几何模型之一角平分线和线段垂直平分线问题

1、课 题几何模型之：角平分线和线段垂直平分线问题教学内容知识框架1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点

2、位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分

3、线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.【例题精讲】B针对性练习：例1、已知： PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它

4、们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分ADC，求证：AE平分BAD.课堂笔记：B针对性练习：如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF。例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，且BAD与BCD互补，求证：ADCD.课堂练习：1. ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则A

5、B与CD之间的距离等于_。已知：如图，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 。求证：M B=MC7、角平分线、平行线、等腰三角形综合：1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： 图甲a、 如图甲：一直线与角的一边平行b、 如图乙：一直线与角的平分线平行432ODECBA1图乙2等腰三角形与角平分线往往出现平行线a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3等腰三角形与平行线往往出现角平分线a、如图甲：与一腰平行b、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发

6、现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：321IEDABC例1、如图1：已知在ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE/BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。13ABCDEI图（2）2例2、如图2：已知I是ABC的内心，DI/AB交BC于点D，EI/AC交BC于E。求证：DIE的周长等于BC。4321FEDMCBA例3、如图3：已知在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE/BC，交AB于点E，交A

7、C于点F，求证：EF = BECF。例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分线交AD于点E， 的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。求：的度数。EODABC例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分ADC，交BC于点E，BDE=150，求COE的度数。例6、在ABC中，A DB C于点D ，点E在B C的延长线上，且，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。例7、3CBAED12如图：BD是角平分线DE/BC，交AB于点E。求DE之长。8、角平分线类问题常用思路：1、 轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。思路和方法：边角

8、等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形3、 定义：带来角相等。4、 补充性质：如图，在ABC中，AD平分BAC，则有AB:AC=BD:DC针对性例题：例题1：如图，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求证：DCAC例题2：如图，在ABC中，A等于60°，BE平分ABC，CD平分ACB求证：DH=EH例题3：如图1，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求证：AD=DC例题4 已知：如图5，在ABC中，C=90°,AC=BC,AD平分CAB.求证：AC+C

9、D=AB9、角平分线定理使用中的几种辅助线作法：一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180°。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=210、与三角形的角平分线有关的结论的探究：探究一：在中，A，B的平分线交于点P，试探究BPC与A的关系？探究二：在中，BP是ABC的平分

10、线，CP是ABC的外角ACE的平分线，试探究：BPC与A的关系？ 探究三：在中，BP， CP分别是ABC的两个外角的平分线，试探究：BPC与A的关系？11、角平分线携“截长补短”显精彩：图1-1“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1 如图1-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.例2 已知，如图2-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.图2-1求证：BAP+BCP=180°例3 已知：如图3-1，在ABC中，C2B，12.图3-1求证：AB=AC+CD

11、.图5图3练习：如图5所示，在ABC中，BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB于E，并且AB>AC。求证：BEAC=AE。12、综合练习：EMDFCBA图11、ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF2、四边形ABCD中，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求证：A+C=180°3.中，的垂直平分线交于，交于，于，求的长4.分别是锐角三角形ABC的，的平分线，于，于，试说明：（1）；（2）4.如图所示，已知是的角平分线，垂足分别是，求证：垂直平分四、探索题1.如图，在中，是的平

12、分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）2.如图所示，在等腰中，（1）请你作出两腰的垂直平分线（2）若边的垂直平分线与，分别交于点，边上的垂直平分线与，分别相交于点，则是什么形状？你能证明吗？（3）连结，DG与BC有什么关系？（4）若，试求的周长3.用三角尺画角平分线：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线请解释这种做法的道理你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理1如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外

13、角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是2如图，在ABC中，B=300，C=900，AD平分CAB，交CB于D，DEAB于E，则BDE=3如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则BPD=4如图，已知ABCD，0为CAB、ACD的平分线的交点OEAC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于5已知RtABC中，C=900，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为( )(A)18 (B)16 (c)14 (D)126如图，M

14、PNP，MQ为NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是( )(A)TQ=PQ (B)MQT=MQP (c)QTN=900 (D)NQT=MQT7如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线说明它的道理8如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC求证：BE=CF9如图，C、D是AOB平分线上的点，CEOA于E，CFOB于F 求证：CDE=CDF10如图，ADDC，BCDC：，E是DC上一点，AE平分DAB (1)如果BE平分ABC，求证：点E是DC的中点；

15、(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分ABC11如图，ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R、S若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：AS=AR；PQAR；BRPCSP其中正确的是( ) (A) (B) (C) (D)12如图，ABC中，AB=AC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：AD上任意一点到B、C的距离相等；AD任意一点到AB、AC的距离相等；ADBC且BD=CD； BDE=CDF其中正确的是( )(A) (B) (C) (D)13(山东竞赛题，2003)如图，在RtABC中，ACB=900，CAB=300，ACB的平分线与ABC的外角平分线交于E点，则AEB=( )(A)500 (B)450 (C)400 (D)35014如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个15如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等16如图，C=900，AC=BC，AD是BAC的角平分线求证：AC+CD=AB 17如图，在ABC中，AB=BC=AC，ADBC于D，E、F分别为AB、AC中点求证：DA平分EDF18如图，ABC中，ABC=1000，ACB的平分线交AB于E，在AC上取一