纪荷兰数学家斯泰文借助集合直观，改进了古希腊人的穷结法，大胆应用极限思想思考问题。（2） 极限思想的发展极限思想的发展是与微积分的建立密

2、切联系。社会背景：16世纪，资本主义萌芽，需要解决实际生产和技术问题，初等数学无法解决，要求数学提供一种新工具，用以描述和研究运动和变化的过程。牛顿用极限思想研究瞬时速度：路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于0，得到物体的瞬时速度。莱布尼茨用极限的思想研究曲线的切线：（这在数学分析书介绍很详细）因此有这样一说：切线是割线的极限。他们运用的极限概念，接近于极限的直观的语言描述：如果当无限增大时，无限地接近于常数，称数列以为极限。这个描述，容易接受，但没有量化，就不能作为科学论证的逻辑基础，正因为如此，才受到了英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的激烈攻击。（3） 极限思

3、想的完善极限思想的完善与微积分的严格化联系在一起。解决“无穷小”在“零”与“非零”之间的转化经过了大约一个世纪的完善。18世纪，罗宾斯、达朗贝尔、波尔查诺等人先后明确表示必须将极限作为微积分的基础，并各自对极限作出定义。19世纪，法国数学家苛西在前人的基础上，比较完整地阐述了极限概念和极限理论，他在分析教程中把无穷小视为以“0”为极限的变量。这就澄清了无穷小“似0非0”的模糊认识。魏尔斯特拉斯提出了极限的静态概念，即我们现在数学分析书上严格的极限概念：如果对任何，总存在正整数，当时，不等式成立，则称数列以为极限，记作这个定义，借助不等式，通过与之间的关系，定量地、具体地刻画了两个无限过程“”之

4、间的联系。这个定义也体现哲学中“静态”与“动态”有机地结合在一起。因此，这个定义是严格的，可以作为科学论证的基础。（4） 极限思想的思维功能极限思想在许多学科中有着广泛的应用，因为它揭示了变量与常量（动态与静态）、无限与有限的对立统一关系。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从量变认识质变，从近似到精确。无限与有限有本质的区别，比如对求和而言，有限个数的和是一般的代数和，而无限个数的和不是一般的代数和，而是将其定义为“部分和”的极限。二、极限的概念与性质1、数列极限定义1（定义）各类变形定义2（邻域定义）定义3（从集合角度），集合是有限集。注意：1、定义3对理解上、下极

5、限，子列的极限等概念非常有用；2、定义3不能叙述为：集合是无限集。2、数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、四则运算性质3、函数极限自变量，可为函数，可为定常数，两类定义（1、定义；2、邻域定义）注意：1、函数（当时）的极限与函数是否在有函数值无关，换句话说，考虑函数（当时）的极限时不用考虑函数在这点的值，在考虑函数连续时才考虑函数在该点的值。 2、与数列极限有类似的性质，只不过（局部）有界、（局部）保号三、极限的存在条件一个函数或一个数列，其极限是否存在，它存在需要什么条件？在数学分析的研究中占有非常重要的地位，同时，也只有极限存在了，与极限有关的问题才能得以进一步讨论。1、 迫敛性（数列

6、、函数）2、 单调有界性（数列）3、 苛西准则（数列、函数）由对偶原则：不收敛4、 归结原理数列极限与函数极限之间的联系例1证明数列收敛。注意：，这是一个重要极限，证明该数列收敛的方法很多。证法1 先证明：设，有（1） （用拉格朗日中值定理）由（1）有 ， （2）令，代入（2）得故数列为单调增加数列。又令，代入（2）得从而数列有界，由单调有界原理知数列收敛。证法2（利用均值不等式：，等号成立的充分必要条件是）对任意的正整数，由均值不等式从而故数列为单调增加数列。又于是，故数列有界，由单调有界原理知数列收敛。证法3（用Bernoulli不等式：，等号成立的充分必要条件是）令，则故数列为单调增加数

7、列。又从而，故数列有界，由单调有界原理知数列收敛。证法4（利用确界原理）先证不等式事实上，由均值不等式，.固定不等式中的一个，表明数列有上界，由确界定理，有上确界于是，故由迫敛性证法5（用初等方法）将展开逐项比较，可证得数列单调有界。例2证明数列收敛，其中思路：分三种情形讨论。例3设，数列满足，证明例4设，证明数列的极限存在，并求极限。说明：对于数列，如果满足，则必有，此时称满足这个条件的数列为压缩变差数列。例5（作业）设数列满足，证明数列收敛，并求该极限。例6设，证明数列收敛。（第二届全国大学生数学竞赛第1题部分）例7（作业）若，证明数列都存在，且它们相等。例8数列收敛其子列都收敛于同一极限

8、。回顾：数列与子列的关系（1） 数列收敛任一子列都收敛（一定收敛于同一个数）。（2） 数列有界，必有收敛的子列。（致密性定理）例9设，证明数列收敛，并求极限。思路：用例8的结论。例10证明不存在。法1：思路，用例8反证法2：用苛西准则的否定形式证明。例11（作业）设证明：（1）； （2）； （3）例11（作业）用单调有界原理证明数列收敛，并求其极限。例12（作业）对每个自然数，方程在闭区间中有唯一根（怎么证明？），求例13证明函数在处不收敛。证法1：思路，归结原理证法2：思路，苛西收敛准则例14设为有限数，的充分必要条件是对每个严格增加的正无穷大数列，都有例15（类似于单调有界原理）证明：在区

9、间上单调有界函数一定存在极限证法1：思路，用单调有界原理与例14；证法2：确界原理作业：1、证明2、求提示：3、求4、设，求5、证明：Dirichlet函数四、极限的一些方法极限的存在性与求极限的方法是不能完全分开的。求极限的方法，从本质上讲，也是在从某种角度去探讨极限的存在性，只不过这里的极限的存在是直接用计算的方法找得出来的。在构造主义学派里，这种“存在”才是“实实在在”的存在，他们不承认其他的存在。因此，我们将这部分单独列出来。1、一般方法：定义，性质，迫敛性，单调有界原理，归结原理，利用函数的连续性，重要极限，苛西准则，罗必达法则，等价无穷小例1求极限例2求极限（高等数学考研题）2、O

10、.Stolz公式定理1（型）设严格递增，且，若，则其中可为有限数，证明：（只对为有限数作证明）由条件，有 又严格递增，则 （1）固定，在（1）式中的分别用去替代，得到个不等式，将这些不等式加在一起，得 从而 （2）（目标：）又 （强行靠用（2）式）由于，存在，当时，下面两个不等式同时成立 和 ，则当时，有定理2（型的Stotz定理）设，且数列严格单调减少，又，则有其中可为有限数，（证明方法与定理1类似）。例3设，则证法1、用极限的定义；证法2：用定理1；例4设，证明提示：先证，再利用定理1。例5已知，证明提示：用定义、定理1以及例6设，求例7设，证明提示：，用定理1。例8设，且（可为有限数、）

11、，则例9若，且存在，则注意：该题目给出了正项级数“比值判别法”与“根值判别法”之间的联系。作业：1、设，求2、证明（为正整数）3、求4、证明：该题目表明：（1） （2）调和级数是发散的。有兴趣的同学，选做裴礼文编的数学分析中的典型问题和方法第6768页练习1.4和谢惠民等编的数学分析习题课讲义（上）第37页练习题。3、Toeplitz定理无穷三角矩阵 为给定的数列，令定理3（Toeplitz定理）若 （1）； （2）； （3）； （4），则证明：直接用极限的定义证明。例1设，且，证明例5（前面）已知，证明（能否用定理3去证明？）如果用定理3去做，必须先验证定理3的条件3，根据组合数的特点，即需

12、要证明（不容易证明），由高斯判别法知，级数发散。注意到：（1）令，则； （2），故； （3）著名的沃利斯（Wallis）公式： 得到所以例5可以用定理3去证明。4、不动点方法若方程有解，称是函数的不动点。命题1（不动点与零点的关系）：是函数的不动点是函数的零点。命题2（压缩映象原理）若函数满足（1）；（2）则函数在内有唯一不动点。证法一、先利用条件证明函数连续，再利用命题（1）及零点存在定理证明不动点存在，再用条件证明唯一性证法二、任取中一点，记为，构造数列，去证明数列收敛即可注意：（1）压缩映象原理与Lipschitz条件联系在一起的；Lipschitz条件：函数定义在上，使得都有 （2）函

13、数在上满足Lipschitz条件函数在上一致连续； （3）证明方法二给出了一中证明数列极限的方法，只需要由递推公式构造函数即可。 （4）在构造的函数可导的条件下，还可用拉格朗日中值定理 （5）还可以用这种方法构造的函数判定数列的单调性。例1设，证明数列的极限存在，并求极限。注意：该例前面已经给出两种方法。例2设，证明数列收敛于方程的唯一零点。（第二届全国大学生数学竞赛第1题）例3设，数列满足，证明注意：该例前面用单调有界原理证明。5、定积分定义（求和式的极限）定积分的极限定义：，特别：（1）当时，有 （2）情形可以用定积分的换元法变形为例1例2例3例4例5例6提示：，作差再计算。6、 罗必达法则与泰勒展式、等价无穷小罗必达法则：（回顾）泰勒展式：（回顾）等价无