圆锥曲线的起源

1、起源编辑2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的高的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,那么可得到双曲线1 。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线，把双曲线叫做“超曲线，把抛物线叫做“齐曲线。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。定义编辑几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线coni

2、c sections。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线。7) 当平面与圆锥面两侧都相交

3、，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程 的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。焦点-准线观点严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，那么到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：1) e=0，轨迹为圆；2) e=1即到P与到L距离相同，轨迹为抛物线2 ；3) 0<e<1，轨迹为椭圆；4) e>

4、;1，轨迹为双曲线。3概念编辑以下以纯几何方式表达主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大局部性质是在焦点准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。考虑焦点-准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点

5、的弦称为焦点弦。对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点准线的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，假设对边两两不平行，那么该六边形对边延长线的交点共线。对于退化的情形也适用Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。4定理编辑由比利时数学家G.F.Dan

6、delin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。即有一以Q为顶点的圆锥蛋筒，有一平面'你也可以说是饼干与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个或者另一个在无穷远处，那么切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面与'之交为直线d曲线为圆时d为无穷远线，那么d为准线。图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面与的交角为，圆锥的母线如PQ与平面的交角为。设P到平面 的垂足为H，H到直线d的

7、垂足为R，那么PR为P到d的垂线三垂线定理，而PRH=。因为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。如此那么有：PR·sin=PE·sin=PF·sin=PH其中：PF/PR=sin/sin为常数。5历史编辑对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即 ，那么，从而求得。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影

8、的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的创造在古代就已失传。早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼Apollonius，前262前190。他与欧几里得是同时代人，其巨著?圆锥曲线?与欧几里得的?几何原本?同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。在?圆锥曲线?中，阿波罗尼总结了前人的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此根底上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、

9、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1所示。在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图2，给定圆BC及其所在平面外一点A，那么过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴未画出，轴未必垂直于底。设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P，PP未必是圆锥曲线的轴，PPM是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ是圆锥曲线平行于DE的弦，同样QQ被PP平分，即VQ=QQ。现作AFPM，交BM于F，再在截面上作PL

10、PM。如图3，PLPP对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，那么满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论说明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线、“超曲线和“齐曲线。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代数学符号来表示：趋向无穷

11、大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的极限形式。在阿波罗尼的?圆锥曲线?问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒Kepler,15711630继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略Galileo,15641642得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动

12、的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年蒙蒂Guidobaldo del Monte,15451607椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都

13、可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，假设左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个符合逻辑的直观根底。随着射影几何的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与锥面有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格Desar

14、gue15911661、帕斯卡Pascal，16231662和拉伊尔Phailippe de La Hire，16401718得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向开展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而到达抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况

15、下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了?分析引论?，这是解析几何开展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一：继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地开展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等。总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识

16、事物的目的和规律。6性质编辑椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点焦点的距离和等于定长2a的点的集合设动点为P，两个定点为F1和F2，那么PF1+PF2=2a。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。标准方程：1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中，。2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：其中，。参数方程：；为参数，02)双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点焦点的距离差等于定长2a的点的集合设动点为P，两个定点

17、为F1和F2，那么PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。标准方程：1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asec；y=btan 为参数 )抛物线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。参数方程x=2pt² y=2pt (

18、t为参数 t=1/tantan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率特别地，t可等于0直角坐标y=ax²+bx+c 开口方向为y轴，a0 x=ay²+by+c 开口方向为x轴，a0 )离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为

19、抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。极坐标方程1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：其中l表示半径，e表示离心率；2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。3 焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y，那么焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+exP在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey

20、|PF2|=a+ey抛物线|PF|=x+p/2切线方程圆锥曲线上一点P ， 的切线方程：以 代替 ，以 代替 ；以 代替 ，以 代替即得椭圆： ；双曲线： ；抛物线：焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。椭圆：双曲线：抛物线：p焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。设F、F分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PFF能构成三角形。假设FPF=，那么椭圆焦点三角形的面积为 ；双曲线焦点三角形的面积为通径圆锥曲线中，过

21、焦点并垂直于轴的弦称为通径。椭圆的通径：双曲线的通径：抛物线的通径：2p比照圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)y²=2px (p>0)范围x-a,ay-b,bx(-，-aa,+)yRx0,+)yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)【其中c

22、8;=a²-b²】(c,0),(-c,0)【其中c²=a²+b²】(p/2,0)准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线y=±(b/a)x4 离心率e=c/a,e0,1)e=c/a,e1,+e=1焦半径PF=a+exPF=a-exPF=ex+aPF=ex-aPF=x+p/2焦准距p=b²/cp=b²/cp通径2b²/a2b²/a2p参数方程x=a·cosy=b·sin，为参数x=a·secy=b·

23、tan，为参数x=2pt²y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(x0,y0的切线方程x0·x/a²+y0·y/b²=1x0x/a²-y0·y/b²=1y0·y=p(x+x0)斜率为k的切线方程y=kx±(a²·k²+b²)y=kx±(a²·k²-b²)y=kx+p/2k中点弦问题圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程：1、联立方程法。用点斜式设出该弦的方程斜率不存在的情况需要另外考虑，与圆锥曲线方

24、程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。2、点差法代点相减法设出弦的两端点坐标x，y和x，y)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得(x+x)(x-x)/a²+(y+y)(y-y)/b²=0由斜率为y-y)/(x-x，可以得到斜率的取值使用时注意判别式的问题统一方程平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示：其中，0,2)，p>0，e0。e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到准线距离的抛物线。其中 与极轴夹角A为抛物线顶点。0

25、<e<1时，表示以F1(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的椭圆。其中 与极轴夹角。e>1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的双曲线。其中 与极轴夹角。e=0时，表示点F(g,h)。五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如圆等。附：当e0时，F(g,h)对应准线方程：7判别法编辑设圆锥曲线的方程为Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0|A B D|= |B C E| , =|A B| , S=A+C

26、, 称为二次曲线不变量(=b²-4ac)|D E F| |B C|>0=0有一实点的相交虚直线>00S<0椭圆>00S>0虚椭圆<0=0相交直线<00双曲线=00抛物线=0=0D²+E²-AF-CF>0平行直线=0=0D²+E²-AF-CF=0重合直线=0=0D²+E²-AF-CF<0平行虚直线8CGY-EH定理编辑CGY-EH定理又称圆锥曲线硬解定理5 是一套求解椭圆双曲线与直线相交时、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的简便算法

27、.定理内容假设曲线 与直线A+By+C=0相交于E、F两点,那么:其中  为一与同号的值， 。定理说明应用该定理于椭圆 时,应将 代入。应用于双曲线 时,应将 代入,同时 不应为零,即不为零。求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知与'的值不会因此而改变。定理补充联立曲线方程与y=kx+ 是现行高考中比联立Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量

28、计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。假设曲线 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,那么:这里的 既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：假设曲线 为椭圆 ,那么假设曲线 为双曲线 ,那么由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分省略号的内容需要考生自己填写：联立两方程得二次式子*所以x1+x2=，x1x2=；所以|x1-x2|=x1+x22-4x1x2=此时代入、式得到一个大式子，但不必化简化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长 了。定理简证设曲线x2/m+y2/n=1与直线 A+By+C=0相交于E、F两点，联立式可得最终的二次方程：(A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n)x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n)=4mnB2 (-C2)对于等价的一元二次方程的数值不唯一,且 的意义仅在于其与零的关系,故由4B2>0恒成立,那么可取与同号的'=mn(-C2)作为的值。3 由|EF|=(x_1-x_2)2+(y_1-y