西华大学年专升本高等数学考试题(附答案)

1、西华大学 2014 年专升本考试试题（高等数学）二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5 个小题，每小题3 分，总计15 分）1、设 f (0)f ( x)f (0)（a ）a, 则 limxx02、设 f (x) 的一个原函数是sin x ，则xf( x) dx（x cosxsin xC）3、微分方程y5 y6 y3xe2 x 的特解可设为（y*x( axb)e2x）4、幂级数(x)n的和函数为（e x）n 0n!5、设 A23 ,则A1（83）5852二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打，错误的打，本大题共5 个小题，每小题2 分，总计10分）1、点 (0,0)是 曲 线ysin x

2、的拐点.()2、直线 x1y3z 与平面 2 xy5z 80相互215垂直 .( )3、如果函数zf ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某一邻域内偏导数z ,z 都存在，则函数zf ( x, y) 在点xy(x0 , y0 ) 处可微 .()4、un 是常数项级数，若lim un0, 则un 收n 1nn 1敛 .()5、设 A, B 是同型矩阵，则( AB)( AB)A2B 2 .()三、求解下列各题 （本大题共 4 小题，每小题 6 分，总计 240 分）1、求极限lim xsin x .x0解： lim xsin xlim esin x ln xlimsin xln xex

3、0x0x 0limxln xlimln xlimx 10ex 0ex 0 x 1ex 0x21.e2、求不定积分x sin x cosxdx.解：x sin x cosxdx1xsin 2xdx21xd cos2x1 xcos2xcos2xdx4411C xcos2xsin 2x423、求定积分ln2ex1dx.0解：令 tex1，则 xln(1t 2 ) ，故ln 2x12t0e1dx0t1t 2dt21t 2dt1 t 2110 1 t 221t 2dt02(tarctant )1).2(1404、设 z xyf ( x2y, xy2 ), 其中 f是可微函数，求 z , z . x y解

4、：zyf (x2y, xy2 ) xy(2xf1f2 ),xzxf ( x2y, x y2 ) xy ( f1 2 yf 2 ).y四、解答题（本大题共6 小题，每小题6 分，总计36 分）1、设 f ( x)x2 sin 1, x0x,在 x 0处可导，求axb, x0精选文库a,b 的值 .审敛法的极限形式得ln(11) 发散。解：因为 f ( x) 在 x0 处可导，故 f (x) 在 x0 处n 1nsinx2y2 dxdy ， 其 中4、计算二重积分连续。即 lim f ( x)f (0)b.Dx0D( x, y) | 2x2y 24 2.lim x2 sin 1又 lim f (

5、x)limf ( x)0.因此：x 0x 0x 0x解b 0.sinx22dxdysin rrdrdy又 f (0)f (0) ，DD222f(0)limf ( x)f (0)limax b 0a,x 0xx 0xf(0)limf ( x)f (0)x 0xx2 sin 10xsin 1limxlim0,x 0xx 0x故 a 0.2 求微分方程 y2ye x0的通解 .解：通解为y e2 dxxe2dxC edxe 2 x e xe2 xdx C e 2 x( exC)3、判断下列正项级数的敛散性 .3( 1)n(1)3nn 13(1)n44解：因为 0nn ，又n收敛（等比33n 1 3级

6、数），由比较审敛法得3( 1)n 收敛。n 13n(2)ln(11)n 1nln(11)1 发散，由比较解：因为 lim1n1 ，又nn1 nndr sin rdr2r sin rdr022rd cos r222 r cosrcosrdr 22()sin r26 2 .5、求 I( xey )dx( yxey )dy ，其中 L 是圆L周 x2y22x 从点 A(2,0) 到原点 O(0,0) 的一段弧 .解 ：P( x, y)x ey , Q (x, y) y xey，Pey,Qey , 故 PQ ，曲线积分与路径yxyx无关。选择新路径AO ，故ILuuur ( xey )dx( yxey

7、 )dyAO0(x1)dx4.2ax12x23x34,6、当 a, b 取何值时， 方程组2x2bx32,2ax12x23x36有唯一解、无解、有无穷多解？解：增广矩阵2a234a234(A| B)02b 202b22a2360232a23402b200b30当 b3时， r ( A | B)r ( A) 2 3 ，方程组有无穷多个解。当 b3时，r ( A | B)r ( A) 3，方程组有唯一解。五、证明题（本大题共3 小题，每题 5 分，总计 15分）1 、 设 f ( x) 在 a,b上 连 续 且 f ( x)0, 又g (x)xx10 在f (t )dtb fdt ，证明： g(

8、x)a(t)(a,b) 内有且仅有一个根.证明：易知g( x) 在 a,b 上连续，a1b10,g (a)dtdtbf (t)af (t)bf (t )dt0, g(a)g(b)0 ，g (b)a故由零点定理得，方程g ( x) 0 在 ( a, b) 内至少存在一个根。又 g ( x)f ( x)10, 故 方 程 g (x)0 在f (x)(a,b) 内最多有一个根。综上所述，方程g( x)0 在 (a,b) 内有且仅有一个根 .2、求证：当 x0 时，有不等式xln(1 x) x.1x证明：设 f ( x)ln(1 x) ，易知函数 f ( x) 在 0, x精选文库上连续，在 (0, x) 内可导且 f(x)1，1x由拉格朗日中值定理得：f ( x)f (0)xf( ) ，即 f ( x)f (0)x，其中0x.1又11xln(1x)x.x11，因此x113、已知 an 是等差数列， an0，证明级数1n 1 an发散 .