试验三用双线性变换法设计IIR滤波器

1、实验三用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。2、掌握双线性变换法设计 IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通 IIR 滤波器的计算机程序。3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和 Chebyshev 滤波器的全过程。5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。二、实验原理与方法从模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器具有四种方法：微分差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配

2、 Z 变换法：在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数 H ( s) 计算系统冲激响应 h(t) ：对 h(t) 进行等间隔取样得到h(t)h(nT ) ,由 h(t) 获得数字滤波器的系统响应H ( z) 。这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的 IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样个点上完全一致。而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换式现行的，其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。为了克服脉冲响应不变法可

3、能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：s1z 1 , z1s其中， sj, z re jw1z 11s建立起 s 平面和 z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：tg (w 2), w2arctg（31）由上面的关系式可知 ,当时， w 中止在折叠频率 w处，整个 j周单值的对应于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。从式（31）还可以看出， 两者的频率不是线性关系。 这种非线性关系似的通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。 这种频率的畸变可以通过预畸来矫正。用双线性变换法设计数字滤波器时， 一般总是先

4、将数字滤波器的各临界频率经过式 （31）的频率预畸，球的响应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递参数，最后通过双线性变换式求得数字滤波器的传递函数。这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。参考模拟滤波器的设计，可以按照一般模拟滤波器的设计方法，利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线， 这些公式、表格主要是用于归一化低通原型的。通过原型变换，可以完成实际的低通、带通和高通滤波器的设计。在用双线性变换法设计滤波器的过程中，我们业可以通过原型变换，直接求得归一化参考模拟滤波器原型参数，从而使得设计更加简化。下表是 IIR 低通、带通、高通滤

5、波器设计双线性原型变换公式的总结。变换模型变换关系式参考模拟原型频率备注确定低通变换s= 1z 1tg ()2 fT ：模拟频率1z 12s= 1z 1T：采样周期高通变换ctg ()sin(2 )1z 12cos10sins=sin 12cos 0cos带通变换z22z cos 01sinz211 、2 ：带通的上下边带临界频率在本实验中，我们只涉及Butterworth和 Chebyshev 种滤波器的设计，相应的这两种参考滤波器的设计公式如下表类型巴特沃斯切比雪夫lg100.1ap1100.1as1阶数100.1as1Nch1ch1(p)N=lg(p )100. 1ap1ssNH a (

6、 s)pNN传递函数H a ( s)N1c2N 1sp shxk sin ykjchx k cos yk(ssk )k1k01 sh 1 1 , yk2k 1xk2NN3db 频率cs1波纹系数(100.1as有关参数1)2N100.1ap1cp1(100.1as1) 2N备注通带临界频率p 及衰减p ，阻带临界频率s 及衰减s综上所述，以巴特沃斯低通数字滤波器设计为例，可以将双向法设计滤波器的步骤归纳如下：1、确定数字滤波器的性能指标。这些指标包括：通带、阻带临界频率f p 、 f s ；通带内的最大衰减p ；阻带内的最小衰减s ；采样周期 T 。2、确定相应的数字频率，p2 f pT ,s

7、2 fsT 。3、计算经过频率预畸的相应参考模拟低通原型的频率ptg (p ),stg (s ) 。224、计算低通原型阶数N，计算 3db 归一化频率c ，从而求得低通原型的传递函数H a (s) 。1z5、用上表中所列变换公式s1zH (z) = H a ( s) |1z1。s1z111 ，代入 H a (s) ，求得数字滤波器传递函数6、分析滤波器频域特性，检查其指标是否满足要求。三、实验内容及步骤（一）编制实验用主程序及子程序1、实验前复习数字信号处理课程中滤波器设计有关内容的知识，认真阅读本实验的原理部分，读懂滤波器相关算法。2、编制一个双线性变换法设计IIR 数字 Butterwo

8、rth 和 Chebyshev 滤波器的通用程序。采样周期、通带和阻带临界频率以及相应的衰减等参数在程序运行时输入；根据这些输入参数，计算阶数N 、传递函数 H a (s) ；输出 H a (s) 分子分母系数； 绘制 H (e jw ) 幅频特性曲线， 绘制点数为 50，（0）。（二）上机实验内容1、采样频率为1HZ ，设计一个 Chebyshev 高通数字滤波器其中通带临界频率fp=0.3HZ, 通带内衰减小于 0.8db(p =0.8db), 阻带临界频率 fs=0.2HZ, 阻带内衰减大于 20db( s =20db) 。求这个数字滤波器的传递函数H(z) ，输出它的幅频特性，观察其通

9、带衰减和阻带衰减是否满足要求。高通数字滤波器的设计>> f=1; fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn, 'high' );>> freqz(b,a,512,1)b =0.0262-0.10470.1570-0.10470.0262a =1.00001.52891.65370.94520.2796n =4Wn =0.60002、采样频率为1HZ ，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频

10、率fp=0.2HZ ，通带内衰减小于1db( p1db), 阻带临界频率fs=0.3HZ, 阻带内衰减 25db( s 25db ) 。求这个数字滤波器的传递函数 H(z) ，输出它的幅频特性曲线。低通数字滤波器的设计>> f=1; fp=2/10;fs=3/10; Rp=1; Rs=25;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn);>> freqz(b,a,512,1) ; b,a,n,Wn;b =0.02430.09700.14560.09700.0243a =1.

11、0000-1.59771.7459-1.02000.3074n =4Wn =0.40003、设计butterworth带通数字滤波器，其上下边带1db处的通带临界频率分别为20kHz和30kHz(fp1=20kHz,fp2=30kHz,p1db)，当频率低于15kHz时，衰减要大于40db(fs=15kHz,s40db ),采样周期为10s ，求这个数字滤波器的传递函数H(z) ，输出它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。带通数字滤波器的设计>> f=105; fs=15000,35000; fp=20000,30000; Rs=40; Rp=1;>>

12、 n,Wn=buttord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=butter(n,Wn);>> freqz(b,a,512,1);>> b,a,n,Wnb=0.00020-0.001400.00420-0.007100.00710 -0.004200.00140 -0.0002a=1.0000-0.00003.7738-0.00006.56140.00006.65180.00004.20300.00001.64370.00000.36660.00000.0359n =7Wn =0.38540.6146四思考题双线性变换和脉冲响应不变法相比较。有哪些优点和缺点？为什么？答：双线性变换：主要优点是s 平面与z 平面式单值的一一对应关系。整个j 轴是单值的对应于单位圆一周，即 =tg(。当 时， 终止于折叠频率 =处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。但双线性变换法的优点是靠频谱的严重非线性关系而得到的，这种 与 的非线性关系使数字滤波器与模拟滤波器