小河打水、最短距离类型题精编

1、小河打水问题整理如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？【数学模型】已知：直线I和I的同侧两点A B。求作：点C,使C在直线I上，并且AC+ CB最小 作法：1、作点A关于直线I的对称点A'2、连结A'B交I于点Co点C就是所求的点。构建“对称模型”实现转化? 1.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和 BD 且AO BD若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河 边饮水再回家，最短距离是（）米。A. 750B. 1000C. 1500D. 2000河流 :Z/Y/4/:/Arz? 2

2、.在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M(x, 0)到定点P (5, 5)、Q(2, 1) 的距离分别为MP和MQ当M卉MQ取最小值时，点M的横坐标x=。? 3.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸 a b彼此平行，现在要建 设一座与河岸垂直的桥 CD问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？? 4.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+Q的长最短？B? 5.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方, 才能使从A、B到它的距离之和最短？居民区E居民区査? 6.已知点P、Q分别为AB AC上的点，在B

3、C边上求作一点尺使厶PQ周长? 7.如图， ABC中, AB=AC过点A的直线 MN BC,点P是MN±的任意点, 试说明PB+PO 2AB? 8. (2006苏州)台球是一项高雅的体育运动其中包含了许多物理学、几何 学知识。图是一个台球桌，目标球 F与本球E之间有一个G球阻挡。(1) 击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击 F球 他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H.并作出E球的运行路线；(不写画法，保留作图痕迹)(2) 如图，现以D为原点，建立直角坐标系，记 A(0, 4)，C(8，0)，E (4,3)，F (7, 1),求E球按刚才方

4、式运行到F球的路线长度.(忽略球的太小)? 9.先阅读下文，再回答问题:你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，如图，四边形 ABCD是一 矩形的球桌台面，有两个球位于P、Q两点上，先找出P点关于CD的对称点P， 连接P'Q交CD于 M点，则P处的球经CD反弹后，会击中Q处的球。请回答：如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后，再击中Q球，如何撞击 呢？（画出图形）? 10.如图，CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点 A B两点，试 问怎样撞击黑球A,使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B?你还有其他方法使 A碰到台边反弹后再击中白球 B吗？EDAFC? 11.如图

5、是一台球桌，欲使球 A先撞击球桌的某一边反弹后，再进入 4号洞, 你有几种撞击方法，画出图形即可。如果反弹后，任意进入其中一个洞，那么你共有多少种撞击方法。? 12.小新所在的班级去农村学农，劳动之余数学老师让同学们做一个游戏， 如 图，在河岸边放一排水桶，要求同学从A处出发，先去取水桶，然后去河边打水， 再把水送到B处的水缸中。要求同学们找出路程最短的路线。同学们七嘴八舌地 争论，没有得出统一的意见。请你帮他们出出主意，究竟怎样走才能使所走的路 程最短？? 13.如图，已知/ AO的有一点P,试分别在边0A和0B上各找一点E、F,使 得厶PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。? 14.如

6、图，M是/ A0站部一点。(1) 分别作出点M关于OA 0B的对称点，M、M。连接MM,交0A于点P,交 0B于 Q(2) 若MM=10cm求AMNd勺周长。(3) 在0A 0B上任取点P'、Q，连接MP、P' Q、MQ，得到 MP Q。 比较 MP Q与厶MPQ勺周长，你得到什么结论？? 15.如图，C是/ A0B内一点，C、C2分别是点C关于0A 0B的对称点，若G、C2的连线交0A于D,交0B于E，GC2= 4.5cm，则 CDE的周长为()A. 4.5cmB. 6.5cmC. 5.5cmD.无法求Ca? 16.如图，点P关于OA 0B的对称点分别为C、D,0B于N,若C

7、D= 18cm 则厶PMN勺周长为连接CD,交0A于M交? 17.如图，点P在/ AOB内部，且/ A0度数为45 上找点C D,使PC+CD+D之和最小。,0P=2cm 在射线 OA 0BD为垂足，DE交BC于 E,? 18.已知，如图。丘是厶ABC的边AB的垂直平分线,且AO 5，BO 8,则厶AEC的周长为I? 19.如图，在厶ABC中，A吐BC,边BC的垂直平分线分别交 AB BC于点E、D, 若BO 10, AO 6,求厶ACE的周长。B? 20.已知：如图，点 P在/ AOM，且点P与M关于0A对称，PM交OA于 Q 点P与N关于0B对称，PN交0B于R,连接MN OR OM ON

8、若MNk 10cm, OP =6cm 求厶OMNfA PEF的周长。? 21.已知，如图，在厶ABC中, AB< AC BC边上的垂直平分线 DE交BC于点D, 交AC于点E, AO8,AABE的周长为14,求AB的长.? 22.如图，在 ABC中, AB的垂直平分线交 AC于 D,若AO 5cm BC= 4cm 则厶BDC的周长为.1? 23.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为 AC= 10千 米，BD= 30千米，且CD= 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A B两镇 供水，铺设水管的费用为每千米 3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M使 铺设水管的费用最

9、节省，并求出总费用是多少？BbLYD-iBiBBL?24.如图，A B两村欲在河边建一抽水站，已知 A村到河边的距离是100m B 村到河边的距离是300m且CD的长为300m若辅设水管的费用是每米100元， 问应在河边的何处建水站才能使得辅设水管的费用最低？在图上画出水站的位 置P,并求出辅设水管的最低费用。TA?25.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图 书室，本社区有两所学校所在的位置在点 C和点D处，CALAB于A，DBLAB于B， 已知AB= 25km CA= 15km, DB= 10km,试问：图书室 E应该建在距点 A多少km?26.如图，铁路上 A

10、, B两点相距25km, C、D为两村庄，DAL AB于A, CBL AB 于B,已知DA= 15km, CB= 10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站 E， 使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？?27. （2008年咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 I是第一、三象限的角 平分线.实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线I的对称点A的坐标为（2, 0），请在图中分别标明B（5, 3）、C （-2, 5）关于直线I的对称点B'、C的位置，并 写出他们的坐标：B，、C' ;归纳与发现：（2） 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

11、坐标平面内任一点 P （a，b） 关于第一、三象限的角平分线I的对称点P'的坐标为（不必证明）； 运用与拓广：（3）已知两点D（ 1，- 3）、E （- 1，- 4）,试在直线I上确定一点Q使点Q 到D E两点的距离之和最小，并求出 Q点坐标.?28. （2009年孝感）在平面直角坐标系中，有 A （3，-2），B （4, 2）两点，现 另取一点C （1, n）,当n =时，AC + BC的值最小.（2009年达州）在边长为2cm的正方形ABC冲，点Q为BC边的中点，点P为 对角线AC上一动点，连接PB PQ则厶PBC周长的最小值为cm ?29. （2009 陕西）如图，在锐角厶 AB

12、C中, A吐4 2,Z BAC= 45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MI的最小值是C?30.如图，在正方形 ABCD中，点M在CD上，在AC上确定点N,使DW MN最?31. (2009年达州)在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB PQ则厶PBC周长的最小值为cm?32.在正方形 ABCD中, E在 BC上, BE= 2，CE= 1，P在 BD上，贝U PE和 PC的 长度之和最小可达到。如图，正方形 ABCD勺边长为8，M在DC上，且DM= 2，N是AC上的一动点，DN + MN

13、勺最小值为。?33.如图，在 ABC中, AO BO2，Z ACB= 90°, D是 BC边的中点，E是 AB 边上一动点，则EC ED的最小值为。(1) 如图1,等腰Rt ABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上 的一动点，贝U PB+PE的最小值为;(2) 几何拓展：如图2,ABC中, AB=2 / BAC=30，若在 AC AB上各取一 点M N,使BM+M的值最小，求这个最小值；(3) 代数应用：求代数式一x2+ 1+ (4 x)2 + 4 (0< x< 4)的最小值。© 1图2?34.如图，AC BD为正方形ABCD寸角线，相交于点 0

14、,点D为BC边的中点, 连长为2cm 在BD上找点P,使DP+CP之和最小。?35. (2009年抚顺)如图所示，正方形ABCD勺面积为12, ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个 最小值为( )A. 2 3B. 2 6C. 3D. 6?36. (2009荆门)一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0), B (0, 4).(1) 求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设OA AB的中点分别为C D, P为OB上一动点，求PC PD的最小值，并求取得最小值时 P点坐标.?37. (2010宁德)如图，四边形

15、ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对 角线BD (不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接 EN AM CM(1) 求证： AMB2A ENB(2) 当M点在何处时，AM CM的值最小；当M点在何处时，AW BWCM的值最小，并说明理由;(3) 当AM BWCM的最小值为 3+ 1时，求正方形的边长?38. (2010 淮安)(1)观察发现如题图1,若点A B在直线I同侧，在直线I上找一点P,使AP+BP勺值最小. 做法如下：作点B关于直线I的对称点B',连接AB，与直线I的交点就是所 求的点P。再如题图2,在等边 ABC中, AB=2点E是A

16、B的中点，AD是高，在AD上找一 点P, 使 BP+PE勺值最小.做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点， 则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.如题图3,已知。O的直径CD为4, AD勺度数为60°,点B是AD勺中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP勺值最小，并求 BP+AP勺最小值.DB（3）拓展延伸如题图4,在四边形ABCD勺对角线AC上找一点P,使/ APBW APD保留作图痕 迹，不必写出作法.?39.如图，一辆汽车在直线形的公路 AB上由A向B行驶，M N分别是位于公 路AB两侧的村庄。（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距

17、离村庄M最近；行驶到点Q位置时, 距离村庄N最近。请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M N两村庄都 越来越近？在哪一段路上距离村庄 N越来越近，而离村庄 M却越来越远？（3） 在公路AB上是否存在这样一点H,使汽车行驶到该点时，与村庄 M N的 距离相等？如果存在，请在图中的 AB上画出这一点；如果不存在，请简要说明 理由。?40. （2008河北）在一平直河岸I同侧有A、B两个村庄，A B到I的距离分别 是3km和2km A吐akm （a> 1）.现计划在河岸I上建一抽水站P,用输水管向 两个村庄供水.图 13-1方案设计

18、: 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案： 图13- 1是方案一的示意图，设该 方案中管道长度为d1，且d1= PB+ BA（km）（其中BP丄I于点P）;图13-2是方 案二的示意图，设该方案中管道长度为 d2，且d2 = PA PB（ km）（其中点A与 点A关于I对称，AB与I交于点P）.观察计算（1） 在方案一中，di =km （用含a的式子表示）;（2）在方案二中，组长小宇为了计算 d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km （用含a的式子表示）.探索归纳：（1） 当a= 4时，比较大小：dic2 （填“”、“二”或“V”）；当a = 6时，比较大小：did2 （填 “”、“二”或“V”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就 a （当a> 1时）的所有取值情况进行 分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导当不扇直接比较两个正数讯S的大4哎h 可以对它们的平方进行比较vm -n - (tn-w) 5 m +&#