希尔伯特的23个问题

1、希尔伯特的 23 个问题希尔伯特( )是二十世纪 上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个 世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿 阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔 伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的 个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统 在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国自然杂志发表 过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以 某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山 大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900 年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了 23 个最重要 的问题供二十世

2、纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯 特 23 个问题。1975 年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上， 数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23 个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余 一半的大多数也都有重大进展。1976 年，在美国数学家评选的自 1940 年以来美国数学的十 大成就中，有三项就是希尔伯特第 1、第 5、第 10 问题的解 决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上 光荣。下面摘录的是 1987 年出版的数学家小辞典以及其它一 些文献中收集的希尔伯特 23 个问题及其解决情况： 1 连续统假设 1874 年，康托猜测在可列集基

3、数和实数基 数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。 1938 年， 哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛-弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。 1963 年，美国数学家科亨证明连 续假设和策梅洛 -伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此， 连续统假设不能在策梅洛 - 弗伦克尔公理体系内证明其正确 性与否。希尔伯特第 1 问题在这个意义上已获解决。2 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算 术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论 方法加以证明。 1931 年，哥德尔发表的不完备性定理否定了 这种看法。 1936 年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件 下证明了算术公理

4、的相容性。1988 年出版的中国大百科全书数学卷指出，数学相容性 问题尚未解决。3 两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解 为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W. 德恩1900 年即对此问题给出了肯定解答。4 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。 满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。 1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题 获得解决。中国大百科全书说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各 种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。5. 一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是

5、可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局 部欧氏群都有一定是李群？中间经冯诺伊曼（ 1933，对紧群 情形）、邦德里雅金（ 1939，对交换群情形） 、谢瓦荚（ 1941， 对可解群情形）的努力， 1952 年由格利森、蒙哥马利、齐宾 共同解决，得到了完全肯定的结果。6. 物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演 出全部物理，首先是概率和力学。 1933 年，苏联数学家柯尔 莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场 论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很 多人表示怀疑。7. 某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地

6、解决了问题的后半部分，即对于任意代数数0 ， 1 ，和任意代数无理数证明了 的超越性。8. 素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题 等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳 结果属于陈景润（ 1966），但离最解决尚有距离。目前孪生 素数问题的最佳结果也属于陈景润。9在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学 家高木贞治（1921）和德国数学家 E.阿廷（1927）解决。10 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数 根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限 步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？ 1970 年， 苏联的 IO.B. 马季亚

7、谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不 存在。11. 系数为任意代数数的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西 格尔（ 1 936， 1 951 ）在这个问题上获得重要结果。12. 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域 上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很 远。13. 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次 方程的根依赖于 3个参数a、b、c，即x=x （ a， b，c）。这 个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解 决了连续函数的情形（ 1957） ，维士斯金又把它推广到了连 续可微函数的情形（ 1964）。但如果要求是解析函数，则问 题尚未解决。1

8、4. 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有 关。 1958 年，日本数学家永田雅宜给出了反例。15. 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维 空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化， 并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数 几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。 后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置， 其中 X 、 Y 是 x、 y 的 n 次多项式 .苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证

9、明了 n=2 时极限环的个数不超过 3，但这一结论是错误的，已由 中国数学家举出反例（ 1979）。17 半正定形式的平方和表示 一个实系数 n 元多项式对一 切数组 （x1,x2,.,xn） 都恒大于或等于 0，是否都能写成平方和 的形式？ 1927 年阿廷证明这是对的。18 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫 （1910）、荚因哈特（ 1928）作出部分解决。19 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很 少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。20 一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很 大的数学分支。目前还在继续研究。21 具有给定单值群的线性微分

10、方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。22 由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P克伯获重要突破，其他方面尚未解决。死记硬背是一种传统的教学方式 ,在我国有悠久的历史。 但随 着素质教育的开展 ,死记硬背被作为一种僵化的、 阻碍学生能 力发展的教学方式 ,渐渐为人们所摒弃 ;而另一方面 ,老师们又 为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当 , “死记硬背 ”与提高学生素质并不矛盾。相反 ,它恰是提高学生语文 水平的重要前提和基础。 23 变分法的进一步发展出 这并 不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法

11、。20 世纪以来变分法有了很大的发展。 “教书先生 ”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的 门馆、私塾到晚清的学堂， “教书先生 ”那一行当怎么说也算 是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生 ”概念并非源于教书，最初出现的 “先生 ”一词也并非有传授知 识那般的含义。 孟子 中的 “先生何为出此言也？ ”；论语 中的 “有酒食，先生馔 ”；国策中的 “先生坐，何至于此？ ” 等等，均指 “先生 ”为父兄或有学问、 有德行的长辈。 其实国 策中本身就有 “先生长者，有德之称 ”的说法。可见 “先生 ” 之原意非真正的 “教师 ”之意，倒是与当今 “先生 ”的称呼更接 近。看来， “先生 ”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问 者的专称。称 “老师 ”为“先生 ”的记载，首见于礼记 ?曲礼， 有“从于先生，不越礼而与人言 ”，其中之 “先生 ”意为“年长、 资深之传授知识者 ”，与教师、老师之意基本一致。 这个工作可让学生分组负责收集整理 ,登在小黑板上 ,每周一 换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生