弦振动规律及MATLAB数据处理文学理论

1、弦振动形成驻波的规律和数据的 MATLAB处理苗锟S黄育红2, 本论文受陕西师范大学“大学生开放性实验基金项目”资助。 作者简介：黄育红（1980-），陕西宝鸡人，陕西师范大学物理学院讲师，从事物理实验 教学；现为西北工业大学在读博士，主要从事半导体物理理论计算。，李康S宋翠1（1陕西师范大学理工科基础教学部，陕西西安，700062;2陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安，710062）摘要本文通过对大量实验数据进行分析，同时采用 MATLAB软件对数据进行 系统处理，作出了数据间的关系图。借助软件使物理分析简单化，形象化，进而 使实验者有更多的精力关注其内在的物理思想。并在此基础上，分

2、析总结出弦振 动形成驻波时波长与张力以及波长与振动频率的规律， 提出检验判断实验数据的 方法，可以使实验者在做实验的过程中随时判断数据的正确与否。关键词 弦振动；驻波；MATLAB中图分类号：04-34文献标识码：A1引言“弦振动形成驻波” 一直是高等学校普通物理实验中的传统力学实验之一， 它是研究波的形成、传播和干涉的一个重要途径。在固定均匀弦振动实验中，利 用XZDY B型均匀弦振动仪，通有交流电的金属弦线在磁场中受到安培力的作 用能够振动，在满足一定的条件下可形成驻波， 通过观察驻波波形，测量相关的 物理量，可测量弦线的线密度和横波传播的波长和波速，进而可以了解驻波传播的规律。有关学者在

3、这方面做了不少讨论。以前都是电动音叉受振动产生驻波的实验装置，现在改用均匀固定弦振动仪，使实验操作简化，物理现象明显，但是仪器仍然有些不尽人意的地方。另外 这个实验数据多而繁杂，很容易引起混淆，且计算量大，在实验数据处理方面， 到目前为止，还没有人提及对实验数据进行实时判断的具体方法，大量的实验数据极易引起混淆。为了更清晰明确整个实验的体系和思路，作者系统研究弦振动产生驻波的各 种情况，在取得大量实验数据的同时，用 MATLAB软件处理实验数据并作图， 使多而杂的实验数据所内含的物理规律清晰而形象化，并在此基础上，提出一种能实时检验判断数据的方法，使后来的实验者能随时判断自己测量数据的正确 性

4、，也为下一步的实验测量奠定了基础。2弦振动形成驻波的原理驻波是两个振幅相同、频率相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠 加，固定均匀弦振动在介质中的传播满足一定的条件就可形成驻波，如图1所示弦振动是最直观、最简单的驻波模型。正向传播的波为：力=:Acos2二（ft: Acos（，t -kx）zx反向传播的波为：y2 二 Acos2二（ft） = Acos（ -t - kx）式中x为质点位置坐标；t为时间；A为振幅；f为频率；=2二f称为圆频率； 为波长；k=2 ：/ 称为波矢；.=f为波的传播速度。两列波叠加的结果，任一点x的合成振动为：y = % y2 =2Acoskxcost由上式可见

5、，入射波与反射波合成后，弦上各点都以同一频率作简谐振动，它们X的振幅为2Acos2兀一，即驻波的振幅与时间t无关，与质点的位置x有关。:： ” 宁、：.J； t=T/4I1I 沖；1 i * I!I ' II - I U II -U I0xt=T/2"2波节图1相反方向传播的两列波形成驻波的示意图波节处振幅为零，即通过简单计算可求得相邻两波节之间的距离为:Xk 1 -Xk = 2 k 11 2k 1'442波腹处的质点振幅为最大，可计算出相邻两波腹间的距离也是半个波长。因此， 在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波 的波长。由于固定弦的

6、两端是用劈尖支住的，故两端处的点不会动，必为波节，所以,只有当弦线的两个固定端之间的距离 （弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成 驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表示式为：l =n- n =0,1,2,3,由此可得沿弦线传播的横波波长为：21(1)扎 = n式中的n为弦线上驻波的段数。波动理论指出，弦线中横波的传播速度为式中T为弦线中的张力，'为单位长度弦线的质量（即弦线的线密度）根据波速、频率及波长的普遍关系式 v =，可得v = f = f 21n由（2）式和（3）式可得f = n J = 1 T n =0,1,2,3,21.由此可见，当给定T、二1时，频率只有满足上式

7、的要求才能在弦上形成驻波。同理，当用外力（例如流过金属弦线上的交变电流在磁场中受到交变安培 力的作用）去驱动弦线振动时，外力的频率必须与这个频率一致， 才会促使弦振 动的传播形成驻波3实验数据记录及MATLAB处理调整好实验装置，实验中分别测量频率一定和张力一定条件下相关的物理量，并利用MATLAB处理实验数据，绘制各物理量之间的曲线图，使它们之间 的关系更加明确和清晰化。（西安市的重力加速度值为g公认二9.79684m/ s2）3.1在频率一定的条件下，改变张力的大小，测量弦上横波的传播速度. f。选取频率f -100HZ，张力T由砝码挂在弦线的一端产生（需考虑托盘质 量），以20.0g砝码

8、为起点，逐次增加5.0g直至140.0g为止。同时调节相应的 弦长，使弦线上出现n=1、n = 2两个驻波段。记录相应的T、丨、n值，如表1 所示，做_T测量曲线图，如图1所示。由式计算弦上横波速度的测量值.f o表1频率f 一定时实验数据测量表砝码 质量m/g张力T =mg /Nn = 1n = 2k/cm丨1A/ cm11 B/ cmI1 / cm丨2A/ cmI2B / cm12/ cm20 129.72044.3064.8020.50 :25.8064.5038.7039.852534.72044.4064.2019.8036.0079.4043.4041.503039.72037.4

9、060.8023.4026.3571.8045.4546.1335 :44.72035.5060.1024.60 :20.0269.4149.3949.304049.72039.6065.8826.28124.8276.5551.7352.154554.72040.9068.0027.1030.1084.3854.2854.245059.72039.6568.0528.4022.4079.3856.9856.895564.72039.3269.1029.78 120.1479.2059.0659.316069.72039.8070.6530.8526.9088.6061.7061.706574

10、.72036.7868.6931.917.5071.2363.7363.787079.72034.0067.3033.30 110.0075.8065.8066.207584.72034.7468.8234.0810.0078.1568.1568.168089.72034.5869.5935.018.1077.9069.8069.9185 194.72036.3072.1135.81 19.0081.0872.0871.859099.72035.0571.6036.559.0083.1074.1073.6095104.72036.0073.9537.955.4581.7576.3076.101

11、00 1109.72031.8570.6838.83 :5.0583.0077.9577.81105114.72032.4271.5539.133.8683.2079.3478.80110119.72034.4774.6240.153.7084.8981.1980.75115 1124.72023.8065.1041.30 15.5188.7283.2182.91120129.72027.0069.3042.303.2888.4085.1284.86125134.72029.0071.3042.302.5088.5086.0085.30130139.72029.6372.0642.433.55

12、91.3387.7886.32135 :144.72034.1077.4543.35 :3.5290.2086.6886.69140149.72028.4972.5244.032.1590.3988.2488.1590301I*III2G4060BO 1001201140160张力T/M图1" -T测量曲线(注：其中m包括砝码的质量和托盘的质量)程序：Datax=29.72, 34.72, 39.72, 44.72, 49.72, 54.72, 59.72, 64.72, 69.72,74.72, 79.72, 84.72, 89.72, 94.72, 99.72, 104.72,

13、109.72, 114.72,119.72, 124.72, 129.72, 134.72, 139.72, 144.72, 149.72;Datay=39.85, 41.50,46.13,49.30,52.15,54.24,56.89,59.31, 61.70,63.78, 66.20,68.16,69.91,71.85,73.60,76.10,77.81, 78.80,80.75, 82.91, 84.86, 85.30, 86.32, 86.69, 88.15;plot (Datax(1:25),Datay(1:25),'k*-'),xlabel('张力 T/N&

14、#39;), ylabel('平均波长匚 /cm')3.2在张力一定的条件下，改变频率f，测量弦线上横波的传播速度t.将40.0 g砝码挂在弦线的一端，频率f以60 Hz为起点，逐次增加5 Hz直至 175 Hz为止，调节相应的弦长l，仍使弦长出现n=1、n=2两个驻波段。记录 相应的f、丨、n值，如表2所示，做-f测量曲线图，如图2所示。由式 计算出弦上横波传播的速度-t.表2张力一定时实验数据测量表f / Hzn = 1n =2九/cml1A / cml1B / cml1 / cml2A / cml2B / cml2 / cm6033.4076.2042.804.4594.

15、3089.8587.736531.7271.9040.185.5088.0182.5181.447032.9269.2936.375.0080.9075.9074.327530.0064.5034.505.0076.2971.2970.158044.0076.6032.606.0072.6866.6865.948540.0073.5033.506.0068.5662.5664.789040.0068.7828.7810.0068.2058.2057.889545.0072.1027.1010.0066.5056.5055.3510037.0062.9025.9020.0071.9051.905

16、1.8510540.0064.4824.4825.0074.0049.0048.9811041.0064.7023.7025.0071.7046.7047.0511540.0062.5022.5030.0074.7044.7044.8512040.0061.5021.5022.2065.2743.0743.0412539.8060.5020.7022.1164.1242.0141.7113038.6058.4119.8123.3863.6140.2339.9313539.3158.6219.3125.0963.8638.7738.7014040.2858.9118.6327.2564.5337

17、.2837.2714539.0056.4917.4927.1963.1735.9835.4815039.3857.0217.6427.3461.4034.0634.6715539.5056.0116.5129.2862.3833.1033.0616040.2656.1015.8431.8963.9032.0131.8516546.0061.8415.8433.3565.1431.7931.7417044.5159.7815.2734.3865.0330.6530.6017544.1058.8814.7832.8562.5929.7429.659080706050403D -_201|*IIIJ

18、O60SO 1001201401S0160频率仃HZ图2" - f测量曲线程序：Datax=60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175;Datay=87.73, 81.44, 74.32, 70.15, 65.94, 64.78, 57.88, 55.35, 51.85, 48.98, 47.05, 44.85, 43.04, 41.71, 39.93, 38.7, 37.27, 35.48, 34.67,

19、33.06, 31.85, 31.74, 30.6, 29.65;plot (Datax(1:24),Datay(1:24),'k*-'), axis(40,180,20,90), xlabel('频率 f /Hz'), ylabel('平均波长 /cm')4弦振动形成驻波的规律由式f =2"石S =0,123,)分析可知：因铜丝线密度是一定值，也可以设计实验测量其大小。当频率固定不变时，乂,张力越大波长越大，这也可由表1的计算数据 和图1看出。此时，对表1中的数据横向比较，即在某一特定张力下，理论上 也 就一定了，n =1, n=2两

20、段驻波对应弦长之比* : l1=2： 1,推而广之，若实验条件允许，能测出n段驻波，则各段驻波对应弦长之比为n : n- 1 : n-2 :2: 11当张力固定不变时，乂f，频率越大波长越小，即某一段驻波下，频率越大，测得对应弦长越小。由表2和图2可以很直观的看到这个规律。对表2中的数 据横向比较，即在某一固定频率下，理论上 n =1, n = 2两段驻波对应弦长之比应 为12 : lf=2 : 1,当然在实验过程中，由于各方面的误差，弦长之比近似为 2： 1, 这也可以侧面检验我们实验数据的可靠性。在学生掌握以上规律后，实验进行过程中若出现明显不符合此规律的数据时，即可很快判断引起该粗大误差

21、的原因， 分析导致此现象的深层次原因。 该方 法能有效避免因操作不当而记录的错误数据， 通过提炼总结理论中的规律，也培 养了学生理论联系实际，站在理论高度分析问题的能力。实践证明此法行之有效。5检验判断实验数据的方法判断实验数据的有效性可通过以下几种方式进行：(1) 列表法。使用数据表检验数据，表中未列出的可根据内插法推出。(2) 作图法。通过简单运算，检验在一定的张力或频率下，所得的波长与图 中对应的数据的差距，判断所测数据是否合理。(3) 根据总结出的弦振动形成驻波的规律。实际在做实验的时候，前两种方法实施起来比较麻烦，要实时初步判断数据 的合理性与准确性，建议采用第三种方法，在误差范围内

22、，该方法简单易行，可 操作性强，能快速剔除粗差。6完善仪器方面的建议1. 托盘的重量对张力的影响。建议把托盘制成标准的质量，如 8g或10g等， 方便张力的准确测量和计算。2增大振幅。可以通过适当增大电流、提高磁场强度、减小金属丝电阻等方式，增大驻波振动的振幅，从而使驻波的现象更明显，使实验者更容易的观察 判断出最大振幅的位置。3.稳定驻波波形。设法使电流更加稳定，使磁场更加均匀，并减弱托盘的摆动幅度，以达到短时间内使驻波波形稳定的目的7 结束语本文通过对大量实验数据进行分析， 总结出弦振动时驻波波长与张力， 波长 与振动频率的规律， 提出了检验判断实验数据的方法， 可以使实验者在做实验的 过

23、程中随时判断数据的正确与否，同时利用 MATLAB 软件处理数据和作图，使 实验规律更加形象化，物理思想更加明确化。参考文献：1 吴俊林，袁胜利，刘志存，鲁百佐基础物理实验 M 陕西：陕西师范大 学出版社， 2005，78802 钞曦旭，杨万民，唐纯青 MATLAB 及其在大学物理课程中的应用 M 西 安：陕西师范大学出版社， 20063 余凤梅，潘玲珠，冯显灿判定“弦振动研究”实验数据的两种方法J 仲恺农业技术学院学报， 2005， 18(3)：444The Law of Standing Wave During String Vibration andData Processing with MATLAB1 2 1 1Miao Kun , Huang Yuhong , Li Kang , Song Cui( 1. Department of theBasic Teaching of Science