2011非线性振动试题解答

1、课程名称：非线性振动与控制 课程类别公共课R专业课考核形式 R开卷闭卷学生类别考试日期 2011. 12. 21学生所在院系学号 姓名任课教师题1：（20分）Figure 1 Particle on a rotating parabolaxzWOmgConsider the motion of a particle of masssliding freely on a wire described by parabola which rotates about the z-axis as shown in Figure 1. We assume that the wire is weightl

2、ess and that its angular velocityis changing with the position of the mass along the wire. There is no outside influence acting on the wire.(a) Show that the equations of motion are and(b) Show that whereis a constant of integration (essentially this is a statement of conservation of angular momentu

3、m) and that the governing equation forcan be written in the form (c) Discuss the motion of the mass along parabola. Show that the motion is always bounded in this system. (d) Forand, plot the trajectories in the phase plane. 【注：这里为重力加速度，这一值的单位为。】题2：（20分）Determine the singular points and their types

4、for the system Sketch the trajectories and the separatrices in the state plane. 题3：（20分）Consider the motion of a system governed by where . (a) Show that where (Note that must be positive for a realistic system.)(b) Determine the stationary motions and their stability as a function of the magnitudes

5、 and the signs of and . 题4：（20分）Consider the system governed by (a) When is near unity, show that for small but finite amplitudes of the response where Here is a measure of the amplitude of the response. Obtain the frequency-response equation. Show that . How does this value of compare with that the

6、 case of linear viscous damping? Plot versus and .Is there a jump phenomenon?(b) When is near one third (superharmonic response), show that where Obtain the frequency-response equation. Plot versus and .Is there a jump phenomenon?(c) When is near 3 (subharmonic response), show that where Obtain the

7、frequency-response equation. Plot versus and .Is there a jump phenomenon?题5：（20分）Consider the system shown in Figure 5 when the tension . (a) Show that the governing equation is (b) Linearize the governing equation to obtain (c) Determine second-order expansions for the transition curves separating

8、stability from instability when (d) If , determine the influence of the nonlinear terms to first order when . Figure 5 Particle attached to stretched stringllmxTTTT注意：所有的题目并没有给出完整的解答，以此作为提供一个解题思路，希望自己推导一遍（使用自己习惯的一套符号），修改和完善其中的不妥之处，然后补全没有给出解答的部分即可。切勿雷同！题一解：这题关键算Jacobi积分，可以参考Nayfeh的非线性振动第二章，或用Mathemat

9、ica软件计算。本题有的地方推导过于简单，有些地方没有必要，希望稍作修改。第三问的分析可能不太恰当！（a）系统动能为系统的势能为代入Lagrange方程这里取广义坐标为和，其中是金属丝旋转过的角度，有关系，由此得到系统的运动微分方程（b）积分式得到其中是积分常数。把式代入式并整理得到（c）下面来求出描述相平面上的运动方程。设从方程中消去，我们得到此式可以改写为方程积分有式中是常数。方程表明，此系统的不是一个常数。积分称为Jacobi积分。改写可以得到并由此可以得出注意到，所以，当时取等号。式右边分子必须半正定，即解得因此运动是有界的，它用围绕原点的一些闭轨线来表示，而原点是一个中心。（d）编程

10、的方法课上老师已经交给大家了，自己编写一小段程序即可。下面的程序仅为示例，不是最终结果。勿用此程序画的图。% 题一：画轨线图 %画一条曲线，先确定参数x范围%clear all;clc;p=1.0;h=1000.0;H=12.0;dt=0.0001;x0=0.5;v0=0.5;II=6740;X(1:II)=0.0;V(1:II)=0.0;X(1)=x0;V(1)=v0;for i=2:II x1=x0+v0*dt; v1=v0-(2*g*p-H/(x14)*x1+4*p2*x1*v02)/(1+4*p2*x12)*dt; x0=x1; v0=v1; X(i)=x0; V(i)=v0;endf

11、igure;plot(X,V,'r');hold on;on;题二解：因为所以系统的奇点满足由此解得奇点为（1）对原方程在奇点附近线性化，得系统矩阵的特征方程为特征值为由于和异号，所以奇点为鞍点，它是一个不稳定奇点。（2）对原方程在奇点附近线性化，（3）对原方程在奇点附近线性化，（4）对原方程在奇点附近线性化，（2）、（3）和（4）方法同（1），此处略。这里只提供一个例子，修改初值会得到不同的曲线，需画3040条线可以反映出题目的要求。下面仍然是举例说明，例子中只画出了其中两条相轨线。% 题二画相轨迹图 %clear all;x0=1.0001;y0=2.00;dt=0.001

12、;II=2350;X(1:II)=0;Y(1:II)=0;X(1)=x0;Y(1)=y0;for i=2:II; x1=x0+(x02+y02-5.0)*dt; y1=y0+(x0*y0-2.0)*dt; x0=x1; y0=y1; X(i)=x0; Y(i)=y0;endfigure;plot(X,Y,'r')hold on;%clear all;x0=0.9999;y0=2.00;dt=0.001;II=10000;X(1:II)=0;Y(1:II)=0;X(1)=x0;Y(1)=y0;for i=2:II; x1=x0+(x02+y02-5.0)*dt; y1=y0+(x

13、0*y0-2.0)*dt; x0=x1; y0=y1; X(i)=x0; Y(i)=y0;endplot(X,Y,'r')hold on;题三解：说明：（b）小题中线性化可能存在问题，因为按照本解答的结果在后面做稳定性分析时，十分复杂。在奇点附近和奇点附近线性化时可能没有中括号中的第三项？！其中（a）使用多尺度方法求解。设方程的解为将此代入方程，令的同次幂系数相等，得方程的解为其中现在还是任意的。将代入方程，得可知为的周期函数，将其展开为Fourier级数，有其中为了从方程中消去永久项，必须有上式是关于的自洽微分方程，因此，可以按解出。求方程的一阶近似解，那么只是的函数。于是，

14、可令将代入式，得分离实部和虚部，得因为，所以由此得到注意到和是对，因此它们对的导数为那么，方程的一阶近似解为（b）方程的一阶近似解为，由于，所以为常值，关于的方程的奇点为（注意到）令，可得到三个奇点附近的线性化方程分别为奇点附近奇点附近奇点附近（1）奇点的稳定条件为，但此时稳态常值振幅为0，存在振幅为0的稳定极限环。（2）奇点的稳定条件为，参考课件稳定性分析参考可见上的相关内容（略）。题四解：说明：本题给出了（a）（b）两问的推导过程，（c）问的推导类似于（b），实际上还要用到（b）的部分结果，因此相对简单得多，希望自己推导一遍。所有的图都没有给出，需要自己画。（a）首先将作幂级数展开，并保留

15、到三阶项，则原方程变为，接近1，为主共振。为了得到主共振响应，必须使阻尼项、非线性项和激励项同时出现在同一阶方程中。令，为解谐参数。设方程的解为将代入，保留到项，得令上式中的同次幂的系数为零，得方程的解为将代入，得为了从上式中消去永久项，必须有那么，方程的解为把和代入，得为了从上式中消去永久项，必须有令，得其中式成立的条件是实部和虚部都为零，即有方程的一阶近似解为方程和有定常解必须满足。由此得到消去，得到频率-响应方程为从式中解出，得由，可得到从式中解出，得分析及结论略，图片根据课件及课堂上老师介绍的方法画。（b）为求超谐共振，需要指定激励项为非共振硬激励，为此令将代入原方程，保留到项，并令的

16、同次幂系数相等，得方程的解为其中。把代入，得为了从上式中消去永久项，必须有那么，方程的解为把和代入，得把代入式，消去永久项，有令，得令，分离实部和虚部，得注意到，即有所以一阶近似解为其中。频率-响应方程为（c）为求亚谐共振，把代入式，消去永久项，有参考超谐共振题五解：说明：（a）（b）过程简略，希望写详细点。（a）细绳本身不能伸长，但两端可以运动，在不计重力的条件下，细绳中的张力大小沿绳长不变，处处为，因此，对质点应用Newton第二定律，得其中。又，代入式并整理，得（b）当小而有限时，在附近将方程中的函数展开，保留到项，得（c）方程为Hill方程，的周期。使用约束参数法。设方程的解为代入方程，可得即方程的解为因此，为了使是或的周期函数，应有，即，亦即。当即时：方程变为为了从上式中消去永久项，必须有注