平面向量的综合应用

1、平面向量的综合应用一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c_(用a，b表示).2某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则ab表示_3设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_4已知|a|2|b|，|b|0且关于x的方程x2|a|xa·b0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_5.已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，则实数k_. 6平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)·()

2、0，则ABC的形状是_三角形7已知a，b(1，)，则|atb| (tR)的最小值等于_8设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有_(填序号)(a·b)c(c·a)b0；|a|b|<|ab|；(b·c)a(a·c)b不与c垂直；(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2.9在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB3，BD1，则·_.10.在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·，则·_ 11.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a

3、|1，|b|2，|c|3，则向量abc与向量a的夹角是_12.设e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，已知e1，e2，x·y· (x，y为实数)若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为_13.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)滑动，则·的最大值是_14.在ABC中，AB1，AC2，O为ABC外接圆的圆心，则·_.二、解答题：本大题共6小题，共90分15（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为 （1）设，求证：是等腰三角形；（2）设向量, ,且,若，求的值16（本小题满分14分

4、）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)， C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值17. （本小题满分14分）设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)， c(cos，4sin)(1) 若a与b2c垂直，求tan()的值； (2) 求|bc|的最大值； (3) 若tantan16，求证：ab.18. （本小题满分16分）已知平面上三点A、B、C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值19. （本小题

5、满分16分）已知向量a(cosxsinx，sinx)， b(cosxsinx，2cosx)，设函数f(x)a·b(xR)的图象关于直线x对称，其中、为常数，且. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围20（本小题满分16分）已知两个不共线的向量a，b的夹角为，且|a|3，|b|1，x为正实数(1)若a2b与a4b垂直，求tan ；(2)若，求|xab|的最小值及对应的x的值，并指出向量a与xab的位置关系；(3)若为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xab|ma|有两个不同的正实数解，且xm，求m的取值范围平面向量的综

6、合应用参考答案13ab 2.向东北走3 km 3.1 4. 5. 6.等腰 7. 8.9. 10. 11. 150°.第11题解析 由已知得(abc)·aa2a·ba·c12cos 120°3cos 120°，|abc|.设向量abc与向量a的夹角为，则cos ，即150°，故向量abc与向量a的夹角为150°.12.1第12题解析 由题意得|1，·，又因为PMN是以M为直角顶点的直角三角形，所以有·0，即()·()0，所以(x1) y)·()0，得(1x)y(x1y)0，所

7、以(xy)，即xy1，故xy取值的集合为113.2第13题解析 设OAD，则OAAD·cos cos ，点B的坐标为(cos cos(90°)，sin(90°)，即B(cos sin ，cos )，同理可求得C(sin ，sin cos )，所以·(cos sin ，cos )·(sin ，sin cos )1sin 2.所以(·)max2.14. 第14题解析 法一：··()··，又|，|，所以即··，故·.法二：过O作OD垂直于BC，垂足为D，因为O是三角形AB

8、C的外接圆圆心，所以D为线段BC的中点， 所以，则·()· · ()·()|2|2.15. (1) 因为, 4分 所以，即，故ABC为等腰三角形6分（2） , ，即, 为锐角， 8分, 10分又，且为锐角，12分14分16(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)4分所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2. 6分(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，10分从而5t11，所以t 14分17.(1)b2c(sin2cos，4cos8sin)， a与b2c垂

9、直， 4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)0， sin()2cos()，即tan()2. 4分(2) bc(sincos，4cos4sin)，|bc|4，9分则|bc|的最大值为4.(3) 证明：由tantan16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，所以ab. 14分18(1)由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一条直线上，即向量与平行，4(2k)2×30，解得k. 4分(2)(2k,3)，(k2，3)，(k,1) 6分ABC为直角三角形，则当BAC是直角时，即·0，2k40，解得k2；8分当ABC是直角时，即

10、83;0，2k30，解得k3或k1；10分当ACB是直角时，即·0，162k0，解得k8.12分综上得k2，1,3,8 16分19. (1) f(x)sin2xcos2x2sinx·cosxcos2xsin2x2sin. 4分由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故，4分所以f(x)的最小正周期是. 6分(2) 由(1)知f(x)2sin.由yf(x)的图象过点，得f0, 即2sin2sin，即，10分故f(x)2sin.由0x有x， 所以sin1，得12sin2， 故函数f(x)在上的取值范围为1，

11、2. 16分20解(1)由题意得，(a2b)(a4b)0，即a22a·b8b20，得322×3×1×cos 8×120，得cos ，2分又(0，)，故，因此，sin ， tan . 4分(2)|xab|，6分故当x时，|xab|取得最小值为，8分此时，a·(xab)xa2a·b×93×1×cos 0，故向量a与xab垂直10分(3)对方程|xab|ma|两边平方整理，得9x2(6cos )x19m20，设方程的两个不同正实数解为x1，x2，则由题意得， 12分解之得，sin <m<.若x