《几种重要的分布》ppt课件

1、第第13次课：重要分布次课：重要分布二项分布、超几何分布的实践背景和数学二项分布、超几何分布的实践背景和数学模型及其数字特征。模型及其数字特征。可以用二项分布把实践问题模型化，并进可以用二项分布把实践问题模型化，并进展相关计算与讨论。展相关计算与讨论。完成习题四完成习题四2，6，8，10，12。 在第一章引见过独立实验概型在第一章引见过独立实验概型knkknqpCkP 作作n次相互独立的实验次相互独立的实验, 每次实验事件每次实验事件A出现出现的概率为的概率为p, 不出现的概率为不出现的概率为q=1-p, n次实验次实验中事件中事件A出现的次数出现的次数x为一离散型随机变量为一离散型随机变量,

2、 如假设第如假设第i次实验时事件次实验时事件A发生的次数为随发生的次数为随机变量机变量xi, 那么那么xi服从服从0-1分布分布,Pxi=1=p, Pxi=0=q=1-p, (i=1,2,.,n)因此有因此有x=x1+x2+.+xn 二项分布二项分布定义定义 4.1 假设随机变量假设随机变量x有概率函数有概率函数其中其中0p1, q=1-p, 那么称那么称x服从参数为服从参数为n,p的二的二项分布项分布. 简记作简记作xB(n,p). 在这里在这里Px=k的值恰好是二项式的值恰好是二项式(q+px)n展开展开式中第式中第k+1项项xk的系数的系数.假设假设xB(n,p), 那么那么x可看作是由

3、可看作是由n个取个取1概率为概率为p的相互独立的的相互独立的0-1分布的随机变量分布的随机变量xi,i=1,2,.,n的和的和, x=x1+x2+.+xn), 1 , 0(nkqpCkPpknkknk的分布函数为mlkknkknmkknkknxkknkknqpCmlPmlAqpCmPmAqpCxF0)(0的概率是不大于出现次数不小于事件次的概率是至多出现事件例1 某工厂每天用水量坚持正常的概率为3/4, 求最近6天内用水量正常的天数的分布.解 设最近6天内用水量坚持正常的天数为x, 那么xB(6,0.75), 因此178. 04360044. 0414310002. 041045166PCPP

4、其分布表如下表所示0123456P0.0002 0.0044 0.033 0.1318 0.2966 0.3560.178分布图:0.0000.0000.0500.0500.1000.1000.1500.1500.2000.2000.2500.2500.3000.3000.3500.3500.4000.4000 01 12 23 34 45 56 6P P例2 10部机器各自独立任务, 因修缮调整的缘由, 每部机器停车的概率为0.2. 求同时停车数目x的分布.解 xB(10,0.2), 用贝努里公式计算pk如下表所示012345678910P0.110.270.30.20.090.030.01

5、0.00.00.00.0概率分布图如以下图所示0.000.000.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 二项分布的最能够值二项分布的最能够值使概率使概率Px=k取最大值的取最大值的k0称为二称为二项分布的最能够值项分布的最能够值, 如图表示如图表示由上图可知P(x=k0)P(x=k0+1)且P(x=k0)P(x=k0-1)k0k0+1 k0+2k0-1k0-2.pnpkpnpkpnpqkpknqpCqpCkpnpkpnqkpknqpCqpCkknnknkknknCCknk

6、knknkknknkknknkknknkn0000111000011111,11) 1()(,) 1(1) 1(1!)!1()!1()!( !000000000000即再由得由因所以二项分布的最能够值所以二项分布的最能够值NoImage 10非整数时当pnppnppnppnpk例例3 一批产品的废品率一批产品的废品率p=0.03, 进展进展20次次反复抽样反复抽样(每次抽一个每次抽一个, 察看后放回去再抽察看后放回去再抽下一个下一个), 求出现废品的频率为求出现废品的频率为0.1的概率的概率.解解 令令x表示表示20次反复抽取中废品出现的次次反复抽取中废品出现的次数数, xB(20, 0.03

7、)0988. 097. 003. 0)2(1 . 020182220CPP二项分布的期望和方差如xB(n,p), 那么x可看作n个相互独立的0-1分布的随机变量x1,x2,.,xn之和,x=x1+x2+.+xn而且我们知道0-1分布的期望为p, 方差为pq,因此易得Ex=Ex1+Ex2+.+Exn=npDx=Dx1+Dx2+.+Dxn=npq即npqnpqDnpE,一些例子假设是反复地掷硬币实验掷了100次, 那么xB(100, 0.5), 最能够值是1000.5+0.5=50+0.5=50假设xB(1000,0.3), 那么最能够值是10000.3+0.3=300在实践运用中, np+p正好

8、是整数的情况几乎不存在. 例4 某批产品有80%的一等品, 对它们进展反复抽样检验, 共取出4个样品, 求其中一等品数x的最能够值k0, 并用贝努里公式验证.解 xB(4, 0.8), 因np+p=40.8+0.8=4是整数, 所以k0=4和k0=3时Px=k为最大, 即3和4为最能够值.01234P0.00160.02560.15360.40960.4096普通说来, 在n很大时, 不等式.,111000最大即频率为概率的可能性故近似等于零和中即pnknpnpnppnknpppnpkpnp 超几何分布例1. 某班有学生23名, 其中有5名女同窗, 今从班上任选4名学生去观赏展览, 被选到的女

9、同窗数x是一个随机变量, 求x的分布.解：解： x可取可取0,1,2,3,4,5这这5个值个值, 相应概率为相应概率为)4 , 3 , 2 , 1 , 0()(4204155kCCCkPkk概率分布表为01234P0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0310概率分布图为:定义: 设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二类(N1+N2=N). 从中按不反复抽样取n个, 令x表示这n个中第一(或二)类元素的个数, 那么x的分布称为超几何分布. 其概率函数为:0,), 1 , 0()(21rnnNmnNmNCrnnmCCCmP则如果规定根据概率分布的

10、性质, 必有nNNnmmnNmNnmnNmnNmNnmCCCCCCmP212121000, 1, 1)(即和二项分布相比, 二项分布是放回抽样, 而超几何分布是不放回抽样.当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1/N相当于二项分布中的参数p, N2/N相当于二项分布中的q=1-p.超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0-1分布的随机变量xi的和, i=1,2,.,n, xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据抽签原理P(xi=1)=N1/N, 但假设ij, xi与xj相互之间是不独立的.计算超几何分布的数学期望由于x可看作n个相互并不独立但依然服从同样的0-1分布的随机变量x1,

11、x2,.,xn的和,x=x1+x2+.+xn, 其中NNnnpEEEniNNpEniiniii1111, 2 , 1,因此可以以为超几何分布的数学期望与二项分布的一样计算x的方差因xi服从0-1分布, 那么xi2也服从同样的0-1分布, 那么Exi2=N1/N, 当ij时, xixj也服从0-1分布, )()() 1() 1() 1(21222121211121211nnnnnnnjijiEEEENNNNP而因此11) 1() 1()()() 1() 1()(212212112122211212NnNnpqNnNNNNNnNNnNNNNnnNNnEEDNNNNnnNNnE 也可以直接用定义来计

12、算Ex和DxNNnCCNCCCNEmkCmNmNCNCmNmNmCCCCmmmPEnNnNknNnkkNnNnmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm1111110111111111002122211)!()!1()!1()!( !1)(则令 计算Dx必需求先计算Ex(x-1) 1() 1() 1() 1() 1()!()!2()!2() 1()!()!2(!1) 1()() 1()1(11221120)2(21122111121120212221NNnnNNCCNNCCCNNCmNmNCNNCmNmNCCCCmmmPmmEnNnNnkknNkNnNmknmmnNnNnmmnNnNnm

13、nNmnNmNnm 因此NnNNNnnNNEEE1112) 1() 1() 1()1(11) 1() 1() 1()(21221211122NnNnpqNnNNNNNnNNnNnNNNnnNNEED 在实践运用中元素的个数N是相当大的, 例如, 从中国人民中任抽几千个人察看, 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件察看, 等等.而在N非常大的情况下, 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是一样的.因此有, 当N很大的时候, 超几何分布可用二项分布来近似.或者换句话说, 当N趋于无穷时, 超几何分布的极限是二项分布. 为证明这一点, 首先给出一个近似公式!)11 ()21)(11 (!) 1()2)(1

14、(!mnnmnnmnmmnnnnCmnCmnmnmmnmmn 这是因为保持不变的时候很大而当因此, 假设x服从超几何分布, 那么当抽样数n坚持不变且远小于样本数N即也小于N1和N2时mnmmnmnmnmnmnNmnNmNqpCNNNNmnmnnNmnNmNCCCmP2121)!( !)!(!)(21这正是二项分布的概率函数表达式当N趋于无穷时, 上面的约等于就成为等于例3 一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1) 恰有8粒发芽的概率; (2) 不少于8粒发芽的概率.解 设10粒种子中发芽的数目为x. 因10粒种子是由一大批种子中抽取的, 这是一个N很大, n相对于N

15、很小的情况下的超几何分布问题, 可用二项分布近似计算.其中n=10, p=90%, q=10%, k=89298. 09 . 01 . 09 . 091937. 08)2(1937. 01 . 09 . 08) 1 (10928810PCP 第第14次课次课:重要分布重要分布普哇松分布普哇松分布指数分布指数分布-分布分布熟记其数字特征熟记其数字特征用普哇松分布对二项分布进展近用普哇松分布对二项分布进展近似计算，似计算，完成课后作业习题四完成课后作业习题四14-18。 普哇松普哇松(Poisson)分布分布 普哇松分布常见于所谓稠密性普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中的问题中, 如一段时间内如一

16、段时间内, 用户对用户对台的呼唤次数台的呼唤次数, 候车的旅客数候车的旅客数, 原原子放射粒子数子放射粒子数, 织机上断头的次织机上断头的次数数, 以及零件铸造外表上一定大以及零件铸造外表上一定大小的面积内砂眼的个数等等小的面积内砂眼的个数等等.0), 2 , 1 , 0( !)()(memmPmPm普哇松分布的数学期望eekeEmkmeemmEkkmmmm0110!, 1)!1(!则令普哇松分布的方差DDEEEDEEmeemmmEmmmm,)()!2(!) 1()1(222222222220则 通常在n比较大, p很小时, 用普哇松分布近似替代二项分布的公式, 其中l=np. 普哇松分布的方

17、便之处在于有现成的分布表可查(见附表1) 例1 x服从普哇松分布, Ex=5, 查表求P(x=2), P(x=5), P(x=20)解解 因普哇松分布的参数因普哇松分布的参数l就是它的期望值就是它的期望值, 故故l=5, 查书后附表一查书后附表一, 有有P5(2)=0.084224, P5(5)=0.175467,P5(20)=0例例2 一大批产品的废品率为一大批产品的废品率为p=0.015, 求任取一箱求任取一箱(有有100个产品个产品), 求箱中恰有一个废品的概率求箱中恰有一个废品的概率.解：解： 所取一箱中的废品个数所取一箱中的废品个数x服从超几何分布服从超几何分布, 由于产品数量由于产

18、品数量N很大很大, 可按二项分布公式计算可按二项分布公式计算, 其中其中n=100, p=0.015.335953. 0985. 0015. 0) 1(991100CP但由于但由于n较大而较大而p很小很小, 可用普哇松分布公式近似可用普哇松分布公式近似替代二项分布公式计算替代二项分布公式计算. 其中其中l=np=1.5, 查表得查表得:P1.5(1)=0.334695误差不超越误差不超越1%.例3 检查了100个零件上的疵点数, 结果如下表:疵点数0123456频用普哇松分布公式计算疵点数的分布, 并与实践检查结果比较.解:2)63127014(1001 计算出来的图

19、表如下所示:疵点数0123456频率0.140.270.260.20 0.070.030.03概率0.0.271 0.271 0.18 0.09 0.036 0.01 指数分布指数分布定义定义 如随机变量如随机变量x的概率密度为的概率密度为xj()的指数分布服从参数为则称其中其它当j, 000)(xexx 指数分布的分布函数时当时当因此时当时当0100)(1)(,00)(,0,)()(|00 xexxFeedtexFxxFxdttxFxxxtxtxj对任何实数a,b(0a1000)=1-P(x1000)=1-F(1000)=e-1各元件寿命相互独立, 因此3个这样的元

20、件运用1000小时都未损坏的概率为e-3(约为0.05). G分布定义4.5 假设延续型随机变量x具有概率密度),(, 0, 0000)()(1rrxxexrxxrrGGGj记作分布服从则称其中函数被称为GG01)(dxexrxr G函数的一个重要性质是G(r1)rG(r), )( ) 1(:010000|rrxdxerxdeexdexdxexrrxrxxrxrxrGG证 G分布的数学期望GGGGGGGjrrrrrrdtetrxdexrdxexrdxxxEtrxrxr)()() 1()(1)(1)()()(1)()(1)(000 G分布的方差2222222222012012) 1()() 1(

21、)()() 1()() 1() 1()()2()(1)(GGGGGGGGrrrrEEDrrrrrrrrrrrdtetrdxexrEtrxrr当r=1时, 000)(xxexxj阶爱尔朗分布这是排队论中常用到的 rxxexrxxrr000)!1()(1j这是指数分布,当r为正整数时,当r=n/2(n是正整数), l=1/2时, 000)2(21)(2122xxexnxxnnGj这是具有n个自在度的2-分布(简记作2(n), 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一.假设xc2(n), 那么Ex=n, Dx=2n.定理：假设x1,x2,.,xn相互独立, 且xiG(l,ri), (i=1,2

22、,.,n),那么 x1+x2+.+xnG(l, r1+r2+.+rn)推论推论(需求记住需求记住)：假设：假设x1,x2,.,xm相互相互独立独立, 且且xic2(ni), (i=1,2,.,m),那么那么x1+x2+.+xmc2(n1+n2+.+nm)第第15次课次课:重要分布重要分布 正态分布的实践背景和数学模型正态分布的实践背景和数学模型 正态分布的数字特征正态分布的数字特征 规范正态分布与正态分布的关系规范正态分布与正态分布的关系 正态分布与正态分布与-分布的关系。分布的关系。 完成课后作业习题四完成课后作业习题四20，22-28 引理：普阿松积分公式 |00220022222222,

23、sin,cos,:,rrryxtedrerdrdeIrdrdryrxdydxeIdteI则积分元为令作极坐标变换证 定义 假设延续型随机变量x的概率密度为222)(21)(jxex其中s,m为常数, 并且s0, 那么称x服从正态分布, 简记作xN(m,s2).利用引理可以验证Ex=m, Dx=s2特别地, 当m=0, s=1时, 称其为规范正态分布, 其概率密度记为j0(x), 这时xN(0,1).20221)(xexj 验证Ex=mduedueuEdudxuxxudxexEuux222)(222221)(21,2则令 验证Dx=s22222222222)(2222222|222,2)(due

24、ueudedueuDdudxuxxudxexDuuuux则令 j0()的图形20221)(xexjxj0()011j0()除普通概率密度的性质外, 还有以下性质(1) j0()有各阶导数(2) j0()j0(), 偶函数(3) 在(,0)内严厉上升,在(0,)严厉下降.在0 处到达最大值:3989. 021)0(0j(4) 在x=1处有两个拐点;(5) x轴是j0(x)的程度渐近线0)(lim0 xxj可用书后附表二查出j0(x)的各个值例1 xN(0,1), 求j0(1.81), j0(-1), j0(0.57), j0(6.4), j0(0).解 查书后附表二可得j0(1.81)=0.07

25、754j0(-1)=j0(1)=0.2420j0(0.57)=0.3391j0(6.4)=0j0(0)=0.3989普通正态分布与规范正态分布的关系定理4.2 假设xN(m,s2), hN(0,1), 其概率密度分布记为j(x)和j0(x), 分布函数分别记为F(x)及F0(x), 那么jjxxxx00)()2(1)() 1 (证jjjjjxdyyxtydtxdttxxeexxxxxx0000212)()()(,1)()()2(121121)() 1 (222令定理 4.3 假设xN(m,s2), 而h=(x-m)/s, 那么hN(0,1)证 为证明hN(0,1), 只需证明h的概率密度为j0

26、(x)或分布函数为F0(x)即可.Fh(x)=P(hx)=P(x-m)/sx)=P(xsx+m)=F(sx+m)=F0(x)可以证明, 服从正态分布的随机变量x, 它的线性函数kx+b(k0)仍服从正态分布.规范正态分布函数表假设xN(0,1), 那么对于大于零的实数x, F0(x)的值可以由附表三直接查到. 而对于小于零的x那么可经过对称性来求得.j0()0uF0(u)x例2 xN(0,1), 求P(x1.96), P(x-1.96), P(|x|1.96), P(-1x2), P(x5.9).解 P(x1.96)=0.975=F0(1.96)P(x-1.96)=P(x1.96)=1-P(x

27、1.96)=1-0.975=0.025=1-F0(1.96)P(|x|1.96)=P(-1.96x1.96)=F0(1.96)-F0(-1.96)=2F0(1.96)-1=0.95P(-1x2)=F0(2)-F0(-1)=F0(2)-1-F0(1)=0.81855P(x5.9)=F0(5.9)=1概括起来, 假设xN(0,1), 那么0)(,5, 0)(,5)()()()0(1)(2)|(|0)(105 . 00)()(0000000 xxxxabbaPxxxPxxxxxxP时而当时当时当例3 xN(8,0.52), 求P(|x-8|1)及P(x10)解 由于xN(8,0.52), 所以(x-

28、8)/0.5N(0,1)99996833. 068339 . 099996833. 0)4(5 . 0810)10()10(9545. 01)2(225 . 08) 1|8(|4000表示附表中PPP例4 xN(m,s2), P(x-5)=0.045, P(x3)=0.618, 求m及s4, 8 . 13 . 037 . 15618. 03)3(955. 0551045. 05)5(0000 解得查表可得解PP 正态分布与G-分布的关系 定理4.4 如xN(0,1), 那么x22(1)21212221212)()()(0; 0)(,0)(,21)(),1 , 0(2xxxekxexxxxxxx

29、xxexNjjjjjj时当时则当其概率密度为令证 推论：假设推论：假设x1,x2,.,xm相互独立相互独立, 且且xiN(0，1), (i=1,2,.,m),那么那么 x12+x22+.+xm2c2(m 现实上：推论(需求记住)：假设x1,x2,.,xm相互独立, 且xic2(ni), (i=1,2,.,m),那么x1+x2+.+xmc2(n1+n2+.+nm)定义 4.9 假设延续型随机变量x的概率密度j(x)为).,(,0001)(212122112211nnFFnnxxxnnkxxnnn简记为分布的个自由度为第二为服从具有第一个自由度称j 1994年经济类研讨生试题_2,210102)(

30、YPXXYxxxfX则出现的次数事件的三次独立重复观察中表示以其它的概率密度为设随机变量1x264943161343412)41, 3(4122112232102210|CYPBYxxdxXP因此解：由题意可知1995年经济类研讨生试题_0101011)(,DXxxxxxfX则方差其它其概率密度为是一个随机变量设x11161122)4131(2)4131(2)(2)1 (2)(2,)(0,)(|1043103210202222xxdxxxdxxxdxxfxDXxdxxfxEXDXEXxf因此也是偶函数则为偶函数解：由图可知 1997年经济类研讨生试题27192781321011,31,321 ,94)1 (0_1,951), 3(), 2(32YPYPpppXPYPXPpBYpBX解则若设随机变量 1999年经济类研讨生试题设随机变量X服从参数为l的泊松分布, 且知E(X-1)(X-2)=1, 那么l=_解 知EX=DX=l, 且EX2=(EX)2+DX=l2+l,而E(X-1)(X