北京市朝阳区高三二模数学理科试卷朝阳二模

1、数学试卷（理工类）2012.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则= ABCD2.复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限3.已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为ABCD4.在中，且的面积为，则等于 A或BCD或5.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参

2、数）以原点为极点， 以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有 A个 B个 C个 D无数个6.下列命题：函数的最小正周期是；已知向量，则的充要条件是；若（），则. 其中所有的真命题是 ABCD7.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取 值范围是ABCD8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影,其投影面积的最大值是A.B. C.D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.x=1,y=1,z=2z10开始结束是否z=x+y输出zy = z x = y（第10题图）9.二项式展开式中的常数项为，则实

3、数=_.10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是_.11.若实数满足则的最小值是.12.如图，是圆的直径，于，且CFBAEDO，为的中点，连接并延长交圆于若，则_，_ 13.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为（）时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入年总投资）14.在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足， 第1行 1 2 4 8 第2行 2 3 5 9 第3行 3

4、 5 8 13 ，则此数表中的 第5行第3列的数是；记第3行的 数3，5，8，13，22，为数列，则数列的通项公式为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15.（本小题满分13分） 已知函数的图象过点. （）求的值； （）在中，角，的对边分别是，.若， 求的取值范围16.（本小题满分13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球. （）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率； （）记X为取出的

5、3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望.17.（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，ECBDMAF. （）若点在线段上，且满足,求证：平面； （）求证：平面； （）求二面角的余弦值.18.（本小题满分14分）已知函数 （）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（）讨论函数的单调性；（）当时，记函数的最小值为，求证：19.（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，已知点，为动点，且直线与直线的斜率之积为. （）求动点的轨迹的方程；（）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围.20（本小题满分13分） 已知数列满足，且当时，令

6、（）写出的所有可能的值；（）求的最大值；（）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在， 说明理由北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（理工类）2012.5一、选择题：题号12345678答案BBCCBDAD二、填空题：9. 10.13 11. 12.， 13. 16 14.16，三、解答题：15.（本小题满分13分） 解：（）由3分因为点在函数的图象上，所以，解得. 5分 () 因为，所以=2，所以，即. 7分又因为，所以，所以. 8分又因为，所以，.10分所以，所以.12分所以的取值范围是.13分16.（本小题满分13分） 解：（）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为

7、事件A，则. 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为.4分 （）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则. 答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为.8分 （）X的取值为2,3,4,5.，.11分 所以X的分布列为X2345PX的数学期望.13分17.（本小题满分14分）EDCMAFBN证明：（）过作于，连结，则，又，所以.又且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，xzECBDMAFy所以平面.4分（）因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得.显然.则，所以.即，故平面. （）因为，所以与确定平面，由已知得，. 9分

8、因为平面，所以.由已知可得且，所以平面，故是平面的一个法向量.设平面的一个法向量是.由得即令，则.所以.由题意知二面角锐角，故二面角的余弦值为. 14分18.（本小题满分14分）解：（I）的定义域为. 根据题意，有，所以， 解得或. 3分（II）. （1）当时，因为，由得，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，因为，由得，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增.9分（III）由（）知，当时，函数的最小值为， 且.， 令，得.当变化时，的变化情况如下表：0极大值是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点. 所以. 所以，当时，成立. 14

9、分19.（本小题满分13分）解：（）设动点的坐标为，依题意可知， 整理得. 所以动点的轨迹的方程为.5分（II）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为. 6分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.将代入并整理得，.设，则，.设的中点为，则， 所以. 9分 由题意可知， 又直线的垂直平分线的方程为.令解得 . .10分当时，因为，所以； 当时，因为，所以. .12分综上所述，点纵坐标的取值范围是. .13分20（本小题满分13分）解:（）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：（1）此时；（2）此时；（3）此时；（4）此时；（5）此时；（6）此时； 所以，的所有可能的值为：， 4分（）由， 可设，则或（，），因为，所以 因为，所以