微积分导数与微分

1、第二章 导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分， 作为研究分析函数的工具和方法， 其主要包含两个 重要的基本概念导数与微分， 其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度， 即变化 率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值 .一、教学目标与基本要求（一）知识1记住导数和微分的各种术语和记号； 2知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4记住常数及基本初等函数的导数公式；5知道双曲函数与反双曲函数的导数公式；6知道高阶导数的定义；7知道隐函数的定义； 8记住反函数的求导法则； 9记住参数方程所确定的函数的一、二阶

2、导数的求导公式； 10知道对数求导法及其适用范围；11知道相关变化率的定义及其简单应用；12记住基本初等函数的微分公式；13知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式.（二）领会1 领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；2 领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系；3 领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；4 领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；5 领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系；6 领会微分形式的不变性；7 领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系；8 领会导数存在的充分必要

3、条件是左、右导数存在且相等.（三）运用1 会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等；2 会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；3 会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程；4 会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在；5 会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数；6 会求反函数的导数；7 会求复合函数的导数；8 会求隐函数的一阶、二阶导数；9 会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；10会求函数的高阶导数；11会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算

4、的函数的导数.13会用微分定义和微分法则求微分； 14会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数；15会用微分求函数的近似值 .（四）分析综合1 综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数；2 综合运用函数导数的定义， 左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等 讨论函数的可导性；3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、 差、 积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数；4. 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面求曲线切线与法线的问题及相关变化率问题；综合运用微分的定义及几何意义解决近似计算及误差估计问题二、教学内容的重点及难点：1 导数的概念

5、与几何意义及物理意义；2. 可导与连续的关系；3. 导数的运算法则与基本求导公式；4. 微分的概念与微分的运算法则；5. 可微与可导的关系三、教学内容的深化和拓宽：1. 导数概念的深刻背景；2. 复合函数的求导法则的应用；3. 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数 公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数；4. 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切线与法线 的问题及相关变化率问题§ 2.1导数的概念一、内容要点1. 导数的两个基本实际背景是曲线的切线斜率与变速运动的瞬时速度2. 函数在一点处的导数的定义为函数在该点处的关于自变量的变化率，即y

6、f(xg：x) - f (xg) . f(x) - f(X。)f (X0)=1四瓦=1四ZX= 1四XXg3. 单侧导数的定义1) 函数可导性与连续性的关系：若函数在一点处可导， 则函数在该点处连续， 反之不然2) 导数的实用举例(扩充)二、教学要求和注意点教学要求：1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义2. 理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件3. 了解函数可导的充要条件：f (Xg)存在f«Xg) f_(Xg)教学注意点：1 .要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率：切线的斜率k = dy ；速度：=dX与加速度

7、a = d ；角速度 = 与角加速度 dXdtdtdt:ddQ A;电流i，等等dtdt2. 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导3. 注意要用函数可导的充要条件：f (Xg)存在f(Xg)=仁(Xg)来判断分段函数在分段点处是否可导 主要内容：一、 引例1、线问题：切线的概念在中学已见过从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切准确地说，曲线在其上某点 P的切线是割线 PQ当Q沿该曲线无限地接近于P点的极限位置设曲线方程为P点的切线，只须求出 P点切线的斜率k.由上知，k恰好为割线PQ的斜率的极限.我们不难求得PQ的斜率为：f (X) - f(Xo)；因此，当p >

8、; Q时，其极限存在的话，其值就是k，即X Xolimf(x) f(xo)X 氏 X _ x0若设为切线的倾角，则有k =tan .2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为s = s(t) ( t表示时刻)，又设当t为t0时刻时，位置在s=s(t0)处，问：质点在t =t0时刻的瞬时速度是多少?为此，可取to近邻的时刻t，t - to，也可取t : to，在由to到t这一段时间内，质点的平均速度为s-s(to),显然当t与to越近，用s一睨0)代替to的瞬时速度的效果越佳，特别地，当t > tot -tot-to时，s(t) -S(to) >某常值V。，那么Vo必为to点的

9、瞬时速度，此时，t toVo3、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题,设细杆分布在0,x上的质量m是x的函数m = m(x)，那么在xo处的线密度为?olim m(x) -m(xo)Xf oX _ Xo二、导数的定义综合上几个问题，它们均归纳为这一极限f (x) _ f (x )lim-(其中x-xo为自变量x在xo的增X 內x-xo量，f(X)- f (xo)为相应的因变量的增量)，若该极限存在，它就是所要讲的导数定义：设y二f(x)在X。点的某邻域内有定义，且当自变量在xo点有一增量x( x x仍在该邻域中)时，函数相应地有增量Ay，若增量比极限:lim y即lim f(X) 一 f

10、(Xo)存在，就称其值为 x_px z x -xo=f (x)在x = x。点的导数，记为f (x0)， ydydxx =xor df或或Xxodxf(Xo) = limf (X) _ f (Xo)等等，这时，也称 y二X X。f(x)在X = X。点可导或有导数，导数存在1 :导数的常见形式还有:f (Xo)=limf(Xo ：x) - f(Xo)；f (Xo)俯 f(Xo h)-f(Xo)h Qhf (Xo)*m f(xo) f(xo h)h )o2： E反映的是曲线在xo,x上的平均变化率，而 f (X) = dydxXK是在点Xo的变化率，它反映了函数y=f(x)随x > xo而

11、变化的快慢程度3：这里dydx待到后面再讨论X =Xo与dfdxdy与f 是一个整体记号，而不能视为分子dy或df与分母dx，dx dx4 :若极限眞总即lim他X >Xof (Xo)不存在，就称 y二f (x)在x = Xo点不可导特别地，若X Xolim =:，也可称y = f (x)在x =xo的导数为：，因为此时y = f(x)在xo点的切线存在，它是垂直于x轴的直线X =x0.若y二f(x)在开区间I内的每一点处均可导， 就称y二f (x)在I内可导，且对-X. I ,均有一 导数值f (x)，这时就构造了一新的函数， 称之为y = f (x)在I内的导函数，记为y = fX)

12、，或y ， dy df (x)等dx dxf (x =x) - f (x) 卡.f (x h) - f (x)事实上， y = lim或y =lim送一？Axh注5 :上两式中，x为I内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而lx与h是变量.但在导函数中，x是变量.6: y = f (x)在x = xo的导数f (xo)就是导函数y = f (x)在x = x°点的值，不要认为是7 :为方便起见，导函数就称为导数，而f (xo)是在xo点的导数.【例1】 设f(o)=o，证明欲f(x)X二 A，那么 A = f (0).证明：因为f(x) f (o)(x)x 0xlim f(X)

13、 f(叭 AX 0x - o所以 A = f (0).【例2】若f (X)在Xo点可导,问:f(Xo hl""" > ？解:f(X。h) - f(X。- h)f (Xoh) - f(Xo)f (Xo) _ f (Xo _ h)hh> f (Xo) f (Xo) =2f (Xo).反过来，亦证明：f(Xoh)g-h)>f(xo).2h三、求导数举例【例3】求函数f(x)二C( c为常数)的导数解：在f (X)二c中，不论X取何值，起其函数值总为 c，所以，对应于自变量的增量X，有'7 = 0=lj m 7 = 0，即(C) =0.注：这里是

14、指f(x)二c在任一点的导数均为0,即导函数为0.解: f(a)=limxf x - an nx - an 1n _2n _2nJn Jlim(x ax 亠 亠a x a ) = na 即 f (a) = na x anJ亦即(xn)= nanl，若将a视为任一点，并用x代换，即得f (x) (xn nx注：更一般地，f(x)为常数)的导数为 f (x)，由此可见, 1 1 1 13*("【例5】求f (x)二sin x在x = a点的导数.解：f (a)二 limsinx sina 二 cos a，即(sin x) x 二 cosaX)ax - a-同理：若视a为任意值，并用 x代

15、换，使得f (x)二cosx，即(sin xf = cosx.注：同理可证:(cosx) = -sin x 【例6】求f (x) = ax (a0, a = 1)的导数解:f(x)“im f(x h) f(x)“imhjhhT hi P"円0也(1)叫。ga(1 + P)b1 二axl na logae所以(ax)二 ax In a .注：特别地,xx(e ) -e .【例7】求 f(x)=logax (a 0,a=1)的导数解：f(X)*mf(x h)-f(x)h_0= lim loga(x h) -logax h-S)hloga(1 )=lim-h 30h=limh 0x1 lo

16、gad 巧x1 logae =x1xln a注1：等最后讲到反函数求导时，可将log ax作为xa的反函数来求导;2 :一般地说，求导有四步:一、给出=x ；、算出：y ；三、求增量比空；心x四、求极限.” 13、(In x) .x【例8】讨论f (x)二x在X =0处的导数解：考虑 lim f(0 h) f(0)=l尸 hlim=lim sgn h，由§ 1.4 例 4 知 lim sgn h 不存在，故 x 在 x = 0 hj h0点不可导.然而，lim sgn h = -1及lim sgnh =1，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若 h” _0h” 40lim f(Xo

17、 h) f(xo)，即 lim 凹 些mh0 -0hx jxq 0 x - Xoh 0-0f(Xo h) - f(X。)即I i mx Ho _0f (X) 一 f (Xo)存在，就称其值为f(x)在X = Xo x Xo点的右(左)导数，并记为f (X。)f (x0 h) - f (x0)(f _(X°)，即 f (X°)=1即.0h怙 f(x) f(X0)x 0 X - Xof (Xo+h)-f(Xo) limh 0 -0lim 心"0).XF -0X - Xo定理1 : f (x)在x = x0点可导 二f (x)在X = X。点的左导数和右导数均存在，且相

18、等，即f _(Xo) = f . (Xo).注1：例8 f(x)的左导数为-1，右导数为1因为-1=1，所以在x = 0点不可导;2:例8也说明左可导又右可导，也不能保证可导；3 :左、右导数统称为单侧导数；FF4 :若f (x)在(a,b)内可导，且在x=a点右可导，在x=b点左可导，即f.(a), f_(b)存在，就称f (x)在a,b上可导.四、导数的几何意义由前面的讨论知：函数y = f(x)在x=x°的导数f(xo)就是该曲线在x = x°点处的切线斜率k，即k = f (xo)，或f(Xo) = t an ,为切线的倾角.从而，得切线方程为=切线方程为:X =

19、x0 .过切点P(xo,y。)，且与P点切线垂直的直线称为y = f(x)在Po点的法线.如果f(X。)= 0，法线的斜率为1 、f (Xo)，此时，法线的万程为:y 一 y。1EXXo).3T3Ty-y。=f (X0)(x-X0)若 f (X0)八二或一 2如果f(Xo)=o,法线方程为X=Xo.【例9】求曲线科仝在点P(xo,yo)处的切线与法线方程解：由于(X3)=3x2 X凶=3x°2，所以y=x3在P(Xo ,yo)处的切线方程为:(x - Xo)1当Xo = o时，法线方程为：y-yo2(x-xo)3xo当Xo =o时，法线方程为：X = o.五、函数的可导性与连续性之间

20、的关系定理2：如果函数y二f (x)在x = X。点可导，那么在该点必连续.证明：由条件知：lim y = f (xo)是存在的，其中= x - Xo,厶y = f (x) - f (xo), 心T Ax_ y由 §1、5 定理 1(i)n =f"(Xo)+a ( a 为无穷小)n = f "(xo)Ax(也x Z显然当也XT o时，有O ,所以由§、9定义1 "，即得函数y = f (X)在x = Xo点连续，证毕.注1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导反例：y = x在x = O点连续，但不可导.【例1O】求常数a,b使得f (x) =

21、 «x_ Oax b在x ： Ox =O点可导.lim f (x)二 lim f(x)二 f (O)x Q 亠x=O 解：若使f (x)在x = O点可导，必使之连续，故=e° 二 a O b 二 b = 1.又若使f(x)在x=O点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的，且f _(o)=Jim/1、o(ax b) - eaa o - x_o0x 0=1所以若有a =1，则f _(0) = f (0)，此时f (x)在x二0点可导，所以所求常数为a 二 b 二1.§ 2.2函数的和、差、积、商的求导法则一、内容要点1. 函数的线性组合、积与商

22、的求导法则U、. U - U(au 二 I ) = au 二丨.(u ) = u ：亠u()2 ；2. 反函数的导数1. 复合函数的求导法则 鱼du;dx du dx2. 小结基本求导法则与导娄公式：1) 常数和基本初等函数的导数公式；2) 函数的和、差、积、商的求导法则；3) 反函数的求导法则；4) 复合函数的求导法则.二、教学要求和注意点教学要求：1. 掌握函数的线性组合、积与商的求导法则与复合函数的链式法则教学注意点：1. 牢记x , 6%,1 nx, C 0 x, t a nx, C 0 x, Se (x, C Sex, arcsin x, arccos x, arctan x, ar

23、ccotx, sinh x, cosh x等15个初等函数的导数，必须做到“倒背如流”2. 在求导法则中，复合函数在链式求导法则是中心，应用时一要弄清函数的复合关系，做到不遗漏，不重复；二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导(即使这个变量不明显出现)，熟练掌握的关键是多做练习.主要内容：定理1 ：若函数u(x)和v(x)在点Xo都可导，贝y f (x) =u(x) _ v(x)在xo点也可导，且f (xo)二 U(Xo) _V (xo).证明：lim -f(x) -f (Xo)=limU(X)_v(x) -U(Xo) -V(Xo)X >Xox - XoX JXox - Xo= limU

24、(x) -U(Xo)-limV(x) -V(Xo)=u(Xo) 士V (Xo)x >Xox XoX >XoX Xo所以 f(X。)(X。)-V(Xo).注1 :本定理可推广到有限个可导函数上去2 :本定理的结论也常简记为(U _ V)丄_ V I定理2 :若u(x)和v(x)在x =x0点可导，贝y f (x) =u(x)v(x)在X点可导，且有证明：lim f(x) f(x°)lim u(x)v(x) u(X0)V(X°)x >x0X - X0x_AX - Xou(x)v(x) u(Xo)V(X) u(Xo)V(X)u(Xo)V(Xo) =limx &g

25、t;xox _ x0u(X)u(Xo)V(x) -V(Xo)=limv(x) lim u(x0)-x %x -x0x汽x -x0f(Xo) =U(Xo)V(Xo) U(Xo)V(Xo).= limu(x)-u(xo)x >x0xx0v(x) V(X0) lim v(x) u(x0) limX %X 內 x X0=u (Xo)v(Xo) U(Xo)V(Xo)即 f(X。)=U (Xo)V(Xo) U(X°)V(Xo).注1：若取v(x)三C为常数，则有：(cu)-cu ；2 :本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如:(uvw) = u vw uvw ucw(uvws) =

26、u vws uvws uvw s uvw 等.定理3 :若u(x), v(x)都在X=X0点可导，且V(X0) = O，则在x0点也可导，且 v(x)f (Xo)二u (Xo)v(Xo) -u(Xo)V(Xo)V2(Xo)证明:u(x) u(Xo)f(X)f(Xo)v(x) V(Xo)u(X)V(Xo) u(x°)v(x)limlimlimx%X -xox-%X-xoxXo(x-x0)v(x)v(x0)= limu(X)u(Xo)J-u(Xo)V(X)V(Xo)1x >xox-x0 v(x)x - x0v(x)v(x0)=u (x0 )1V(X°)-U(X°

27、)V(Xo)1V2 (Xo )u (Xo)v(x。)-U(X°)V (Xo)V2(Xo)即 f (Xo)二u(Xo)v(Xo) -U(Xo)V (Xo)V2(Xo)1 1注1 ：本定理也可通过 f(x) =u(x) ，及的求导公式来得;V(X)V(X)2 :本公式简化为(叭Vu V - UV2 ；V3 :以上定理13中的X。，若视为任意，并用 X代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公【例1】、 2设 f (x) = x 2 . x ，求 f(X).'X解:= (x)(2 一 x) -1x3=113 X【例 2】设 f (x)二 xeX |n x，求 f (x).解：f (

28、x)二(xeX In x)二(x) ex In x x(eX) In x xeX (In x)X |丄X 丄X 1=e I n x xe I n x xex=ex (1 In x xln x).【例3】、八 F1(tan x)一 2 ，cos X1(cta n)一 2sin x(secx)二 secx tan x,(cscx) - - cscx etan x反函数的导数定理1 ：设y = f (x)为x V:(y)的反函数，若(y)在y0的某邻域内连续，严格单调，且'(yopJ 0，f (Xo)证明：f(X)-f(X。)yy。1lim-lim-limx 氐x -x07(y)"

29、(y0)y”- ：(y) - (y-)y -y-1 1®(v)-®(Vo) 一A(Vo)l i my >yoy_yo则f (x)在Xo (即f(y。)点有导数)，且:(yo)1所以f(Xo)注 1 : X x0 二y； y0，因为(y)在y0点附近连续，严格单调;1dy 1dv dx2:若视Xo为任意，并用X代替，使得f(X)或，其中，一均为整体记号,申(y)dX (dX)dX dy(dy)各代表不同的意义；3: f (X)和:(y)的均表示求导，但意义不同；4 :定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；5 :注意区别反函数的导数与商的导数公式.【例1】求y二

30、arcsin x的导数,解：由于 y = arcsinx, x -1,1，是 x = sin y,2 2y ,的反函数，由定理1 得:n n, 1 1(arcs inx)(sin y) cosy1 _ 1 ,1-si n2y 1 - x2注1：同理可证：(arccosx) =一, (arctanx) =2 ,(arcctanx) =2 ；Jx21 + x1 + xji2: arcs in x arccosx 二 arcta n x arcc tan x 二2【例2】求y =logax的导数(a 0,M).解：利用指数函数的导数，自己做 二复合函数的求导公式复合函数的求导问题是最最常见的问题，对

31、一复合函数往往有这二个问题: 可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题1是否可导？ 2即使定理2 (复合函数求导法则)：如果u二(x)在= x0点可导，且y=f(u)在u = u0 = (x0)点也证明:X = xg点可导，且一dxx=Xo= f （ug）（Xg），或f（X）x = f（5）（Xg）lim C(X)-f( Wim f(u)-f(u。)3 一(xg)X XcJ"x Xgu UgX X。=limu Ugf（u）-f（u°） lim "X）（Xg）=f（ug）（Xg）JXgu -UgX Xo所以f（"X），二 f （Ug）（Xg）

32、.注1：若视Xg为任意，并用X代替，便得导函数:df( ：(x)dx卡 dy dy du或dx du二 f ( (x)(x)，或f(x) = f C(x)：(x)dX2 : f （ （X）与f（ （X）不同，前者是对变量 u =（X）求导，后者是对变量 X求导,注意区别3 :注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导4:复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如:f(g(h(x) > f (g(h(x) g(h(x) h (x)等.1【例3】求y = arctan的导数.x11解：y = arctan 可看成arctanu与u复合而成,XX” 1 1 ,(arctanu)亍，(_)

33、=x, 1 ” 二 y = (arcta n) x【例4】求y = x '' （为常数）的导数解： y=x = ex 是 y=eu， u-l nx复合而成的.所以 y = (x ")二(e") ( "v) (In x)这就验证了前面§ 2、1的例4.由此可见，初等函数的求导数必须熟悉 （i）基本初等函数的求导；（ii）复合函数的分解；（iii）复合函 数的求导公式；只有这样才能做到准确在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果【例 5】y - 1 - x2，求 y .解: _ 1 1y =(.1_X2) =(

34、1 X2)221-X2(1-x2)=1-x2【例1 -sin x6】y = e ，求 y .解:V37y =(e =e 知(、1 -sinx) =ejT_s"m(1 s i rx)【例解:【例解:【例解:J - si rx1 1 _s i x e2 cox1 -si rx1 cox e2 .1 -si rx27】y =arcsin(2cos(x -1)，求 y .y = (arcs in (2cos(x22 21 -4cos (x -1)2-2sin(x -1)1.221 -4cos (x -1)8】.1 -2cos(x2 -1)22-sin(x2 -1) (x2 -1)2x24xs

35、in(x -1),1 - 4cos2 (x2 -1)(2cos(x2 _1)xy = ln(ln(ln tan -),2xln(ln tan )1xIn (I n tan-)(In(In tanIn tan tan2 2xln(ln tan ), x In tan2x(In tang（吨In (I n tan) In tan2 2XJt2 a1111122 XXXXcos -tanIn tanIn In tan2222sin xx-x【例 9】sh x = (e-)2, x In tan2In In tan2x. x2e -e (-1)11 r X .心e e ,2即 shx 二 chx.同理

36、， chx 二 shx.10】y = In(x，1 x2)，求 y .y = In( x + 丁1 +x2)=1 fx + 寸1 + x2)"1 +1(1 +X2厂x 1X22 _1 X21(12xe1x T x2x2. 1同理： (ln(x , x2 -1)Jx2 -1=(archx).(c)、0(2)(sin x)二 cosx(4)(cosx)二-sin x(tan x) = sec x(6)(cot x)二- csc2 X(secx) = secx tan x(8)(cscx) - - cscx cot X(ax) Jaxl na(10)(ex)二 ex初等函数的求导公式1、常

37、数和基本初等函数的求导公式:(1)(3)(5)(7)(9)(12)(11)(ln x) = 1x(13)(arcsin x)- 訥(14)(arccosx)=1 - x2(15)(arctanx)二 11x2(16)(arc cot x)二(17)(shx) = chx(18)(chx) = shx(19)1阳 h2x(20)(arcshx)二(In(x 、x21)x21(21)(arcchx)二(ln(x x-1)(22)1(arcthx ) = ( ln )21 -x1 -x22、函数的四则运算的求导法则:设 u = u(x), V = v(x)，则(i) (u _v) =u _v1 x2

38、-1(ii) (cu)" = cu(iii) (uv) = u v uvu u v - uv*(iv) ( )"=2 (v = 0)vv3、复合函数的求导法则:设 y 二 f(u),u= (x)= y = f(：(x)的导数为:f(x) = f (x)(X)或df( (x)dx§ 2.3_df(u) du 高阶导数dydy du卡或dxdu dxd申(x)u =(X).dx一、内容要点1. 高阶导数的定义；2. 一些特殊函数的高阶导数公式；3. 两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式二、教学要求和注意点教学要求：1. 了解和会求高阶导数；2. 知道莱布尼兹求导公式:n(

39、n)k (n _k) (k)(uv)Cnuvk z0教学注意点：要求学生记住高阶导数(ex)(n)二ex;(sinx)(n)(1)(n)(")n n!()=X主要内容：xn1n 兀(n)nn二 sin(x2 )； (cosx) cos(x )；讥(廿5一1)!是有用的.；(In x)前面讲过，若质点的运动方程s =s(t)，则物体的运动速度为v(t) = s (t)，或v(t) = ds，而加dt度a(t)是速度v(t)对时间t的变化率，即a(t)是速度v(t)对时间t的导数：“、 dvd ,ds- - a(t)：dtdt' dt导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列

40、定义:()或二v(t) =(s(t)'，由上可见，加速度是s(t)的导函数的定义：若函数y = f(x)的导函数f (x)在X。点可导，就称f (x)在点xo的导数为函数y = f(x)在点x0处的二阶导数，记为f ”(x0)，即limf (x) - f (冷)=f (x0)，此时，也称函数 y = f (x)X X。在点X。处二阶可导.注1：若y二f (x)在区间I上的每一点都二次可导，则称f (X)在区间I上二次可导，并称f (x), I为f (X)在I上的二阶导函数，简称二阶导数；2 :仿上定义，由二阶导数f ”(x)可定义三阶导数f”(x)，由三阶导数 f”(x)可定义四阶导数

41、f(4) (x)，一般地，可由n-1阶导数f(z(x)定义n阶导数f (n)(x)；dny dxn或d-fdxnX 0与 f (n)(n) d y 或 d f .与f (X)，y(X)，存或扔；4 :开始所述的加速度就是 S对t的二阶导数，依上记法，可记d-2 或:-s (t)；dt5 :未必任何函数所有高阶都存在；6 :由定义不难知道，对 y = f (X)，其导数(也称为一阶导数)的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数， 一般地，n-1阶导数的导数为n阶导数，否则, 因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了.【例 1

42、】y = ax2 bx c，求 y , y : y(4).解: y =2ax b = y =2a = y = 0, y(4) =0.解:I- xxXy e , y =e , y =e ,y(4) =ex，显然易见，对任何n ,有 y(n)【例2】y二ex，求各阶导数即(ex)(n) =ex.【例3】y二sin x，求各阶导数解：y 二sin x,y =cosx 二 sin(x )2y - -s i nx 二 s i nX 二)二 s i nX 2)2讯Jiny = _cosx 二-si nX )=sinX 亠 亠)二sinX 3)2 2 2y(4)二 s i nx = s i nX 2 二)=

43、s i nX 4)2一般地，有(n)(n)-y = sin(x n )，即 (si x)(二 s i nXn ).2 2同样可求得(co x)(n) =cosX + n 二).2【例4】y =ln(1 x)，求各阶导数解:1 1n *,y 厂，y市，y1 2(1 x)3 ， (1 x)4般地，有即【例解：(ln(1x)(n)(n -1)!(1 x)n5】y=x'为任意常数，求各阶导数y=x 八, y2)xJ, y十_2)(_3才,一般地，y(n) _- 1)(亠_2)(亠-n T)xn即(x")二叫-1)(-2) C -n 1)xJ.(i) 当J = k为正整数时,a)n ：

44、k 时，(xk)(n)二 k(k1)(k2) (k - n 1)xkai ；n =k时，(xk)(k)二 k!(= n!)；n k 时，(xk)(n) =0 ；(ii)当J为正整数时，必存在一自然数k,使得当nk, (x")(n) 在x = 0处不存在.33 13 1 -1如：y = x2,y x2 , yx 2,然而，x 2在x =0处是无意义，即说明2 2 23y =2x2在x"处无导数，或【例6】y = ex COSX，求y解:y = ex cosx ex( -sin x)二 ex(cosx - sin x)，y 二 ex(cosx-sinx) ex(-sin x-c

45、osx)二 ex(-2sinx)， y - -2(exsinx excosx) - -2ex(sinx cosx).注：高阶导数有如下运算法则:(l)u(x) _v(x)(n) =u(x) _ V(x),(uv) ' = u V uv ,(uv) " j v 2u V uv , (uv) J u v 3u V 3u v uvu(x)v(x)(n)= u(n)v(0) - C；u(nJ)v - c'u(n)v"- C：u(nJVk)+1+ u(0)v(n).其中 u(0)= u,v(0) =v.Leibinz 公式【例7】上例中，求y(5).解： y(5) =

46、(excox)(5) =(ex) cox C；(ex)(c ox) C；(ex) ( cox)C3 (ex) (cosx)C； (ex) (cosx) ex(cosx)=ex cosx 5ex(-sinx) 10ex(-cosx) 10exsinx 5ex cosx ex(-sinx)= excosx5sinx10cosx 10sinx 5cosxsinx= ex(4sinx -4cosx)=4ex(sin x - cosx).【例8】验证y=Ge兴+C2e*满足关系式：y"_&2y = 0 (其中G,C2为任意常数)解:*Qknjx“2丄 a 2-Jx=c1e-c2e:y

47、qe c2e所以 y” = &2(Ge赵+c2e_赵)=h2y =y“_k2y = 0.【例x 39】验证y满足关系式:x 42y2 =(y-1)y 解:y亠=1丄x 4 x 4* 1y2 -(x4)又 2y 2 _(y _1)y =2(x -4)4 x _4 (x -4)=0dydx所以 2y 2 _(y -1)/-0 .§ 2.4隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数一、内容要点1.由一般方程F (x,y) =0确定的隐函数的导数 dy :方程两端关于x求导并解出 dx、 x = (t)dy dy (t)3. 由参数方程确定的隐函数的导数 ：=屮dx dx A(t)4

48、. 相关变化率：由变量 x(t)与y(t)满足的关系式 F(t)(t) =0导出两个变化率x (t)与y (t)之间的关系，从而由其中的一个变化率求得另一个变化率二、教学要求和注意点 教学要求：1. 会求由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶、二阶导数2. 根据实际问题，会建立两个相依变量之间的关系式，进而解决相关变化率问题. 教学注意点：要了解隐函数的导数与显函数的导数在形式上的不同:显函数y = f (x)的导数y 般是自变量x的表达式；由一般方程F(x,y)=0确定的隐函数的导数 y 中通常既含数 3则通dx常是参数t的表达式，对求这两类函数的二阶导数尤其需要学生加强练习，这是很多学生

49、常 常出错的地方.主要内容：一、隐函数的导数以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：2y = x2，5,y=xsinex,z=xlny ey sinx等等，象这样一类的函数称为显函数x但在实际问题中，函数并不全是如此，设F(x, y)是定义在区域 DR2上的二元函数，若存在一个区域I，对于I中的每一个x的值，恒有区间J上唯一的一个值 y，使之与x一起满足方程：F(x, y) =0 (1)就称方程(1)确定了一个定义域为I，值域含于J中的函数，这个函数就称为由方程(1)所确定的隐函数，若将它记为 y二f(x),xI，则有：在I上，F(x, f(x)三0.21 _5x2【例1】5x ，4y-1 = 0确定了隐函数：y4【例2】x2 y1能确定出定义在-1,1上的函数值不小于 0的隐函数y二用1-x2 ,也能确定出定义在-1,1上的函数值不大于 0的隐函数y = -A- x2 .上面求f (x)的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化注1：在不产生误解的情况下，其取值范围