专转本高数 第一节 不定积分的概念与性质

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2【例】【例】 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. . )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0( 内内的的原原函函数数. . 1. .【定义】【定义】如如果果在在区区间间I内内， 可导函数可导函数)(xF的的 即即Ix ， 都都有有)()(xfxF 或或dx

2、xfxdF)()( ， 那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf 导函数为导函数为)(xf， 或或dxxf)(在在区区间间 I内内的的 原原函函数数. . 一、原函数与不定积分的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3【原函数存在定理】：【原函数存在定理】：简言之简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数 ( (存在性存在性) ) . .其证明将在其证明将在下一章中讨下一章中讨论论【问题】【问题】 ( (1) ) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？【例】【例】 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C( (2) ) 若不唯一它们之间有

3、什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？) ). .( () )( (都都有有使使) ), ,( (内内存存在在可可导导函函数数在在区区间间那那么么内内连连续续, ,在在区区间间如如果果函函数数xfxFIxxFIIxf ,)(【问题】【问题】 满足何种条件的函数有原函数？满足何种条件的函数有原函数？ 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4【关于原函数的说明】【关于原函数的说明】（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都是都是)(xf的原函数的原函数. . （2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则

4、0)()(CxGxF （ 为某个常数）为某个常数）0C【证】【证】 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxf由由P129 定理可知定理可知0)()(CxGxF （ 为某个常数）为某个常数）0C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数2. . 【不定积分的定义】【不定积分的定义】在区间在区间I内内， CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意 常数项的原函数常数项的原函数 称称为为)(xf在在区区间间I内内的的 不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. . 机动机

5、动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6【例【例1】求求.5dxx 【解】【解】,656xx .665Cxdxx 【解】【解】【例【例2】求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7【例【例3】设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. .【解】【解】 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数

6、. . ,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. . 显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF【结论】【结论】 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. .3. . 【不定

7、积分的几何意义】【不定积分的几何意义】CxF )(4. . 【不定积分与微分的关系】【不定积分与微分的关系】Flash动画演示动画演示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9【实例】【实例】 xx 11.11Cxdxx 【启示】【启示】 能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？【结论】【结论】 既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式. .)1( 二、 基本积分表机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10【基本积分表【基本积分表 】 kCkxkdx

8、()1(是常数是常数);););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3( Cxxdx【说明】【说明】 , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx 、两式合并两式合并机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12

9、xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsh)14(;chCx xdxch)15(;shCx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13【例【例4】求积分求积分.2dxxx 【解】【解】dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2 2）Cxdxx 11 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14 dxxgxf)()(;)()( dxxgdxxf【证】【证】 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()

10、().()(xgxf 等式成立等式成立. .（2 2）此性质可推广到有限多个函数之和的情况）此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、 不定积分的性质右端含有积分号，故有任意常数右端含有积分号，故有任意常数【注注】（1）即和的积分等于积分的和；即和的积分等于积分的和；1. .【可加性可加性】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15 dxxkf)(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k ( (思考：为什么思考：为什么 ？) )0 k【特别注意】【特别注意】 dxxgxf)()( dxxgxf)()( dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()(2.【数乘性数乘性】

11、【注注】可加性和数乘性统称可加性和数乘性统称线性性质线性性质.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16【例【例5】求积分求积分【解】【解】.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 性质（性质（1）逐项积分）逐项积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17【例【例6】求积分求积分【解】【解】.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx 机动机动 目录目录 上页上页 下

12、页下页 返回返回 结束结束18【例【例7】求积分求积分【解】【解】.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19又如教材又如教材【例【例13】 dxxx241 求求积积分分【解】【解】 dxxx241 dxxx24111 dxxx)111(22Cxxx arctan33变形化为和式变形化为和式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20【例【例8】求积分求积分【解】【解】.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1co

13、s2112 dxx2cos121.tan21Cx 【说明】【说明】以上几例中的被积函数都需要进行恒以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式等变形，才能使用基本积分公式. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21又如又如(1)(1) xdx2tan先三角恒等变换先三角恒等变换1sectan22 xx再逐项积分再逐项积分 dxx2sin )2(2先三角恒等变换先三角恒等变换)cos1(212sin2xx 再逐项积分再逐项积分 dxxx2cos2sin1 )3(22 dxx2)2sin(1 xdx2csc4Cx cot4等等等等机动机动 目录目录 上页上页

14、 下页下页 返回返回 结束结束22【解】【解】,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23基本积分表基本积分表(1)(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、 小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24【思考题】【思考题】符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 机动机