勾股定理练习题及答案(共6套)

1、勾股定理课时练（1）7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有1cm的f处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的1 .在直角三角形ABC中，斜边AB=1,则AB2bc2ac2的值是（）2 .如图1824所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCDAD/BC斜腰DC的长为10cm,/D=120,则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.3 .直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.4 .一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有钱链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口蜘蛛，所走

2、的最短路线的长度.8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cmo求CD的长.5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底第5题图ABCD 中,6.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机/A=6。,/B=/D=90°,BC=ZCD=3求AB的长.10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少一距离这个男孩头顶5000米，求飞机每小时飞行多少千米11如图

3、，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13nl宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱13m5m第11题12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源.为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10:00,甲、乙二人相距多远还能保持联系吗第一课时答案:，提示：根据勾股定理得BC2AC21,所以ab2BC2AC2=1+1=2；,提示：由勾股定理可得斜边的长为5m,而3+4-5=2m,所以他们少走了4步.3

4、.60，提示：设斜边的高为X,根据勾股定理求斜边为利用面积法得,11-512-132260x,x一134.解：依题意,AB=16m,AC=12m,在直角三角形ABC中，由勾股定理，2_2_2_2_2BCABAC1612202,所以BC=20m,20+12=32(m),故旗杆在断裂之前有32m高.ce=30(cm),2.60由勾股定理，得cf=cE2EF230216234(cm)a解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得8.2_2_2_22_BCACAB3425在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD=BC+BD2=25+122=169,所以CD=13.9.解：延长BCAD交于点E.（如图所

5、示）,:/B=90°设AB=X,/A=60°,E=30°又CD=3则AE=2X,由勾股定理。得（2x）2CE=qBE=8,x282,x-vr33B交MNF点P,则A'B就是最短路线.在A'6.解：如图，由题意得，AC=4000米，/C=90°,AB=5000米，由勾股定理得bc=J50002400023000(米),3所以飞机飞行的速度为一记一540（千米/小时）36007.解：将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CE±AB于E.A点关于MN勺对称点A',连接A如图，作出10.走了5千米,即OE=5.在RtCEF,CEF

6、90,ef=i8-i-i=16(cm),在RtAOAEJ,AB=122十52=169,.AB=13,13 千米因此，上午10：00时，甲、乙两人相距15>13,二甲、乙两人还能保持联系.勾股定理的逆定理（2）一、选择题1 .下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（），12，15B.513一，41,9,442 .满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）三、解答题9 .如图，已知四边形ABCDK/B=90°,AB=3,B（=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD勺面积.A连接af ae问 AEF是什么三角形请说明理由C.三边之比为 J3 ： 2 ： J5 D.三个

7、内角比为1 ： 2： 33.已知三角形两边长为 2和6,要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A. !2 B. 2<10 C. 4v2或2w,10 D.以上都不对4.五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确A B C二、填空题11.如图，AB为一棵大树，在树上距地面 10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从 D处上爬到树顶 A处，利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑至I C,已知两猴子所经路程都是 15ml求四高AB5 . 4ABC的三边分别是7、24、25,则

8、三角形的最大内角的度数是.6 .三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7 .已知三角形abc的三边长为a,b,c满足a b 10,ab 18, c 8,则此三角形为 三角形.8 .在三角形 ABC中，AB=12Cm , AC=5Cm , BC=13Cm ,贝U BC边上的高为 AD=cm .第11题A.三个内角比为1：2：1B.三边之比为1：2：J5第9题图一一一一10 .如图，EF分别蹇正万形ABC阱BCWCDa上的点，且AB=4,CE=4BGF为CD的中点,12.如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出/A=40°/B=50°,AB=5公里，BC=4公里，若每天11-12

9、513AD;22凿隧道公里，问几天才能把隧道 AB凿通三、9.解：连接AC在RtAABC,aC=aB+bC=32+42=25,AC=5.在ACDKaC+CD=25+122=169,而AB=132=169,aC+cD=aB,/ACC90°.故Shwabc=Saab#SaAC=-AB-BOAC-CI=X3X4+-X5X12=6+30=36.2222勾股定理的逆定理答案：_2_2一、；，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=，22622410;当6为斜边时，第三边为直角边=<'622万4J2；4.C；二、。提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的

10、内角为190.，提小：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为,91254.7.直角，2提示：2222222(ab)100，得ab2ab100,ab100218648c；8.-60,提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得10.解：由勾股定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20,.aE=EF+AF2,.AE禹直角三角形11 .设A=x米，贝UAB为(10+x)米，AE(15-x)米，BE5米，：(x+10)2+52=(15-x)：解得x=2,10+x=12(米)12 .解：第七组，a27115,b27(71)112,c1121113.第n组，a2n1,b2

11、n(n1),c2n(n1)113勾股定理的逆定理(3)图18-2-7一、基础,巩固1 .满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是Q)A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：52 .如图1824所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCDAD/BC斜腰DC的长为10cm,/D=120,则该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).6 .已知ABC的三边分别为k21,2k,k2+1(k>1),求证：ABC是直角三角形.二、综合应用7 .已知a、b、c是RtABC的三边长，卜1BC的三边长分别是2a、2b、2c,那么zM1BC

12、1是直角三角形吗为什么图18r图1825图18263 .如图1825,以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S2、S3,且S=4,&=8,则AB的长为.4 .如图1826,已知正方形ABCD勺边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD,4试判断EFC的形状.8.已知：如图1828,在4ABC中,求证：ABC是直角三角形.图18-2-8CDAB边上的高，且cD=AD-BD.9.如图18-2- 9所示，在平面直角坐标系中， 点A B的坐标分别为 A (3, 1), B (2, 4), AOAB5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/A与/BDCB应为

13、直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗是直角三角形吗借助于网格，证明你的结论10.已知：在ABC中，/A/RZC的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以1r应选D.答案：D2.如图1824所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCDAD/BC斜腰DC的长为10cm,/D=120,则该零件另

14、一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.-2-10参考答案一、基础,巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（工）A.三内角之比为1 ： 2 ： 3 B.三边长的平方之比为 1 ： 2 ： 312.已知：如图18210,四边形ABCDAD/BCAB=4,BC=QCD=5AD=3.求：四边形ABCD解：过D点作DEZAB交BC于E,则rDEC是直角三角形.四边形ABE比矩形，.AB=DE.,./D=120,CDE=30.又在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，：CE=5cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=.102525.3cm.-AB=,102525.3cm.3 .

15、如图1825,以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S2、S3,且S=4,S2=8,则AB的长为.C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：5图1825图1826思路分析：因为4ABC是Rtz所以BC+AC=AB2,即S+$=S3,所以$=12,因为$=AB,所以ab=S31223.答案：2.34 .如图1826,已知正方形ABCD勺边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD,4试判断EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CECF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E为AB中点，：BE=2.CE2=BE+BC2=22+42=20.同理可求得，EF2=

16、AE+AF=22+12=5,CF2=DF+CD=32+42=25.CE2+EFf=CFf,.EFC是以/CEF为直角的直角三角形.5 .一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/A与/BDCB应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗图1827思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ADB和DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在4ABD中，AB+AD=32+42=9+16=25=bD,所以4ABD为直角三角形，/A=90°.在4BDC中，B6+DC=52+122=25+14

17、4=169=132=BC.所以4BDC是直角三角形，/CDB=90.因此这个零件符合要求.6 .已知ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k>1),求证：ABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证明：,k2+1>k21,k2+12k=(k1)2>0,即k2+1>2k,：k2+1是最长边.(k21)2+(2h)2=k4-2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,.ABC是直角三角形.二、综合应用7 .已知a、b、c是RtABC的三边长，卜BC的三边长分别是2a、2b、2c,那么zMiBCi是直角三角形吗为什么

18、思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形(例2已证).解：略8 .已知：如图1828,在4ABC中，CD是AB边上的高，且CDmAD-BD.求证：ABC是直角三角形OB=OB2+BB2=22+42=20,D图1828思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证明：AC2=aD+cD,BC2=CD+BD,：AC2+BC=AD+2CD+BD=AD2+2AD-BD+BD2=(AD+BD2=AB2.ABC是直角三角形.9.如图1829所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),AOAB是直角三角形吗借助于网格，证

19、明你的结论思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OAAROB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB是否是直角三角形即可.解：OA2=O/A2+AiA?=32+12=10,AB?=AC2+BC2=12+32=10,.-.OA2+A=OB?.OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形丁10 .阅读下列解题过程：已知a、b、c为4ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4,试判断ABC的形状.解：a2c2b2c2=a4b4,(A).c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2),(B).c2=a2+b2,(C)/ABC1直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的请写出该步的代号;错误的原

20、因是E;本题的正确结论是.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能，当a=b时4ABC是等腰三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形.11 .已知：在ABC中，/A/RZC的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0,则都为0;(3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得a210a+25+b224b+144+c226c+

21、169=0,配方并化简得，(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.12.1 .(a-5)2>0,(b12)2>0,(c13)2>0.2 .a-5=0,b12=0,c13=0.解彳1a=5,b=12,c=13.又丁a2+b2=169=c2,.ABC是直角三角形.已知：如图18210,四边形ABCDAD/BCAB=4,BC=QCD=5AD=3.求：四边形ABCD的面积.:DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在ABDA中AD+Ae=32+42=25=BD,：ABDA是直角三角形它们的面积分别为Sabda=-X3X4=6;S2四边形ABC=SaBda+Sadbc=6+12=18.

22、_1DBC=2X6X4=12.图18210思路分析：(1)作DEZAR连结BR则可以证明AB里AEDB(ASQ;(2)DE=AB=4,BE=AD=3EC=EB=3;(3)在DEC中，3、4、5为勾股数，DEC为直角三角形，DELBC(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DEZAR连结BD,则可以证明AB里AEDB(ASQ,.DE=AB=4BE=AD=3.BC=6,：EC=EB=3.DE2+CE=32+42=25=CD,.DEC为直角三角形又.EC=EB=3,勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为S=tt,S=8无，&=无，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定

23、是直角三角形吗说明理由2.求知中学有一块四边形的空地ABCD如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量/A=90°,AB=3mBC=12mCD=13mDA=4m若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少5.（8分）观察下列各式，你有什么发现32=4+5,52=12+13,72=24+2592=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢（1）填空：132=+（2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。资金买草皮3.（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cmBC=10cm求EC的长。6 .如图，在RtA

24、ABC,/ACB=90,CD!AB,BC=6,AC=8,求ABCD的长ABDc7 .在数轴上画出表示J17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少8.已知如图，四边形ABC由，/B=90°,AB=4,BC=3,CD=12AD=13,求这个四边形的面积9.如图，每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD勺面积。一、填空、选择题题:13、14、15、勾股定理复习题（5）3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞

25、口，圆的直径至少为（米。16、4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是（）米。6、在ABC中，/C=90°,AB=10O(1)若/A=30°,则BC=。(2)若/A=45°,8、则BC=17、在ABC中，/C=90°,AC=,BC=.则斜边上的高CD=mABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cnflUAC的长为cm两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行，5秒钟后他们相距米.写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗两直线平行，内错角相等。如果

26、两个实数相等，那么它们的平方相等。全等三角形的对应角相等。角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（(A)a=15b=8c=17(B)a:b:c=1:(C)a=2b=c=(D)a=13b=14c=15若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是（).C.28或28211、三角形的三边abc,满足（ab）c22ab,则此三角形是三角形。18、下列各命题的逆命题不成立的是12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明A.两直线平行，同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等向东走80米后又向方向走的。C.对顶角相等D.如果a=b或a+b=0,那么a2b2、解答题:19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面22、请在数轴上标出表示J5的点尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少（其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺）21、某港口位于东西方向的海岸