微积分部分无穷级数

1、第六部分无穷级数填空题1数项级数1'、的和为n(2n -1)(2n 1)2 数项级数的和为n 卫(2n)!cosl注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义， 求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值13 设 an0, p 1,且 lim (np(en -1)an) = 1，若级数n_QO7 an收敛，则n=1p的取值范围是(2, =) 1分析：因为在n-时，(en -1)与一是等价无穷小量, n1所以由lim(np2 -1总)=1n :.可知，当n时,1an与吕是等价无穷小量npoOoO a.由因为级数v an收

2、敛，故.芦收敛，nTnW n因此p 2.QO4幕级数v an(x -1)2n在处x = 2条件收敛，则其收敛域为 0,2.n =0分析：根据收敛半径的定义， x =2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1.由因为在oOQOX = 0时，级数V an(x -1)2nan条件收敛，因此应填0,2.n £n曲QO5 幕级数'、n 4n2n(-3)nx2n的收敛半径为分析：因为幕级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式.因为limln +1x2(n2n_+(-3)n nm(2n 十十(-3严nx2n所以，根据比值判敛法，当x 一 3 时，原级数绝对收敛，当x -.3时，原级数发散.由

3、收敛半径的定义，应填 -.3.DO f 11'-6幕级数送 1+ ： Xn的收敛域为-1,1).nlnn 2 丿1分析：根据收敛半径的计算公式，幕级数xn收敛半径为1，收敛域为-1,1)；心 n In n1幕级数7 xn收敛域为(-2,2).因此原级数在-1,1)收敛，在(-2,一1)1,2) 定发散心2n有根据阿贝尔定理，原级数在(-二，-22,七)也一定发散.故应填-1,1).07.已知 f(x) - 7 anXn,x(- 二，二)，且对任意 x , F (x)二 f (x)，则 F (x)在原点的幂n =0e 1 二nT討1)n分析：迓1已知 exxn (x (-：)，所以nM&

4、amp;函数f(x)二xex在x =1处的幕级数展开式为a级数展开式为F(0)Uxn,x(：)n £ n分析：0根据幂级数的逐项积分性质，及f (x) -送anx , x% (_°o,址)，得nTxx f 旳、°°aF(x)F(0)0 f(t)dt E antn pt瓦：,0® g丿心n + 1故应填 F (0)亠二(-"'，：)n =1 n:1 1xex = e(x-1)ex° ex° = e (x -1)二(x-1)n (x-1)n IL n=on!n=on!(n-1)!討1)n根据函数的幕级数展开形式

5、的惟一性，这就是所求9 .已知f(xx 1,0,1 , S(x)是f (x)的周期为1的三角级数的和函数，则1 33S(0), S()的值分别为2 22c1x, 0Ex 兰；，10.设 f (x) =$122(1x), 2<x<1,oCO0S(x)an cosn 二x, x 三(：),2 心153其中 an=2of(x)cos n 二 xdx( n =0,1,2,)，则 S()选择题a11.设常数:0，正项级数7 an收敛，则级数（ 1）n_2nn 4n4. n 很（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛.（D）敛散性与:的值有关.答C0a2nJ收敛又因为n 4n2n d分析:因为a

6、2k乞、ak，且正项级数v an收敛，所以k z!k z!门吕(-1)n2n 4所以原级数绝对收敛112设 an 二 cos n二 ln(1 ) (n =1,2,3,)，则级数 Jn分析:因为an1=cosn二 ln(1 )=(T)nJn1ln(1 )，所以级数v noO'' an是满足莱布n =1QOQOQO0(A)7 an与v a：都收敛.(B)7 an与72an都发散n 4n =1n dn dQOoOQOa(C)' an收敛，v a2发散.(D)' an发散，a2收敛n =1n =1n dn =1答C2 2 1 1尼兹条件的交错级数，因此、an收敛因为an

7、 =ln (1)在n时与一是等价无n #. nn穷小量，且调和级数丄发散，所以a2发散.nnng113.设0 : an ：(n =1,2,3,)，则下列级数中肯定收敛的是noO(A)an (B)n 4QO、(-1)nan (C)n 4二 a、出.(D)nI n nQO £工 an In n n=2分析：因为0:an:a； In nIn n吒2-nIn n:1.又因为 Iimn JR = 0，且 2 ="Y nnA nJ n收敛，所以oOzn =2a； In收敛另外，取an12n,可以说明不能选(A)及(C);取(2n -1)2,a2n14n因为adv a2nn经” 14n一

8、/;呻1-时)发散，所以QO7 ( -1)nan 发散n 414.下列命题中正确的是(A)右 Un ： Vn (n = 1,2,3,)，odUnn dQO八Vnn d(B) 若 Un ： Vn (n =1,2,3,)，且 V Vn 收敛，则 V Un 收敛.n Tn mu 0000(C) 若Iim n =1，且' vn收敛，则' un收敛.n =1n#QOoOCO(D)若 Wn : Un : Vn(= 1,2,3，)，且 Wn 与Vn 收敛，则 Un 收敛.n二n经n吕分析：因为 Wn : Un Vn ,所以 0 ： Un - Wn ： V. - Wn.又因为Wn 与Vn 收敛

9、,nVn T0所以v (Vn -Wn)收敛，因而n =1QOoo7 (Un - Wn)收敛.故7 Un收敛.n 3n zi因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小， 所以不能选(A);选项(B),(C)将正项级1数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数7 _丄与V心 n12ng n可以说明（B）不对，取15.(A)(B)(C)(D)时,( 1)n级数7 (一丿与Vn 4 廿 flng就可以说明（C）不对.F列命题中正确的是QO2右' Unn 4QO与V；n 4都收敛，则QO、(Un Vn)；收敛.n 4若乞UnVn收敛,若正项级数右Un分析:Vnod、 2Unn =4cdX Un发

10、散，则n 4与J v2都收敛.n =4.1UnnQOoo（n = 1,；,3/ ），且 I： Un 发散，则二 vn 发散.因为（Un Vn）；二 U；QO7 (UnVn)；收敛取 Un T1取级数Un =-与VnnoO16.若级数v unn =10(A)(Unn dQ0(C)、(n dUnn =1；UnVn1n, Vnn'V" < 2（U； * V；），所以当oOx u2n =1可以排除选项（B）；取Un一 n丄可以说明（D）不对.noO,X' Vnn =1 Vn)发散.Vn）发散.都发散，则(B)(D)aO二 UnVn发散.n dQO(u； - V；)发散.

11、n =1分析：取U1,Vn n=1可以排除选项（A）,（B）及（D）.因为级数noO与7 V；都收敛nT1；n排除选项（C）；0' Unn =1cdVn都发n TQ0散，所以级数n1Un，乞Vn都发散，因而Z ( Un | + Vn )发散故选(C).ngQO17设正项级数a un收敛，则U M(A)极限lim n 1小于1.y u(B)极限lim Un 1小于等于1.(C)若极限lim 丛 存在，其值小于1.(D)若极限limd存在，其值小于等于1.nr-' Unn匸Un分析：根据比值判敛法，若极限ulim一亠 存在，则当其值大于1时，级数a un发散.n -1因此选项(D)

12、正确.取un2排除选项(C).因为正项级数、Un收敛并不能保证极限lim也丄存在，所以选项 Un(A)，(B)不对18.F列命题中正确的是(A)若幂级数7 anxn的收敛半径为 R - 0 ,n =0(B)若极限liman 1qQ不存在，则幕级数、(C)若幂级数(D)若幂级数分析:an 1则lim5 aanxn没有收敛半径qQ、anxn的收敛域为-1,1,则幕级数cQ、nanx n的收敛域为-1,1.n =00tnanX的收敛域为-1,1,则幕级数:axn的收敛域为-1,1.极限liman 11二匸只是收敛半径为 R的一个充分条件，因此选项(A)不对. :nX幕级数anxn没有收敛半径存在而且

13、惟一，所以选项(B)不对.取级数a x可以排除选j'n项(C).选项(D)可以由幕级数的逐项积分性质得到19.若幕级数Q0Q0'、 an(x -1)n在x二-1处条件收敛，则级数an n 国n0(A)条件收敛.(B)绝对收敛(C) 发散(D) 敛散性不能确定.分析：根据收敛半径的定义， x二-1是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为2 .因此幕级数cOQOv an(x -1)n在x=2处绝对收敛，即级数an绝对收敛.n卫n兰20设函数f(x) =x2,x 0,1,a0 处_S(x)an cosn二x, x (一,：),2 n 二其中an1=2 f (x) cosn 二xd

14、x, n = 0,1,2;,则S( -1)的值为(A) -1. (B)11 (C) 一 (D)1.22a血分析：一0 Vancosn二X是对函数f (x) =x2, x 0,1作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理,S(_1) = f(l) = 1.解答题21.求级数O0nn(n +1)丿解：因为lnn 3lnk3 In 31 一 2n2knzkd捫T1/，所以22.oO已知级数V (-1)2n=1Un解:qQ因为 v U2nd =5n 4cO'、Unn 423.判断级数解:noOzn =11+n(n + 1)丿1 1k(k+1)1In 32n2 ,

15、In 31 -2n=limn_：i：:二 lim、呻 k4 _ 2kIn 3仁亠2I n3 2I n3oooO=2，二U2nj =5，求级数二un的和.n z4n 刍所以v 2U2n=10.又因为v (-"'Unn理n珀cOoOoO(2u2n(“nUn)2u2n1)n =1n =1n =1山的敛散性.n-1Un=2，=102=8.因为丄In I一 n . nInlim nj .''n +11 所以= In*n +111 |与一在n t 旳 时是等价无穷小.又因为级数in* nJnv 1收敛，所以，根nm n、n据比阶判敛法知级数v 1 Inn =i : Jn口

16、收敛.n另解：因为In|= In 1 +! k n1 1l< ,n所以1.n ln已知一 1收敛，所以由比较判敛法知级数in 收敛. n . n匚 J a n n!24 判断级数v a(a - 0)的敛散性.解：记Unn I a n!=n ，则 Un 0，且 nan1(n 1)!n Hn 匚 Un n：(n 1)limann!n：1a n! (1 )n所以根据比值判敛法，当 a : e时级数收敛，当a e时级数发散当a二e时，因为lim =1，所以此时比值判敛法失效，但由于n：UnUn 1Une(1 -)nn11，(因为数列(1 )n单调递增趋于e)n所以 lim Un =0 ,n)：:

17、因而当级数发散o25 讨论级数解：因为所以根据比值判敛法，当当a =1时，由于a ： 1 时,a nap n 1 r绝对收敛.当a =1时，级数为 '二nanp=所以级数V计发散.，由p级数的敛散性，当0 ： p乞1时级数发散，当级数收敛.当a - 一1时，级数为一 1)',由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法, n4门卩当0 ： p < 1时级数条件收敛，当 p .1时级数绝对收敛26.已知函数y = y(x)满足等式v = x 、，且y(0)=1，试讨论级数的收敛性.解：因为y=x y，所以 y " =1 y .由 y(0) = 1，得 y (0) = 1, y

18、"(0) = 2 .根据泰勒公式，得11111y()二 y(0) y (0) y (0)()2 o(飞)nn1 1 1 =12 O(T，n n n所以1二时与2等价，且级数n'2收敛，因此级数n =1 n00 - 1 1绝对收敛r rv V = X注：本题也可先解定解问题y y ,得到y(x) = 2ex - x -1后再用泰勒公式讨论.y(0) = 127.求下列幕级数的收敛域解:(1)2*、(-1)n xn , n *:- nO'(-nx)n ,n =1 £-xn nm n!记 an =(-1)丄* n,因为nman 1an所以收敛半径为R = 1，收敛

19、区间为21 1(22).1、(-1)n 条件收；当 nJnx = 一 1时，级数2O、(-1)nn 41邛一1)八-1发散.n -1n故级数V (_1)n2nnx1 1的收敛域为(-冷.n n记 (-1) nan 1xnR =0,所以幕级数由 nim a= lim( n+1)""19 k n丿(-nx)n仅在x二0处收敛.n -1,由 limnan 1an得收敛半径为1=lim0,得收敛半径为R=,故级数n ；： n 1 1n吕n!xn的收敛域为(-二，亠.).28.求幕级数v丄X3n2nJ的收敛域.解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径因

20、为lim k孑31 x2k11 x2kj3k2 x lim k ；： 3x2所以，当1,3即|x| ： . 3时，级数- 1送|3n n唱32nVX绝对收敛;X21级数厂发散.根据收敛半径的定义知级数C3Oz1nF2n的收敛半径为R='3. 1 又，当 x = J3 时，1 (3)2n43n-1,级数发散；当x = _品时，一般项为-土,.331级数也发散.故级数-nnx2n-的收敛域为3 ,3) n 4 3注：还可以将级数变形为 丄丄xX n3n2nn八2 1，再令U = X，研究幕级数n un的收敛半径旳1和收敛域，最后得到. 一x2n 1的收敛域.n3nCO 22129.求幕级数

21、、T0 n(2x -3)的收敛域.n =1解：因为 a 102n(2x -3)2心n 42二20%-3 严，且所以，当202(x -Un 十(X)limn* Un(x)102n 2(2x-3)2n1 -2n=lim5 102n(2x3)2n A202(x 3)2 ,23、2 d31匚3)£1,即X<=0.05时，级数绝对收敛；当X222020.05 时,级数发散.故幕级数、102n(2x-®"'的收敛区间为(1.45,1.55). n m3又当X? =0.05时，原级数的一般项分别是Un =-10和un =10,所以发散因此qQ级数 x 102n(2

22、x -3)2nJ 的收敛域为(1.45,1.55).n =1qQ30.设a0,aa2,为一等差数列，且 a0 =0，求级数''anXn的收敛域.n 二0解：记a°,a1，a2,的公差为d，则所以an=a0 nd ,limnan 1an = 0，所以因此收敛半径为R = 1，又当x -二1时，级数成为qQqQn -0n -0：（_1）nan发散，于是级数；anXn的收敛域为（-1,1）.31.将函数in上0展开为x二0处的幕级数.1 X解:因为 ln(1 x) 口 -：:：（-1严所以In 1 "x In (1 x5) I n(1 x) 1 - x32.将函数

23、f (x)解:因为oO八(-1)n =1/5、nnV (-X )on 5n 一八匚n=i nO0 ynd n2x=arcta n21-xf（X）二 2,(1)"x)nnJ在x = 0点展开为幕级数.1 x2QOn 2n2 (-1) xf (0 0,n -0所以33.f(x)°f (t)dt=2、(-1)n .0t2ndtn =0将函数f （ x）X - 1厂在X。”点展成幕级数,n=0 2n 1X2n 1 ( X : 1).并求 f (n) (1).解:展成7 bn(X -1)"即可.将f（x）视为（X1）,因此只需将14 x因为4 x3-(x-1)3x-r1rr

24、1 x * xn x所以14 X11 1 .13133x1Jx1)2“ +(x1)n “13323n32于是f(x)J(x-1)4 - x 3 |Lx1.(x-1)23.(x-1)332(x-1)n13n|x_1|<3.oO由于f (x)的幕级数7 an(x-1)n的系数ann=0(n)(1)n!所以f(n)(1) =( n!)ann!QO并求数项级数34求幕级数 v (-1)n 1 n(n 1)xn在收敛区间(-1,1)内的和函数 S(x),n -1解：利用幕级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分，得x： ：/ x0S(x)dx 八 0(-1)n1 n(n 1)xndx (|x|：1)

25、n A -QOn 1 n 1=(-1) nxn AJ(_1)n1QOn 1 n 2» (-1) (x )xn d2x。(1 x)22 x=x 1 x将上式两端对上限x求导，得S(x)2x(1 x)31令x2得1 n(n 1)2n827QO' (-1)nn £cO求幕级数7 nxn的和函数S(x).nqQSi(x)二 a nxn",n=1则Si(x)的定义域为(-1,1)，且S(x)二xSi(x).任给X，(-1,1)，由逐项积分公式得,nJdt 八 xn 4X:X0S1(t)dt 八 0 ntn A因此,S| (x)=1(1 -x)2所以,S(x) = x

26、S-i(x)XE,X D.旳 Xnd1(1) 求幕级数的和函数.n 二 n:XnSjx)=nW n则S (x)的定义域为-1,1)，且S(x)二xS (x).任给x -1,1)，由逐项求导公式得,oOn -1Xn £oOS1(x) ： .1n¥因此,S1(x)二 S,x) -5(0)二x 10dt二-In(1 -x), x (-1,1).所以,S(x)二 xS(x) =-xln(1-x), x由 S(x) C1,1)得，S(1) = lim S(x)二 lim xln(1 x) = In 2. i斗十i斗十(2)求数项级数匕芷的和.n2 n+1旳(1)n考虑幕级数x2n 1

27、，则其收敛域为-1,1.若记其和函数为 S(x)，则心2 n +1S(1)+n2n +1由于XS(x) = S(x) _S(0) = St)dtn：2n dt=(1) t又因为J=(-1)nn£ 2n 135.求级数解：由于<n z0S(x) C-1,1，所以:- n X 、 Xen=0 n!对上式两边求导，得所以此式两边再求导，得在上式中令X =1 ,有36.设f(x)时周期为x 10 廿 dtRctanx,X(-")。S(1) = lim S(x)二 lim arctanx 二一4CO rX - n n dex ,n=o n!xexn ,n=0 n!Xxe： n

28、2o xn -1ex ,心n!=2e.2的周期函数,且f(X)=斗X， O'x'1，写出彳仪)的傅里叶级数Q 1VXV21与其和函数，并求级数1一的和n(2n1)2解：根据傅里叶系数的计算公式，得an20 f (x) cos n -：xdx1oXCOS n：xdx(一1)_1 (n 二 1,2,3,)，2 1 1ao=0 f (x)dx =oxdx t，2bn = o f(x)sinn二xdx1=xsinn 二 xdx(-1)n1(n =1,2,3,),所以f (x)的傅里叶级数为oOn 4丄tcosnrx + (-1)nSinn n兀L n江其和函数的周期为2，且S(x)=x,1Q <x : 1,20,x=1,S(0)丄UAL14 i -Z4心(2n 1)2二 2，且 s(o)= o，所以n=o(2 n 1)2837.设级数为an收敛，且lim bnnJpCoO=1，证明级数v anbn绝对收敛n =1证： 因为lim bn =1，所以数列0有界，即存在M 0，使得对任意的n，有n :1是anbn