二项式定理2教师

1、讲义编号_ 学员编号：年 级： 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课 题二项式定理(三)授课日期及时段教学目的1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题教学内容一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式：3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩

2、上两个数的和2二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值，相对于的增减情况由决定，当时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则三、讲解范例：例1在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，即，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性

3、质（3）及例1知.例2已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）当时，展开式右边为，当时，（2）令， 令， 得：，.（3）由展开式知：均为负，均为正，由（2）中+ 得：， 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数解：=，原式中实为这分子中的，则所求系数为例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数解：在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为240例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意3n(n-1)(n-

4、2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又 令，此所求常数项为180四、课堂练习：（1）的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；（2）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为（3）+，则（ ）AB.C.D.（4）已知：，求：的值答案：（1），；（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，；（3）A五、小结 ：1性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数

5、和的一种重要方法二项式定理(四)二、讲解范例：例1 设，当时，求的值解：令得：，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2求证：证（法一）倒序相加：设又， 由+得：，即（法二）：左边各组合数的通项为，例3已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，（1），展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，（2）设展开式中第项系数最大，则，即展开式中第项系数最大，例4已知，求证：当为偶数时，能被整除分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，

6、化为含有因数的多项式，为偶数，设（）， （） ，当=时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除三、课堂练习：1展开式中的系数为，各项系数之和为2多项式（）的展开式中，的系数为3若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）4某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5 B.在56之间 C.在68之间 D.在8以上5在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）A.0 B. C. D.6求和：7求证：当且时，8求的展开式中系数最大的项 答案：1. 45, 0 2. 0 提示：3. B 4. C 5. D 6.7. (略) 8.四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：1已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而展开式的系数的最大